Джеймс Глик

Хаос

Создание новой науки

Синтии

Человеческое – мелодия, природное – дисгармония…

Джон Апдайк

James Gleick

Chaos

Making a New Science

* * *

This edition is published by arrangement with Ink Well Management LLC and Synopsis Literary Agency

Охраняется законом РФ об авторском праве. Воспроизведение всей книги или любой ее части воспрещается без письменного разрешения издателя. Любые попытки нарушения закона будут преследоваться в судебном порядке.

© James Gleick, 1987, 2008

© М. Нахмансон, наследники, Е. Барашкова, перевод на русский язык, 2001, 2021

© А. Бондаренко, Д. Черногаев, художественное оформление серии, 2021

© ООО «Издательство АСТ», 2021 Издательство CORPUS®

Пролог

В 1974 году полицию небольшого городка Лос-Аламос, штат Нью-Мексико, задергали сообщениями, что после наступления темноты по глухим улочкам бродит странный человек[1]. Из ночи в ночь огонек его сигареты проплывал в темноте. Не ведая цели, он часами блуждал в свете звезд, легко проницавшем разреженный горный воздух. Недоумевала не только полиция. Некоторые ученые из Национальной физической лаборатории также удивлялись экспериментам новоиспеченного коллеги с 26-часовыми сутками. Такой распорядок выбивался из расписания всех остальных людей, живущих в нормальном суточном ритме. Даже для группы теоретической физики это граничило с чудачеством.

За тридцать лет, прошедших с тех пор, как Роберт Оппенгеймер выбрал пустынное плато в штате Нью-Мексико для создания центра разработки атомного оружия, Национальная лаборатория в Лос-Аламосе превратилась в крупнейший научный институт, который располагал ускорителями, газовыми лазерами, химическими лабораториями, обеспечивал работой тысячи специалистов: физиков, инженеров, администраторов, а кроме того, стал одним из мировых центров, владеющих самыми мощными компьютерами. Некоторые из старейших сотрудников лаборатории еще помнили деревянные здания, наспех возведенные среди скал в начале 1940-х годов, однако для следующего поколения ученых Лос-Аламоса – молодых мужчин и женщин в потертых вельветовых штанах и форменных рубашках – крестные отцы первой атомной бомбы были чем-то вроде привидений. Средоточием «чистой» мысли в лаборатории служил теоретический отдел, или отдел Т (компьютерная служба и сектор вооружений маркировались соответственно литерами К и X). Более сотни опытных физиков и математиков трудились в нем на хорошо оплачиваемых позициях, свободных от «академических нагрузок» – преподавания и публикации научных трудов. Эти люди уже имели дело с натурами гениальными и эксцентричными, а потому удивить их было нелегко.

Но Митчелл Фейгенбаум составлял исключение из правил. За всю свою научную карьеру он опубликовал лишь одну статью и продолжал работать над чем-то совершенно бесперспективным. Выглядел он весьма примечательно: открытый лоб, копна густых волос зачесана назад, как у немецких композиторов прошлого века, глаза большие, выразительные. Фейгенбаум изъяснялся скороговоркой, глотая на европейский манер артикли и местоимения, словно не был уроженцем Бруклина. Работал он с маниакальным упорством, но, если дело не спорилось, бросал все и бродил, размышляя, преимущественно ночью. Двадцатичетырехчасовые сутки казались ему слишком короткими. Тем не менее Фейгенбаум был вынужден свернуть свой эксперимент по персональной квазипериодичности, когда понял, что не может больше просыпаться на закате (а такое при его распорядке дня случалось частенько).

К двадцати девяти годам Фейгенбаум снискал репутацию признанного эксперта, и многие сотрудники лаборатории прибегали к его советам, если, разумеется, ухитрялись застать коллегу на месте. Однажды, придя вечером на работу, Фейгенбаум столкнулся в дверях с директором лаборатории Гарольдом Эгнью. Тот был заметной личностью: ученик самого Оппенгеймера, он находился на борту самолета-наблюдателя, сопровождавшего бомбардировщик Enola Gay во время атаки на Хиросиму, и заснял весь процесс доставки первого детища лаборатории к земле.

«Наслышан о ваших талантах, – бросил директор Фейгенбауму. – Почему бы вам не заняться чем-нибудь стоящим? Скажем, термоядерной реакцией, управляемой лазером?»[2]

Даже друзья Фейгенбаума задавались вопросом, способен ли он оставить свое имя в веках. Человек, шутя разрешавший трудности коллег, казалось, был равнодушен к тому, что сулило славу. Ему, например, нравилось размышлять о турбулентности в жидкостях и газах. Раздумывал он и о свойствах времени: непрерывно оно или дискретно, как чередование сменяющих друг друга кадров киноленты. Еще его занимала способность человеческого глаза отчетливо различать цвет и форму предметов во Вселенной, пребывающей, по мнению физиков, в состоянии квантового хаоса. Он размышлял об облаках, наблюдая за ними с борта самолета, а затем, когда в 1975 году ему урезали финансирование на поездки, с утесов, обступивших лабораторию.

На гористом американском западе облака мало похожи на ту темную бесформенную дымку, что низко стелется над восточным побережьем. Над Лос-Аламосом, лежащим на дне большой вулканической впадины-кальдеры, облака кочуют в беспорядке, но структура их в каком-то смысле упорядоченна. Они принимают формы горных цепей или изрытых глубокими морщинами образований, похожих на поверхность мозга. Перед бурей, когда небеса мерцают и дрожат от зарождающегося в их недрах электричества, эти пропускающие и отражающие свет облака видны за тридцать миль. А весь небесный купол являет взору человеческому грандиозное зрелище, безмолвный укор физикам, которые обходят своим вниманием облака – феномен, хоть и структурированный и доступный наблюдению, но слишком расплывчатый и совершенно непредсказуемый. Вот о подобных вещах и размышлял Фейгенбаум – тихо, незаметно и не очень продуктивно.

Физику ли думать про облака? Его дело – лазеры, тайны кварков, их спин, цвет и аромат, загадки зарождения Вселенной. Облаками же пусть занимаются метеорологи. Эта проблема из разряда «очевидных» – так называются на языке физиков-теоретиков задачи, которые опытный специалист способен разрешить путем анализа и вычислений. Решение «неочевидных» проблем приносит исследователю уважение коллег и Нобелевскую премию. Самые сложные загадки, к которым нельзя подступиться без длительного изучения первооснов и главных законов мироздания, ученые именуют «глубокими». Немногие коллеги Фейгенбаума догадывались о том, что в 1974 году он занимался действительно глубокой проблемой – хаосом.

С началом хаоса заканчивается классическая наука. Изучая природные закономерности, физики почему-то долго пренебрегали хаотическими проявлениями: формированием облаков, турбулентностью в морских течениях, скачками численности популяций растений и животных, колебаниями пиков энцефалограммы мозга или сокращений сердечных мышц. Порождаемые хаосом природные феномены, лишенные регулярности и устойчивости, ученые всегда предпочитали оставлять за рамками своих изысканий.

Однако начиная с 1970-х годов некоторые исследователи в США и Европе начали изучать хаотические явления. Математики, физики, биологи, химики принялись искать связи между различными типами беспорядочного в природе. Физиологи обнаружили присутствие некоего порядка в хаотических сокращениях сердечных мышц, что является основной причиной внезапной и необъяснимой смерти. Экологи исследовали колебания численности популяций шелкопряда. Экономисты раскопали старые биржевые сводки, опробовав на них новые методы анализа рынка ценных бумаг. В результате выяснилось, что обнаруженные закономерности имеют прямое отношение ко множеству других природных явлений – очертаниям облаков, формам разрядов молний, конфигурации сеточек кровеносных сосудов, кластеризации звезд в Галактике.

Когда Митчелл Фейгенбаум приступил к исследованию хаоса, он был одним из немногих энтузиастов, разбросанных по всему миру и почти незнакомых друг с другом. Математик из Беркли, штат Калифорния, собрал вокруг себя небольшую группу и трудился над созданием теории так называемых динамических систем. Биолог из Принстонского университета начал готовить к публикации проникновенный меморандум с призывом к коллегам заинтересоваться удивительно сложным поведением биологических популяций, наблюдаемым в некоторых простых моделях. Математик, работающий на компанию IBM, искал термин для описания семейства новых форм: зубчатых, запутанных, закрученных, расколотых, изломанных, которые, по его мнению, являлись неким организующим началом в природе. Французский специалист по математической физике набрался смелости заявить, что турбулентность в жидкостях, возможно, имеет некоторое отношение к необычному, бесконечно запутанному абстрактному объекту, который он назвал «странным аттрактором».

Десять лет спустя понятие «хаос» дало название стремительно развивающейся дисциплине, которая перевернула всю современную науку. Хаос стал предметом обсуждения для множества конференций и научных журналов. Ведомства, отвечающие за государственные программы военных исследований, ЦРУ и министерство энергетики выделили крупные суммы на изучение хаоса[3]. В любом большом университете и в исследовательских лабораториях любых корпораций есть ученые, занятые прежде всего проблемой хаоса, а затем уже своей основной профессиональной областью. В Лос-Аламосе был создан Центр нелинейных исследований для координации работ по изучению хаоса и связанных с ним проблем; подобные учреждения появились также в университетских городках по всей стране.

Хаос вызвал к жизни новые способы использования компьютеров и новые типы графиков, которые способны воспроизводить фантастические и тонкие структуры, лежащие в основе сложности. Новая наука дала миру особый язык и новые понятия: фрактал, бифуркация, перемежаемость, периодичность и другие. Все это – новые элементы движения, подобно тому как в традиционной физике кварки и глюоны стали новыми элементарными частицами материи[4]. Для некоторых ученых хаос – скорее наука переходных процессов, чем теория неизменных состояний; учение о становлении, а не о существовании[5].

Как утверждают современные теории, хаос присутствует везде: закручивается струйка сигаретного дыма, трепещет и полощется флаг на ветру, капли воды из подтекающего крана одна за одной то срываются вниз, то словно выжидают. Хаос обнаруживается и в капризах погоды, и в траектории движения летательного аппарата, и в поведении автомобилей в дорожной пробке, и в том, как струится нефть по нефтепроводу[6]. Каковы бы ни были особенности конкретной системы, ее поведение подчиняется одним и тем же недавно открытым закономерностям. Осознание этого факта заставило управляющих компаниями пересмотреть отношение к страхованию, астрономов – под другим углом взглянуть на Солнечную систему, а политологов – изменить мнение о причинах вооруженных конфликтов[7].

Хаос проявляет себя на стыке областей знания. Будучи наукой о глобальной природе систем, теория хаоса объединила ученых, работающих в весьма далеких друг от друга областях. «Пятнадцать лет назад науке угрожал кризис все возрастающей специализации, – заметил ответственный за финансирование исследований чиновник военно-морского министерства США, выступая перед аудиторией математиков, биологов, физиков и медиков. – Удивительно, но эта тенденция превратилась в свою прямую противоположность благодаря феномену хаоса!»[8]Хаос вызывает к жизни вопросы, которые плохо поддаются решению традиционными методами, однако позволяют сделать общие заключения о поведении сложных систем. Все первые теоретики хаоса – ученые, давшие начальный толчок развитию этой дисциплины, – имели нечто общее. Они замечали определенные закономерности, особенно такие, которые проявляются в разном масштабе в одно и то же время. У них выработалось особенное чутье, позволявшее оценивать случайность и сложность, предвидеть внезапные скачки мысли. Верующие в хаос – а они иногда действительно называют себя верующими, новообращенными или евангелистами – выдвигают смелые гипотезы о предопределенности и свободе воли, об эволюции и о природе возникновения разума. Они чувствуют, что поворачивают вспять развитие науки, следовавшей по пути редукционизма – анализа систем как совокупностей составляющих их элементарных объектов: кварков, хромосом, нейронов. Они верят, что ищут пути к анализу системы как целого.

Наиболее страстные защитники новой науки даже утверждают, что грядущим поколениям XX век будет памятен лишь благодаря созданию теории относительности, квантовой механики и теории хаоса[9]. Хаос, заявляют они, стал третьей из революций, последовательно освобождавших физику от догматов ньютоновского видения мира[10]. По словам одного физика, теория относительности разделалась с иллюзиями Ньютона об абсолютном пространстве-времени, квантовая механика развеяла мечту о контролируемом процессе измерения и, наконец, теория хаоса развенчала Лапласову фантазию о полной предопределенности развития систем[11]. Из этих трех открытий лишь теория хаоса применима к Вселенной, которую мы можем наблюдать и ощущать, к объектам, которые доступны человеку. Повседневный опыт и реальная картина мира стали уместным предметом исследований. Давно уже зрело ощущение, пусть и не выражавшееся открыто, что теоретическая физика далеко уклонилась от интуитивных представлений человека об окружающем мире. Насколько обоснованна эта еретическая мысль, никому не известно, но теперь некоторые специалисты, считавшие, что физика рано или поздно загонит себя в угол, видят в хаосе выход из тупика.

Исследования хаоса произросли из непопулярных областей физической науки. Главным ее направлением в XX веке считалась физика элементарных частиц, которая исследовала основные элементы, слагающие материю, при все более высоких энергиях, больших масштабах и коротких отрезках времени и породила современные теории о природе физических взаимодействий и происхождении Вселенной. И все же некоторые молодые ученые чувствовали себя разочарованными. Прогресс замедлился, поиски новых частиц не имели успеха, а сама теория стала весьма запутанной. Недовольным казалось, что вершины сияющих абстракций физики высоких энергий и квантовой механики слишком долго доминировали в науке.

В 1980 году космолог Стивен Хокинг, лукасовский профессор[12] математики Кембриджского университета, выразил мнение большинства ученых в обзорной лекции, посвященной развитию теоретической физики и названной «Не наступает ли конец физической теории?»: «Мы уже знаем физические законы, описывающие абсолютно все, с чем нам приходится сталкиваться в обычной жизни… И можно считать своеобразным комплиментом успехам теоретической физики тот факт, что нам приходится создавать сложнейшие приборы и тратить огромные деньги и усилия для того, чтобы поставить эксперимент, результаты которого мы не можем предсказать»[13].

Однако Хокинг признал, что понимание законов природы в терминах физики элементарных частиц оставило без ответа вопрос о том, как применять эти законы к любым системам, кроме простейших. Предсказуемость предсказуемости рознь. Одно дело – предсказать, что произойдет в камере Вильсона, когда там столкнутся две частицы, разогнанные на ускорителе, и совсем другое – предсказать поведение бурлящей в обычной ванне жидкости, или погоду, или процессы в человеческом мозге.

Хокингову физику, успешно собирающую Нобелевские премии и крупные гранты на дорогостоящие эксперименты, часто называли революционной. Временами казалось, что священный Грааль науки – теория Великого объединения, называемая также теорией всего, – вот-вот окажется в руках «революционеров». Физики проследили развитие энергии и материи во Вселенной всюду и везде, кроме кратчайшего момента ее зарождения. Но действительно ли физика элементарных частиц послевоенного периода была революцией? Или же она лишь «наращивала мясо» на основу, заложенную Эйнштейном, Бором и другими создателями теории относительности и квантовой механики? Безусловно, достижения физики, от атомной бомбы до транзистора, изменили реальность XX века. Тем не менее круг вопросов, которыми занималась физика частиц, казалось, сузился. И сменилось не одно поколение, прежде чем в этой сфере возникла новая идея, изменившая взгляд на мир обычного, рядового человека.

Физика Хокинга могла исчерпать себя, так и не ответив на некоторые фундаментальные вопросы, поставленные природой: как зародилась жизнь, что такое турбулентность, как во Вселенной, подчиняющейся закону повышения энтропии и неумолимо движущейся ко все большему и большему беспорядку, может возникнуть порядок? Кроме того, многие объекты повседневной жизни, например жидкости и системы, подчиняющиеся законам классической механики, уже казались столь обыкновенными и хорошо изученными, что физики перестали ожидать от них каких-либо сюрпризов. Но вышло иначе.

По мере того как революция хаоса набирает обороты, виднейшие ученые без всякого смущения возвращаются к феноменам «человеческого масштаба». Они изучают не галактики, а облака. Приносящие прибыль компьютерные расчеты выполняются не на «креях», а на «макинтошах»[14]. Ведущие научные журналы рядом со статьями по квантовой физике публикуют исследования, посвященные загадкам движения шарика, который прыгает по столу. Многие простейшие системы, оказывается, обладают исключительно сложным и непредсказуемым хаотическим поведением. И все же в подобных системах иногда самопроизвольно возникает порядок: порядок и хаос в них сосуществуют. Лишь новая научная дисциплина могла положить начало преодолению огромного разрыва между знаниями о том, как действует единичный объект – одна молекула воды, одна клеточка сердечной ткани, один нейрон – и как ведут себя миллионы таких объектов.

Понаблюдайте за двумя островками водяной пены, кружащимися бок о бок у подножия водопада. Можете ли вы угадать, каково было их взаимное положение до того, как они обрушились с водопадом вниз? Вряд ли. С точки зрения традиционной физики только что не сам Господь Бог перемешивает молекулы воды в водопаде. Как правило, получив сложный результат, физики ищут сложные объяснения, и, если им не удается обнаружить устойчивую связь между начальным и конечным состояниями системы, они считают, что реалистичности ради в теорию, описывающую эту систему, должен быть «встроен» элемент случайности – искусственно сгенерированный шум или погрешность. Изучать хаос начали в 1960-х годах, когда ученые осознали, что довольно простые математические уравнения позволяют моделировать системы, столь же неупорядоченные, как самый бурный водопад. Незаметные различия в исходных условиях способны обернуться огромными расхождениями в результатах – подобный феномен называют «сильной зависимостью от начальных условий». Применительно к погодным явлениям это выливается в так называемый эффект бабочки: сегодняшнее трепетание крыльев мотылька в Пекине через месяц может вызвать ураган в Нью-Йорке.

Пытаясь отыскать истоки новой науки в прошлом, исследователи хаоса обнаруживают много предвестников переворота. Однако один из них стоит особняком. Для молодых физиков и математиков, возглавивших революцию в науке, точкой отсчета стал именно эффект бабочки.

Глава 1

Эффект бабочки

Физикам нравится думать, будто все, что надо сделать, сводится к фразе: вот начальные условия, что случится дальше?

Ричард Фейнман

Эдвард Лоренц и его мини-модель погоды. Компьютер ведет себя странно. Долгосрочный прогноз погоды невозможен. Порядок, выдающий себя за случайность. Мир нелинейности. “Мы упустили самую суть”.

Солнце катилось по небу, никогда не знавшему облаков. Ветры обтекали землю, гладкую как стекло. Ночь никогда не наступала, осень никогда не сменялась зимой. Никогда не шел дождь. Погода, смоделированная новым компьютером Эдварда Лоренца, менялась медленно, но вполне определенно, напоминая ясный полдень в межсезонье, как будто мир превратился в сказочный Камелот или некое легкое подобие Южной Калифорнии[15].

Из своего окна Лоренц мог наблюдать реальную погоду: утренний туман, окутавший почти весь кампус Массачусетского технологического института, или низкие облака с Атлантики, нависающие над верхушками крыш. Ни то ни другое не появлялось в его компьютерной модели. Сама вычислительная машина Royal МсВее – скопище проводов и вакуумных ламп – занимала добрую половину кабинета Лоренца, была раздражающе шумной и ломалась не реже раза в неделю. Это устройство не обладало ни достаточным быстродействием, ни объемом памяти, необходимым для того, чтобы построить реальную модель атмосферы и гидросферы Земли. И все же в 1960 году Лоренц создал мини-модель погоды, которая привела в восторг его коллег. Каждую минуту компьютер выдавал стройные ряды чисел. Посвященным они сообщали, что господствующее сейчас западное направление ветра скоро сменится на северное, потом на южное и вновь на северное. Оцифрованные циклоны в компьютере Лоренца медленно кружили по воображаемому глобусу. Как только об этом узнали на факультете, преподаватели и старшекурсники стали заключать пари, пытаясь угадать, какой будет искусственная погода в следующий момент. Неведомым образом машина никогда не повторялась.

Лоренц просто наслаждался погодой – весьма полезная наклонность для исследователя-метеоролога. Смакуя изменчивость атмосферных явлений, он постигал природу происходящего в скоплениях воздушных вихрей и циклонов, которые, неизменно подчиняясь математическим законам, в точности не повторялись ни разу. Ученому казалось, что облакам присуща особая структура. Раньше он опасался, что научное исследование погоды будет сродни попыткам разобрать шкатулку с секретом при помощи отвертки. Теперь же Лоренц гадал, способно ли вообще рациональное знание проникнуть в это таинство. Погода обладала свойствами, которые нельзя объяснить с помощью средних величин. Средняя температура в июне в Кембридже и Массачусетсе держится на уровне 75 градусов по Фаренгейту[16]. Дождливая погода в Эр-Рияде в Саудовской Аравии выпадает в среднем на десять дней в году – вот о чем говорила статистика. Суть же вопроса заключается в том, как именно сменяются модели атмосферных процессов с течением времени. Ее-то и сумел ухватить Лоренц.

Творец и вседержитель компьютерной вселенной, он волен был устанавливать законы природы по своему усмотрению. После нескольких проб и ошибок, отнюдь не божественного свойства, он выбрал двенадцать уравнений, описывающих связь между температурой и атмосферным давлением, а также давлением и скоростью ветра[17]. Лоренц применил на практике законы Ньютона – вполне подходящий инструмент для Небесного Часовщика, который сотворил мир и устанавливает завод на вечность. Благодаря детерминизму физических законов дальнейшего вмешательства не требовалось. Творцы машинных моделей верили, что ныне и во веки веков законы движения подводят под их расчеты базу математической определенности. Постигни закон – и ты поймешь Вселенную. В этом заключалась философия компьютерного моделирования погоды.

Мыслители XVIII века представляли себе Творца благожелательным и не склонным к излишнему вмешательству в мирские дела наблюдателем. Именно таким и был Лоренц. Он принадлежал к типажу чудаковатых ученых. Удивительные глаза его всегда смеялись, придавая усталому лицу фермера-янки неизменно веселое выражение. Он редко говорил о себе и о своей работе, предпочитая слушать, и при этом частенько уносился мыслью в такие дали, что был недосягаем для коллег. Самые близкие его друзья чувствовали, что львиную долю своего свободного времени Лоренц проводит в заоблачных мирах.

Мальчиком он был просто помешан на погоде и составлял весьма точные таблицы дневной температуры, фиксируя с помощью термометра ее минимумы и максимумы в Уэст-Хартворде, штат Коннектикут, где жила его семья. Впрочем, чаще всего он сидел дома, погруженный в сборники математических головоломок. Иногда Эдвард решал их вместе с отцом. Однажды они столкнулись с особенно сложной задачей, которая оказалась неразрешимой. Ничего страшного, утешил отец, всегда можно попробовать решить задачу, доказав, что решения вовсе не существует. Лоренца пленила эта мысль, ясная, как и вся математика[18]. Окончив в 1938 году Дартмутский колледж, он решил посвятить себя этой науке. Однако обстоятельства помешали его планам: началась Вторая мировая война. Лоренц стал метеорологом ВВС США. После войны он не только не оставил занятий метеорологией, но и изучил ее теоретические основы, расширив и углубив свои математические познания. Работа, посвященная общему круговороту атмосферы, принесла ему известность. Одновременно Лоренц продолжал заниматься прогнозированием.

Даже самые серьезные и опытные метеорологи вряд ли считали наукой составление прогнозов погоды – заурядное ремесло для набивших руку и не лишенных интуиции людей, работа, которой присуща некая доля шаманства. В крупных научных центрах вроде Массачусетского технологического института метеорологи тяготели к проблемам, имеющим строгое решение. Лоренц, как и любой другой специалист, вполне сознавал прагматическое назначение прогнозов, составляемых в помощь военной авиации, но до поры до времени скрывал свой теоретический интерес к прогнозированию с позиций математики.

Мало того что метеорологи презирали прогнозирование – в 1960-е годы почти все уважающие себя ученые еще и не доверяли компьютерам. Эти счетные машины, значение которых было явно преувеличено, вряд ли могли рассматриваться как инструмент для серьезных занятий наукой. Таким образом, численное моделирование погоды оказалось делом весьма неблагодарным, хотя время для него было самым подходящим. Вот уже два столетия наука об атмосфере ждала появления машины, способной снова и снова производить тысячи вычислений, повинуясь указаниям человека. Лишь компьютер мог реализовать ньютоновское обещание, что мир идет по пути детерминизма, а погода подчиняется законам, столь же незыблемым, как и принципы движения планет, наступления солнечных и лунных затмений, морских приливов и отливов. Теоретически электронная машина позволяла метеорологам предпринять то, что астрономы проделывали с помощью карандаша и логарифмической линейки: рассчитать будущее Вселенной, исходя из ее начального состояния и физических закономерностей, управляющих ее эволюцией. Уравнения, описывающие циркуляцию воздуха и воды, были так же хорошо известны, как и те, которым подчинялся ход планет. Кстати, астрономы не достигли совершенства – оно недостижимо в Солнечной системе, раздираемой тяготением девяти[19]планет, множества спутников и астероидов. Тем не менее астрономические расчеты были столь точны, что люди подчас забывали об их прогностическом характере. Когда астроном говорил, что комета Галлея вновь приблизится к Земле через семьдесят шесть лет, это воспринималось как факт, а не как предсказание. Тщательно составленные численные прогнозы, основанные на детерминизме, определяли траектории полета космических кораблей и ракет. Отсюда следовало предположение: так почему бы не рассчитать поведение ветра и облаков?

Погода, при всей сложности этого феномена, подчиняется тем же законам ньютоновской механики. Пожалуй, сверхмощный компьютер мог бы стать высшим разумом, способным, по представлениям философа-математика XVIII века Лапласа, воспринявшего идеи Ньютона особенно близко, описать «единой формулой движения как наиболее крупных тел во Вселенной, так и легчайшего атома; для него не осталось бы ничего неопределенного, и будущее предстало бы перед ним наряду с прошлым»[20]. В эпоху, когда господствовали теория относительности Эйнштейна и принцип неопределенности Гейзенберга, оптимизм Лапласа казался просто шутовством; однако многие современные ученые попытались воплотить его мечту. Стремление исследователей XX века – биологов, физиологов, экономистов – разложить свои миры на атомы, подчиняющиеся законам науки, вполне понятно. Во всех этих дисциплинах господствовал детерминизм сродни ньютоновскому. Отцы-основатели современных компьютерных технологий всегда помнили о Лапласе, и развитие ЭВМ шло бок о бок с развитием прогнозирования еще с тех пор, когда в 1950-х годах Джон фон Нейман сконструировал свои первые машины в Институте перспективных исследований в Принстоне, штат Нью-Джерси. Кстати, Нейман признавал, что моделирование погоды может стать идеальным заданием для компьютера.

Впрочем, существовало одно маленькое «но» – столь незначительное, что ученые старались позабыть о нем, упрятать подальше, как прячут в ящик стола неоплаченный счет. Измерения никогда не бывают совершенными. Ученые, вставшие под ньютоновские знамена, обычно выдвигают следующий аргумент: имея приблизительные данные о начальном состоянии системы и понимая естественный закон, которому она подчиняется, можно рассчитать ее примерное поведение. Такой подход вытекает из самой философии науки. Один видный теоретик любил подчеркивать в своих лекциях: «Главная идея науки состоит в том, чтобы не обращать внимания на лист, падающий в одном из миров другой галактики, когда вы пытаетесь объяснить движение шарика по бильярдному столу на планете Земля. Небольшими воздействиями можно пренебречь. Существует сходство в поведении объектов, и сколь угодно малые воздействия не усиливаются настолько, чтобы оказывать сколь угодно большое влияние»[21]. Как правило, вера в приблизительность и сходство вполне себя оправдывает. Крошечная погрешность в определении координат кометы Галлея в 1910 году незначительно исказила прогноз времени следующего ее появления, которое состоялось в 1986 году. Эта ошибка останется столь же малой в ближайшие миллионы лет. Компьютеры, направляющие космические корабли, на основе относительно точных исходных данных выдают относительно точный результат. С тем же успехом действуют экономисты, составляя свои прогнозы, хотя результат их работы и не столь очевиден. Пионеры прогнозирования погоды не были исключением.

С помощью своего примитивного компьютера Лоренц буквально разобрал погоду по кирпичикам, но все же казалось, что в его распечатках поведение ветра и температуры обнаруживает нечто узнаваемое с житейской точки зрения. Так проявлялась зрелая интуиция исследователя, его чувство погоды, которая, по ощущению Лоренца, повторялась, демонстрируя время от времени одни и те же схемы поведения: давление росло и падало, воздушные массы устремлялись то на север, то на юг. Ученый выяснил, что, когда кривая плавно идет вниз, не образуя ярко выраженного максимума, на графике вскоре обозначаются две резкие выпуклости. Лоренц утверждал, что эту закономерность вполне мог бы использовать в своей работе метеоролог[22]. Однако повторения никогда не были полностью идентичными. В рамках общей модели всякий раз обнаруживались отклонения – своего рода упорядоченный беспорядок.

Чтобы сделать результаты своих исследований более понятными, Лоренц создал несложный график: вместо изображения обычных рядов чисел машина стала печатать некоторое количество пробелов, за которыми следовала буква А. Ученый выбирал одну переменную, например направление воздушного потока, и постепенно символы заполняли собой весь рулон заправленной в принтер бумаги, образуя извилистую кривую, множество холмов и долин, изображавших отклонения западного ветра к северу и к югу в масштабах всего Северо-Американского континента. Эти линии, подчиненные определенным законам, узнаваемые циклы, появлявшиеся снова и снова, но каждый раз в несколько ином виде, обладали гипнотическим очарованием. Казалось, система медленно раскрывает Лоренцу свои секреты.

Однажды зимним днем 1961 года, намереваясь изучить определенную последовательность событий, он несколько сократил исследование – приступил к построению не с начальной точки, а с середины. В качестве исходных данных ученый ввел цифры из предыдущей распечатки. Когда спустя час он вернулся, отдохнув от шума и выпив чашку кофе, он увидел нечто неожиданное, давшее начало новой науке.

Новые вычисления должны были полностью повторить предыдущие, ведь Лоренц собственноручно ввел в компьютер числа, а программа оставалась неизменной. Тем не менее график существенно расходился с полученным ранее. Лоренц посмотрел сначала на один ряд чисел, потом на другой. С таким же успехом он мог наугад выбрать две случайные модели погоды. Первое, о чем он подумал: вышла из строя вакуумная лампа.

Но внезапно ученый все понял[23]. Машина работала нормально, а разгадка заключалась в числах, заложенных им в компьютер. Машина могла хранить в памяти шесть цифр после запятой: 0,На распечатку же, в целях экономии места, выдавалось всего три: 0,Лоренц ввел укороченные, округленные значения, предположив, что разница в тысячных долях несущественна.

Предположение выглядело вполне разумным. Если спутник, наблюдающий за погодой, способен фиксировать температуру поверхности океана с точностью до тысячных долей, это можно считать крупным везением. Royal МсВее Лоренца выполнял программу, в которую заложили детерминистскую систему уравнений: отправляясь от заданной начальной точки, компьютер строил модель погоды каждый раз по одному и тому же сценарию. Логично было предположить, что при незначительном отличии начальной точки от введенной ранее модель будет чуть-чуть расходиться с предыдущим вариантом. Небольшая числовая погрешность походила на еле уловимое дуновение ветерка. Казалось, малозаметные перемещения воздушных масс неизбежно затухнут или погасят друг друга, не успев вызвать крупномасштабные изменения погоды. И все-таки в системе уравнений Лоренца малые погрешности оказались катастрофическими[24].

Ученый решил внимательно изучить, каким образом разошлись два почти идентичных исходно графика. Он скопировал одну из полученных кривых на прозрачную бумагу и наложил ее на вторую, чтобы проследить отклонения. Первые максимумы почти совпали, но потом одна из линий начала слегка отставать. Когда оба графика достигли второго максимума, их фазы уже определенно различались. К третьему и четвертому максимумам все сходство исчезало.

Расхождение двух графиков погоды. Эдвард Лоренц заметил, что его программа моделирует поведение погодных процессов, которые хотя и берут начало примерно в одной точке, дальше все более и более отклоняются друг от друга, пока сходство в конце концов не исчезает. (Из распечаток Лоренца 1961 г.)

Был ли в том виноват несовершенный компьютер? Лоренц мог предположить, что либо его подвела машина, либо модель изначально была сконструирована неудачно, – по крайней мере, он должен был так подумать. Но, руководствуясь математической интуицией, которую коллеги Лоренца оценили не сразу, исследователь внезапно осознал: что-то выбилось из накатанной колеи! Практическая важность открытия могла оказаться огромной, и, хотя уравнения Лоренца являлись лишь грубой имитацией погоды на земном шаре, он уверовал, что ему открылась сущность реальной атмосферы. И впервые понял: долгосрочное прогнозирование погоды обречено[25].

«Нам не всегда сопутствовала удача в наших изысканиях, и теперь мы нашли причину, – говорил ученый. – Думаю, люди полагали, что возможно предсказать погоду на длительный период времени, потому что в мире существуют физические феномены, которые вполне поддаются прогнозированию, например затмения и океанические течения. Я никогда не считал прогнозы приливов и отливов предсказаниями, воспринимая их как факты, хотя, безусловно, это предсказания. Явления приливов и отливов, как, впрочем, и атмосферные процессы, вряд ли можно считать простыми, но в обоих случаях имеются периодические компоненты, за счет которых можно предугадать, например, что следующее лето будет теплее зимы. Для погоды в подобном утверждении как будто нет ничего нового – мы это и так знаем. Зато для приливов прогнозируемая часть как раз представляет интерес, а составляющая, не поддающаяся прогнозу, достаточно мала, если только не наступит шторм. Итак, если приливы и отливы могут быть с достаточной точностью предсказаны на несколько месяцев вперед, то вполне резонно звучит вопрос: почему мы не в силах проделать то же самое в отношении атмосферы? В конце концов, это просто еще одна текучая среда, и ее законы примерно так же сложны. Однако я понял, что любая непериодичная физическая система непредсказуема»[26].

Пятидесятые и шестидесятые годы XX века стали временем неоправданного оптимизма по поводу возможностей предсказания погоды[27]. Газеты и журналы наперебой твердили о надеждах, возлагаемых на новую науку – даже не столько на прогнозирование, сколько на изменение погодных условий и управление ими. Развивались сразу две технические новации: цифровые компьютеры и искусственные спутники Земли, и оба новшества использовались в международном проекте, названном Глобальной программой исследования атмосферы. Говорили даже, что человечество освободится от произвола стихий, став повелителем, а не жертвой атмосферы. Кукурузные поля накроют геодезическими куполами, небосклон очистят от туч самолетами, ученым станет ясен механизм запуска и остановки дождя.

Эти иллюзии были посеяны Нейманом, создавшим свой первый компьютер с твердым намерением использовать вычислительную машину и для управления погодой. Он окружил себя метеорологами и захватывающе рассказал о своих планах коллегам-физикам. У Неймана были особые математические причины для оптимизма. Он полагал, что сложная динамическая система имеет точки неустойчивости – критические точки, в которых слабый толчок может привести к огромным последствиям, как это происходит с мячиком, балансирующим на вершине холма. Нейман верил, что с помощью компьютера ученые смогут рассчитать уравнение движения жидкости и предсказать погоду на следующие несколько дней[28]. После этого, если центральный комитет метеорологов сочтет нужным ее изменить, в небо поднимутся самолеты, чтобы оставить за собой дымовую завесу или разогнать облака. Великолепная перспектива! Однако Нейман не учел вероятность хаоса, при котором неустойчива каждая точка.

К 1980-м годам разветвленный и дорогостоящий аппарат служащих рьяно взялся выполнять поставленную Нейманом задачу, по крайней мере ту ее часть, которая была связана с составлением прогнозов[29]. На окраине одного из городов штата Мэриленд, близ Вашингтонской кольцевой автострады, в простом, похожем на куб здании, которое обилием радиоантенн и радаров, установленных на крыше, напоминало разведцентр, трудились ведущие ученые Америки. Здесь мощнейший суперкомпьютер производил моделирование, напоминавшее разработки Лоренца, но лишь по сути и духу. Royal МсВее мог выполнять шестьдесят умножений в секунду, тогда как быстродействие новой машины ControlDataCyber 205 составляло миллионы операций с плавающей запятой в секунду. Там, где Лоренц использовал двенадцать уравнений, современный компьютер расправлялся с системой, состоявшей из пятисот тысяч уравнений. Этой машине был известен механизм колебаний температуры воздуха при конденсации и испарении жидкости. Виртуальные воздушные потоки зарождались в компьютерных горных цепях. Информация, поступавшая со всего земного шара, со спутников, самолетов и кораблей, вводилась в компьютер ежечасно. В результате по точности прогнозов Национальный метеорологический центр США занял второе место в мире.

А первое место занял Европейский центр среднесрочных прогнозов погоды, расположенный в английском Рединге, небольшом университетском городке в часе езды от Лондона. Скромное современное здание из стекла и кирпича, затененное деревьями, построили в годы торжества идеи общего рынка, когда большинство государств Западной Европы решили действовать сообща, объединив интеллектуальные и денежные ресурсы для предсказания погоды. Европейцы приписывали свои успехи молодости сменяющих друг друга сотрудников, которые не состояли на государственной службе, и суперкомпьютеру Cray, который был на порядок совершеннее американского аналога.

Прогнозирование погоды стало отправной точкой, с которой началось применение компьютеров для моделирования сложных систем. Использованная методика сослужила хорошую службу множеству представителей естественных, точных и гуманитарных наук. С ее помощью ученые пытались предугадать буквально все, начиная с динамики маломасштабных жидкостных потоков, изучаемых конструкторами двигателей, и заканчивая денежными потоками, изучаемыми экономистами. В самом деле, к 1970-1980-м годам компьютерные прогнозы экономического развития напоминали глобальные предсказания погоды. Модели, представлявшие собой хитросплетенную, до некоторой степени произвольную паутину уравнений, преобразовывали известные начальные условия – будь то атмосферное давление или денежную массу – в будущие тенденции. Программисты надеялись, что неизбежные упрощающие предположения не слишком сильно искажают истину. Если на выходе получалось нечто странное – наводнение в Сахаре или повышение процентных ставок на несколько порядков, – уравнение подправляли таким образом, чтобы подогнать результат под ожидаемый. Как это ни печально, эконометрические модели мало соответствовали реальности, но это не мешало многим людям, которым следовало бы лучше понимать, что к чему, вести себя так, будто они верили в итоги изысканий. Прогнозы экономического роста и безработицы составлялись с точностью до сотых, а то и тысячных долей[30]. Правительства и финансовые институты субсидировали прогнозирование и действовали в соответствии с ним – зачастую в силу необходимости, а иногда просто желая получить лучший результат. Возможно, они все же знали, что показатели вроде «потребительского оптимизма» не столь хорошо поддаются измерению, как, например, влажность воздуха, и что дифференциальных уравнений, идеально отражающих политические движения или изменения в мире моды, еще никто не создал. Но лишь немногие осознавали, сколь ненадежен был сам процесс компьютерного моделирования, даже в тех случаях, когда исходным данным вполне можно доверять, а законы заимствованы из физики, как в случае с предсказанием погоды.

Истинный успех компьютерного моделирования состоит в том, что составление прогнозов погоды из искусства превратилось в науку. По оценкам Европейского центра, мировая экономика ежегодно сберегала миллиарды долларов благодаря предсказаниям, которые статистически были лучше, чем ничего. Однако прогнозы, составленные более чем на два-три дня, оказывались крайне умозрительными, а более чем на неделю – просто бесполезными.

Причина заключалась в эффекте бабочки[31]. Стоит возникнуть незначительному и кратковременному погодному явлению – а для глобального прогноза таковыми могут считаться и грозовые штормы, и снежные бури, – как предсказание утрачивает актуальность. Погрешности и случайности множатся, каскадом накладываясь на турбулентные зоны атмосферы, начиная от пылевых вихрей и шквалов и заканчивая воздушными токами в масштабах целого материка, отслеживать которые удается лишь из космоса.

Современное моделирование погоды работает с сетками точек, отстоящих друг от друга на шестьдесят миль. Тем не менее о некоторых начальных данных приходится лишь догадываться, поскольку наземные станции и спутники не вездесущи. Предположим, что поверхность земного шара усеяна датчиками, удаленными друг от друга лишь на фут, и они контролируют атмосферу по всей высоте[32]. Допустим, каждый датчик передает исключительно точную информацию о температуре, давлении, влажности и любой другой нужной метеорологу величине. Точно в полдень компьютер огромной мощности считывает все данные и вычисляет, что случится в каждой из точек в 12:01, в 12:02, в 12:03 и так далее.

И все же компьютер не сможет предсказать, солнечная или дождливая погода ожидается в Принстоне через месяц. В полдень небольшие отклонения температуры от среднего значения в пространстве между датчиками будут недоступны компьютеру. К 12:01 эти отклонения повлекут за собой небольшие погрешности, которые со временем станут нарастать и выльются в огромные ошибки.

Но даже опытные метеорологи не догадывались об этом. Одним из близких друзей Лоренца был Роберт Уайт, исследователь-метеоролог из Массачусетского технологического института. Когда Лоренц рассказал Уайту об эффекте бабочки и о том, какое значение он может иметь для долгосрочного прогнозирования атмосферных явлений, Уайт ответил словами Неймана:

«Дело не в предсказании, а в управлении»[33]. Его мысль заключалась в том, что небольшие изменения под контролем человека могут вызвать желаемые крупномасштабные перемены.

Но Лоренц смотрел на это по-другому. Да, мы можем изменить погоду, мы можем заставить атмосферу вести себя иначе, не так, как она вела бы себя без нашего вмешательства. Но мы никогда не узнаем, что происходило бы, если бы мы этого не сделали. Это все равно что заново тасовать уже хорошо перетасованную колоду карт. Нам ясно, что это изменит ситуацию, но неизвестно – к лучшему или к худшему.

Открытие Лоренца было случайным – звено в цепи неожиданных прозрений, восходящей еще к Архимеду с его ванной. Но Лоренц не принадлежал к числу тех, кто торопится кричать: «Эврика!» Руководимый инстинктивной прозорливостью, он приготовился идти дальше тем же путем и изучать последствия своего открытия, чтобы выяснить его роль в образовании потоков во всех видах жидкости.

Остановись Лоренц на эффекте бабочки, этом символе торжества случая над предопределенностью, в его распоряжении не оказалось бы ничего, кроме плохих новостей. Но Лоренц в своей модели погоды видел нечто большее, чем просто встроенную в нее хаотичность, – там наблюдалась изящная геометрическая структура, некий порядок, выдающий себя за случайность. Лоренц, будучи математиком по призванию и метеорологом по профессии, начал в конце концов вести двойную жизнь. Помимо работ по метеорологии из-под его пера выходили статьи, где несколько вступительных строк о теории атмосферных процессов растворялись в математическом тексте.

Он уделял все больше и больше внимания математике систем, не имевших устойчивого состояния; систем, которые почти повторяли сами себя, но делали это не абсолютно точно. Известно, что погода как раз и является такой апериодичной системой. Мир полон подобных систем, и не нужно далеко ходить за примерами: численность популяций животных то растет, то падает, делая это почти периодически, и аналогично, вопреки людским надеждам, вспыхивают и затухают эпидемии. И если бы погода когда-нибудь повторилась с точностью до облака и порыва ветра, тогда, вероятно, она стала бы повторяться и дальше – и проблема прогнозирования потеряла бы актуальность.

Лоренц чувствовал, что должна существовать связь между неповторяемостью атмосферных явлений и неспособностью метеорологов предсказать их – иными словами, связь между апериодичностью и непредсказуемостью[34]. Найти простые уравнения для апериодичности было делом нелегким – поначалу компьютер воспроизводил идеально повторяющиеся циклы – однако после череды небольших усложнений своей модели Лоренц все же достиг успеха. Это произошло, когда он ввел в машину уравнение, описывающее изменение количества тепла при движении с востока на запад, соответствующее реальной разнице в том, как солнце нагревает восточное побережье Северной Америки и Атлантический океан. В результате повторяющиеся циклы исчезли.

Эффект бабочки был не случайностью, но необходимостью. Допустим, небольшие возмущения так и остаются небольшими, не нарастая в системе, рассуждал ученый. Приближаясь к ранее пройденному состоянию, погода будет повторяться и в дальнейшем. Циклы станут предсказуемыми и в конце концов потеряют все свое очарование. Чтобы воспроизвести богатый спектр реальной погоды земного шара, ее чудесное многообразие, вряд ли можно желать чего-либо лучшего, чем эффект бабочки.

Как уже говорилось, данный феномен имеет и строгое научное название: «сильная зависимость от начальных условий». Эта зависимость не была абсолютной новостью, например, ее превосходно иллюстрирует детский стишок[35]:

Не было гвоздя – подкова пропала,

Не было подковы – лошадь захромала,

Лошадь захромала – командир убит,

Конница разбита, армия бежит,

Враг вступает в город, пленных не щадя,

Оттого что в кузнице не было гвоздя[36].

Как наука, так и жизнь учит, что цепь событий может иметь критическую точку, в которой небольшие изменения приобретают особую значимость. Суть хаоса в том, что такие точки находятся везде и распространяются повсюду. В системах, подобных погоде, сильная зависимость от начальных условий представляет собой неизбежное следствие взаимодействия процессов, происходящих на разных масштабах.

Коллеги Лоренца были изумлены тем, как он соединил апериодичность и сильную зависимость от начальных условий в своей миниатюрной модели погоды. Всего двенадцать уравнений, раз за разом просчитываемые с механической точностью! Как может подобное многообразие, такая непредсказуемость – в чистом виде хаос! – возникнуть из простой детерминистской системы?

Отложив на время занятия погодой, Лоренц стал искать более простые способы воспроизвести сложное поведение объектов. Один из них был найден в виде системы из трех нелинейных, то есть выражающих не прямую пропорциональную зависимость, уравнений. Линейные соотношения изображаются на графике прямой линией и достаточно просты для понимания: чем больше x, тем больше y. Линейные уравнения всегда разрешимы, что делает их подходящими для учебников. Линейные системы обладают неоспоримым достоинством: вы можете разбирать их на некие модули, а затем собирать снова, как конструктор, – эффекты будут попросту суммироваться[37].

Нелинейные системы в общем виде не могут быть решены, и эффекты в них не складываются. Изучая жидкостные и механические системы, специалисты обычно стараются исключить нелинейные элементы, к примеру трение. Если пренебречь им, можно получить простую линейную зависимость между ускорением хоккейной шайбы и силой, придающей ей это ускорение. Приняв в расчет трение, мы усложним формулу, поскольку сила трения будет меняться в зависимости от того, с какой скоростью шайба уже движется. Нелинейность означает, что каждое действие меняет правила игры. Влияние трения не является постоянным, потому что оно зависит от скорости. Скорость, в свою очередь, зависит от трения. Из-за этой обоюдной изменчивости рассчитать нелинейность весьма непросто. Вместе с тем она порождает разнообразные типы поведения объектов, не наблюдаемые в линейных системах. В динамике жидкостей все сводится к одному дифференциальному уравнению: уравнению Навье – Стокса. Будучи удивительно коротким, оно связывает скорость, давление, плотность и вязкость жидкости. Но оно нелинейно, и поэтому природу этих связей зачастую невозможно уловить, так как исследовать поведение нелинейного уравнения – все равно что блуждать по лабиринту, стены которого перестраиваются с каждым вашим шагом. Как сказал Нейман, «характер уравнения… меняется одновременно во всех релевантных отношениях; меняется как порядок, так и степень. Отсюда могут проистекать большие математические сложности»[38]. Другими словами, мир был бы совсем иным и хаос не был бы так уж необходим, если бы в уравнении Навье – Стокса не таился демон нелинейности.

Три уравнения Лоренца были порождены особым видом движения в текучих средах – когда нагретые слои газа или жидкости поднимаются кверху. Это явление называется конвекцией. В атмосфере конвекция как бы перемешивает воздух, нагревающийся при соприкосновении с теплой почвой. Можно заметить, как струящиеся конвекционные волны поднимаются, подобно привидениям, над раскаленным асфальтом или другими поверхностями, излучающими тепло. Лоренц испытывал искреннюю радость, рассказывая о конвекции в чашке с горячим кофе[39]. По его утверждению, это один из бесчисленных гидродинамических процессов в нашей Вселенной, поведение которых нам, вероятно, захочется предугадать. Как вычислить, насколько быстро остынет чашка кофе? Если напиток негорячий, теплота рассеется без всякого гидродинамического движения и жидкость перейдет в стабильное состояние. Однако, если кофе горячий, конвекция повлечет перемещение жидкости более высокой температуры со дна чашки на поверхность, где температура ниже. Этот процесс наблюдается особенно отчетливо, если в чашку с горячим кофе капнуть немного сливок – тогда видишь, сколь сложно кружение жидкости. Впрочем, будущее состояние подобной системы очевидно: движение неизбежно прекратится, поскольку теплота рассеется, а перемещение частиц жидкости будет замедлено трением. Как поясняет Лоренц, «у нас могут быть трудности с определением температуры кофе через минуту, но предсказать ее значение через час нам уже гораздо легче»[40]. Уравнения движения, определяющие изменение температуры кофе в чашке, должны отражать будущее состояние этой гидродинамической системы. Они должны учитывать эффект рассеивания, при котором температура жидкости стремится к комнатной, а скорость перемещения ее частиц – к нулю.

Отталкиваясь от совокупности уравнений, описывающих конвекцию, Лоренц будто разобрал их на части, выбросив все, что могло показаться несущественным, и таким образом значительно упростил систему[41]. От первоначальной модели не осталось почти ничего, кроме факта нелинейности. В результате уравнения, с точки зрения физика, приобрели довольно простой вид. Взглянув на них – а это делал не один ученый на протяжении многих лет, – можно было с уверенностью сказать: «Я смог бы их решить».

Лоренц придерживался иного мнения: «Многие, увидев такие уравнения и заметив в них нелинейные элементы, приходят к выводу, что при решении эти элементы несложно обойти. Но это заблуждение».

Простейший пример конвекции можно наблюдать в жидкости, наполняющей сосуд с ровным дном, которое можно нагревать, и с гладкой поверхностью, которую можно охлаждать. Разница температур между горячим дном и прохладной поверхностью порождает потоки жидкости. Если разница небольшая, жидкость остается неподвижной; теплота перемещается к поверхности благодаря теплопроводности, как в металлическом бруске, не преодолевая естественного стремления жидкости находиться в покое. К тому же такая система устойчива: случайные движения в ней, происходящие, например, когда лаборант нечаянно заденет сосуд, обычно скоро затухают и жидкость возвращается в состояние покоя.

Но стоит увеличить температуру, как поведение системы меняется. По мере нагревания жидкость расширяется снизу, становится менее плотной, а значит, и чуть легче – достаточно, чтобы преодолеть трение; в результате вещество устремляется к поверхности. Если конструкция сосуда хорошо продумана, в нем появляется цилиндрический вал: горячая жидкость поднимается по одной из стенок, а охлажденная спускается по противоположной. Понаблюдав за сосудом, можно проследить непрерывный цикл таких перемещений. Вне лабораторных стен сама природа создает области конвекции. К примеру, когда солнце нагревает песчаную поверхность пустыни, перемещающиеся воздушные массы могут сформировать миражи высоко в облаках или вблизи земли.

С дальнейшим ростом температуры поведение жидкости еще больше усложняется: в завитках зарождаются колебания. Уравнения Лоренца были слишком примитивными для их моделирования, описывая лишь одну черту, характерную для конвекции в природе, – кругообразное перемещение нагретой жидкости. В уравнениях учитывалась как скорость такого перемещения, так и теплопередача, и оба физических процесса взаимодействовали друг с другом. Когда любой циркулирующий объем горячей жидкости поднимается кверху, разогретое вещество приходит в контакт с более холодной субстанцией и теряет теплоту. Однако если движение жидкости происходит достаточно быстро, она не потеряет всю избыточную тепловую энергию к тому моменту, как достигнет верха и начнет опускаться по другой стороне вала. Эта жидкость может начать подталкивать систему к вращению в противоположном направлении[42].

Движение жидкости (или газа). когда жидкость нагревают снизу, в ней обычно образуются цилиндрические валы (слева). горячая жидкость поднимается по одной стороне вала, отдает тепло и опускается по противоположной – наблюдается конвекция. если жидкость нагревать сильнее (справа), возникнет нестабильность, влекущая за собой рябь в валах жидкости, бегущую в двух направлениях по всей длине цилиндров. При дальнейшем повышении температуры поток становится бурным и турбулентным.

Хотя система Лоренца не отражала полностью процесс конвекции, оказалось, что у нее были аналоги в реальном мире. К примеру, уравнения Лоренца достаточно точно описывают функционирование динамо-машины, уже вышедшей из употребления предшественницы современных генераторов, где электрический ток течет через диск, вращающийся в магнитном поле. При определенных условиях динамо-машина может дать обратный ход. Некоторые ученые, ознакомившись с уравнениями Лоренца, предположили, что, быть может, поведение динамо-машины прольет свет на другой специфический феномен – инверсию магнитного поля Земли[43]. Известно, что так называемое геодинамо меняло свое направление много раз за земную историю[44]. Интервалы между этими явлениями казались странными и необъяснимыми. Столкнувшись с подобной беспорядочностью, теоретики, как правило, искали решение за рамками конкретной системы, выдвигая предположения вроде столкновения с метеоритами. Но возможно, геодинамо обладает своим собственным хаотическим поведением.

Другой системой, вполне точно описываемой уравнениями Лоренца, является водяное колесо определенного типа, механический аналог вращающихся конвекционных кругов[45]. Вода непрерывно льется с вершины колеса в емкости, закрепленные на его ободе, откуда вытекает дальше через небольшие отверстия. В том случае, когда поток воды мал, верхняя емкость заполняется недостаточно быстро для преодоления трения. Если же скорость водяной струи велика, колесо начинает поворачиваться под весом жидкости. При достаточном напоре колесо станет непрерывно вращаться. При еще большей скорости струи емкости будут успевать заполниться до краев и вода из них не успеет вылиться за время движения вниз. Поднимаясь вверх, своей тяжестью они станут замедлять вращение, в результате колесо может остановиться и начать вращаться в противоположном направлении.

Интуиция физика, еще не столкнувшегося с хаосом, подсказывала Лоренцу, что за длительный период времени при неизменном потоке воды система придет в устойчивое состояние. Колесо будет или равномерно вращаться, или постоянно через определенные неизменные промежутки времени менять на правление вращения, крутясь сначала вперед, затем назад. Однако Лоренц обнаружил, что это не так.

Водяное колесо Лоренца. Первая хаотическая система, обнаруженная Эдвардом Лоренцем, точно соответствует механическому устройству – водяному колесу, которое может вести себя удивительно сложным образом. Вращающееся колесо имеет те же свойства, что и вращающиеся в процессе конвекции цилиндры жидкости: колесо похоже на их поперечные сечения. Обе системы непрерывно подстегиваются потоком – воды или теплоты, – и обе рассеивают энергию. Жидкость утрачивает теплоту; вода выливается из черпаков колеса. Долгосрочное поведение обеих систем зависит от того, насколько велика управляющая ими энергия. Вода наливается сверху с постоянной скоростью. Если скорость ее небольшая, верхний черпак никогда не становится полным, трение не преодолевается и колесо не поворачивается. (Подобное явление наблюдается и в жидкости: если теплоты недостаточно, чтобы преодолеть вязкость, жидкость останется неподвижной.) С увеличением скорости водяного потока колесо начинает двигаться под тяжестью верхнего черпака (слева)и даже вращаться с постоянной скоростью (в центре). Однако при чрезмерной скорости воды (справа)вращение колеса может стать хаотичным из-за нелинейных воздействий, появившихся в системе. Черпаки, проходя под водяным потоком, наполняются в зависимости оттого, насколько быстро вращается колесо. При быстром вращении колеса им не хватает времени, чтобы наполниться. (Так же и жидкости в быстровращающихся конвекционных завитках недостает времени, чтобы поглотить тепло.) Кроме того, емкости могут начать двигаться в обратную сторону, не успев лишиться всей воды. В результате полные черпаки на движущейся вверх стороне колеса способны замедлить вращение всей системы, а затем вызвать ее поворот в обратную сторону. Фактически Лоренц обнаружил, что в течение длительных периодов времени вращение может менять свое направление несколько раз, никогда не обретая постоянной скорости и никогда не повторяясь каким-либо предсказуемым образом[46].

Три уравнения с тремя переменными полностью описывали движение данной системы[47]. Компьютер ученого распечатал меняющиеся значения этих переменных в следующем виде: 0-10-0; 4-12-0; 9-20-0; 16-36-2; 30-66-7; 54-115-24; 93-192-Числа в наборе сначала увеличивались, затем уменьшались по мере отсчета временных интервалов: пять, сто, тысяча…

Чтобы наглядно изобразить полученные результаты, Лоренц использовал каждый набор из трех чисел в качестве координаты точки в трехмерном пространстве. Таким образом, последовательность чисел воспроизводила последовательность точек, образующих непрерывную линию, запись поведения системы. Эта линия могла прийти в какую-то точку и там остановиться, что соответствовало бы достижению равновесия, при котором скорость и температура оставались постоянными. Был возможен и второй вариант: формирование петли, повторяющейся вновь и вновь и сигнализирующей о переходе системы в периодически повторяющееся состояние.

Но Лоренц не обнаружил ни того ни другого. Система демонстрировала своего рода бесконечно сложное поведение. Траектория всегда оставалась ограниченной, но никогда не повторялась. Изгибы линии приобретали странные, но весьма характерные очертания, похожие на два крыла бабочки или на двойную спираль в трехмерном пространстве. И эта форма свидетельствовала о полной неупорядоченности, поскольку ни одна из точек или их комбинаций не повторялась. Но эта же форма свидетельствовала и о новом типе порядка.

Спустя годы физики все еще обсуждали публикацию Лоренца – «эту замечательную, необыкновенную статью!», – и в их взгляде появлялась задумчивость. О его работе говорили так, словно она представляла собой древний манускрипт, хранивший секреты вечности. Из тысяч статей, составивших специальную литературу по проблеме хаоса, вряд ли какая-либо цитировалась чаще, чем «Детерминированное непериодическое течение» Лоренца[48]. Многие годы ни один феномен не изображался столь бессчетное количество раз, ни об одном не сняли столько фильмов, сколько о таинственной кривой, описанной в этой главе, – двойной спирали, известной как «аттрактор Лоренца».

Она воплощала в себе сложность и запутанность, все многообразие хаоса.

Аттрактор Лоренца. Это магическое изображение (внизу), напоминающее маску совы или крылья бабочки, стало эмблемой первых исследователей хаоса. Оно раскрывает тонкую структуру, таящуюся в беспорядочном потоке информации. Традиционно изменение значений какой-либо переменной графически изображалось в виде так называемого временно́го ряда (вверху). Чтобы продемонстрировать меняющееся соотношение между тремя переменными, потребовался другой способ графического представления. В каждый момент времени три переменных задают положение точки в трехмерном пространстве; по мере изменения системы перемещение точки описывает непрерывное изменение переменных. Поскольку состояние системы никогда точно не повторяется, траектория не пересекает сама себя, образуя лишь новые и новые петли. Движение по аттрактору абстрактно, тем не менее оно передает особенности движения реальных систем. Например, переход от одного из «крыльев» аттрактора к другому соответствует началу обратного хода водяного колеса или изменению направления вращения жидкости при конвекции.

Но это во времена Лоренца ощущали немногие. Он рассказал о своих опытах Виллему Малкусу, профессору прикладной математики Массачусетского технологического института, который слыл человеком весьма тактичным и способным оценить по достоинству работу коллег. В ответ Малкус, рассмеявшись, произнес: «Эд, мы знаем, знаем доподлинно, что в жидкости ничего подобного не происходит из-за конвекции»[49]. По его мнению, вся сложность со временем загасится и система перейдет к установившемуся, регулярному движению.

«Конечно, мы упустили самую суть, – повторял Малкус спустя несколько десятилетий, когда в его полуподвальной лаборатории появилось настоящее, созданное для посрамления скептиков водяное колесо Лоренца. – Эду был чужд язык традиционной физики. Его мысль работала в границах некой обобщенной абстрактной модели, которая демонстрировала поведение, характерное, как он интуитивно чувствовал, для определенных аспектов внешнего мира. Он ощущал нечто, но не мог передать нам свои ощущения. Сейчас мы наконец поняли, как безраздельно владели Лоренцем его идеи».

В те времена лишь немногие сознавали, что отдельные области знания все сильнее изолируются друг от друга. Биологам было что читать и без книг по математике; более того, молекулярные биологи не отвлекались на чтение статей по популяционной биологии. Физикам не хватало времени штудировать метеорологические журналы. Только некоторые математики оценили открытие Лоренца, и еще целых десять лет физики, астрономы и биологи открывали уже открытое. В конце концов, Лоренц был метеорологом, и никому не приходило в голову искать первое описание феномена хаоса на сто тридцатой странице двадцатого выпуска JournaloftheAtmosphericSciences[50].

Глава 2

Революция

Конечно, нужно напрячься, Чтобы выйти за границы того, Что называют статистикой.

Стивен Спендер

Свежее видение. Маятник, “космические шары” и качели на детской площадке. Изобретение “подковы”. Загадка разгадана: Большое красное пятно на Юпитере.

Историк науки Томас Кун рассказывает о занимательном эксперименте, проведенном двумя психологами в 1940-х годах[51]. Испытуемым одну за другой показывали игральные карты и просили их назвать. Конечно, в эксперименте была небольшая хитрость: некоторые из карт были особенными, например, шестерка пик имела красную масть, а дама бубен – черную.

Пока испытуемым давали совсем мало времени, чтобы разглядеть карты, все шло как по маслу. Ответ на вопрос следовал незамедлительно, и люди не замечали ничего странного. Посмотрев на красную шестерку пик, они определяли ее как шестерку червей или как шестерку пик. Когда же время демонстрации карт увеличили, испытуемые засомневались. Им стало понятно, что с картами что-то не так, но что именно – они сообразить не могли. Как правило, они отвечали, что видели нечто странное, что-то вроде черного сердца с красной каймой.

В конце концов, получив возможность хорошенько рассмотреть каждую карту, большинство разгадало, в чем подвох, и сыграло партию без ошибок. Однако некоторые участники опыта, так и не раскрывшие обмана, совершенно потерялись, испытывая при этом настоящую муку. «Какой бы ни была эта масть, я не могу ее определить, – жаловался один. – То, что мне сейчас показали, вообще не похоже на игральную карту. Я не знаю, какого цвета изображение, и не уверен, пики это или черви. Сейчас я уже не могу в точности сказать даже, как выглядят пики… О господи!»[52]

Профессиональные исследователи, схватывающие смутные, быстро мелькающие картины жизни природы, в не меньшей степени склонны испытывать страдания и смятение, когда встречаются с чем-то странным. И когда эти странности меняют то, каким образом ученые смотрят на мир, происходят самые важные открытия. Таково мнение Куна, и история хаоса его подтверждает.

В 1962 году, когда появились первые публикации Куна о том, как работают ученые и как происходят научные революции, они были встречены со смесью враждебности и восторженности, и споры вокруг них не утихают до сих пор. Кун весьма скептически отзывался о традиционных воззрениях на прогресс в науке – что тот якобы совершается за счет накопления знаний, дополнения старых открытий новыми и возникновения новых теорий под влиянием вскрытых экспериментами фактов. Кун опровергал представление о науке как об упорядоченном процессе поиска ответов на заданные вопросы, подчеркивая разницу между тем, что предпринимают ученые при исследовании вполне уместных и ясно поставленных вопросов внутри своих дисциплин, и исключительными, неординарными работами, порождающими революции. Неслучайно в его представлениях ученые не казались идеальными рационалистами.

По мнению Куна, обычная наука состоит преимущественно из действий улучшающего характера[53]. Экспериментаторы оттачивают методику постановки опытов, проделанных уже не один раз до них[54]. Теоретики то добавляют кирпичик в стену познания, то слегка изменяют ее контур. И вряд ли дела могут обстоять иначе. Если бы все ученые начинали с нуля, подвергая сомнениям базовые предположения, то им стоило бы огромных трудов достичь того уровня, который необходим для выполнения действительно полезной работы. Во времена Бенджамина Франклина горстка энтузиастов в попытке постичь природу электричества могла – и должна была – выдвигать свои собственные основополагающие принципы[55]. Один из этих ученых считал притяжение наиболее важным действием электричества, принимая последнее за своего рода «испарение», исходящее от всевозможных субстанций. Другой полагал, что электричество подобно жидкости, передаваемой материалом-проводником. И все они без особых затруднений объяснялись как с обывателями, так и между собой, поскольку тогда еще не был выработан общий для всех, специальный язык для описания объекта исследования. А вот исследователь XX века, изучающий динамику жидкости, не смог бы совершить открытия, не имея в своем распоряжении специальной терминологии и математического аппарата. Но взамен, сам того не ощущая, он терял возможность ставить под сомнения первоосновы своей науки.

Кун видит в обычной науке средство решения задач, с которыми студенты сталкиваются, впервые открыв учебник. Задачи эти сопровождают большинство ученых в магистратуре, при работе над диссертацией, при написании статей для научных журналов (необходимый элемент успешной академической карьеры). «В обычных условиях ученого-исследователя нельзя назвать новатором. Он лишь решает головоломки, причем именно те, которые, по его мнению, могут быть сформулированы и решены в рамках существующей научной традиции», – пишет Кун[56].

Но случаются и революции, когда из пепла отжившей, загнавшей себя в тупик науки восстает новая. Зачастую такая революция носит междисциплинарный характер: важнейшие открытия нередко делаются исследователями, переступившими границы своей специализации. Занимающие их вопросы не рассматриваются как допустимые направления исследований, их диссертации отклоняют, а в публикации статей отказывают. Да и сами ниспровергатели не уверены, что смогут распознать решение, даже увидев его. Но они готовы рискнуть карьерой. Немногочисленные вольнодумцы работают в одиночку, они не способны даже самим себе внятно объяснить направление своих изысканий и опасаются рассказывать о них своим коллегам – таков романтический образ, рисуемый Куном. И этот образ не раз встречался в реальной жизни в области исследований хаоса.

Ученые, первыми обратившие внимание на феномен хаоса, могли многое поведать о неодобрении и даже об открытой враждебности, с которой они подчас сталкивались. Аспирантов убеждали не писать диссертаций по неизвестной дисциплине, о которой их руководителям мало что известно: подобное поставит под удар всю карьеру. Исследователь, занимавшийся физикой элементарных частиц, прослышав о новой математике, начинал сам с ней экспериментировать, думая о ее красоте – и сложности, однако при этом чувствовал, что никогда не сможет рассказать об этом коллегам[57]. Почтенные профессора, шагнув за пределы общепринятых научных изысканий и ощутив непонимание, а зачастую и просто негодование собратьев по цеху, пугались, что переживают возрастной кризис. Но испуг отступал перед искушением пережить волнение, порождаемое действительно неизведанным. Даже люди, не принадлежавшие к академическим кругам, но воспринимавшие перемены с энтузиазмом, обнаруживали в себе это чувство. Для Фримена Дайсона, в 1970-е годы работавшего в Институте перспективных исследований, соприкосновение с хаосом стало «чем-то вроде электрического шока». Другие же ученые просто понимали, что впервые за всю свою сознательную жизнь в науке они становятся свидетелями настоящей смены парадигмы, переворота в мышлении.

Специалисты, сразу признавшие за хаосом право на существование, бились над тем, как облечь свои открытия и размышления в подходящую для публикаций форму, поскольку работа велась на стыке дисциплин. Она казалась слишком абстрактной для физики и чересчур экспериментальной для математики. Препятствия на пути распространения новых веяний и яростное сопротивление традиционных школ кое-кто воспринял как свидетельство истинно революционного характера зарождавшейся науки. Поверхностные идеи усваиваются легко, но идеи, которые требуют пересмотреть представления о мире, вызывают враждебность. Джозеф Форд, физик из Технологического института Джорджии, нашел подтверждение этого у Толстого: «Я уверен, что большинство людей, в том числе и те, что свободно чувствуют себя, разрешая чрезвычайной трудности вопросы, редко могут принять даже самую простую и очевидную истину, если она обяжет их согласиться с ложностью результатов своей работы – выводов, с восторгом представленных в свое время коллегам, с гордостью описанных слушателям, вплетенных, нить за нитью, в жизнь самих их создателей»[58].

Многим представителям основных направлений науки новая дисциплина виделась весьма смутно. Некоторые, особенно исследователи динамики жидкостей, придерживавшиеся традиционных воззрений, отзывались о ней довольно резко. На первый взгляд утверждения теории хаоса выглядели дикими и ненаучными. К тому же они базировались на математическом аппарате, который казался необычным и сложным.

Однако, по мере того как адептов хаоса становилось все больше, некоторые факультеты относились к ним неодобрительно – но были и те, что им благоволили. Некоторые научные журналы взяли за неписаное правило не публиковать работ о хаосе – но другие, напротив, печатали исключительно статьи, посвященные новой дисциплине. «Хаотистов» (их называли и так) стали выдвигать на получение престижных ежегодных стипендий и премий[59]. К середине 1980-х годов расслоение в академической среде привело к тому, что приверженцы хаоса заняли весьма значительные административные посты в высших учебных заведениях. Так были созданы центры и институты, специализирующиеся на «нелинейной динамике» или «сложных системах»[60].

Хаос сделался не только объектом изучения, но и методом; не просто сводом верований, но и средством продвижения науки вперед. Он породил новые способы использования компьютерной техники, воздавшие должное возможностям скромных терминалов, которые обеспечивают гибкую связь человека с компьютером и работают эффективнее сверхбыстродействующих моделей Cray или Cyber. Для исследователей хаоса математика стала экспериментальной наукой, компьютеры заменили собой лаборатории с рядами пробирок и микроскопами. Графические изображения приобрели первостепенную важность, что дало повод одному из хаотистов съязвить: «Математик, не опирающийся в своей работе на зрительные образы, подобен мазохисту… Как может он видеть соотношение между разными видами движения? Как он может развивать интуицию?»[61] Одни ученые занимались хаосом, но отрицали революционный характер теории[62]. Другие же, наоборот, называли происходящее сдвигом парадигмы, выражаясь терминологией Куна.

Стиль ранних публикаций о хаосе вызывал в памяти времена Франклина, когда пионеры науки формировали свои первые постулаты. Как замечает Кун, совокупность знаний, являющаяся отправной точкой для исследовательской работы, воспринимается авторитетными научными дисциплинами без доказательств. Из боязни наскучить коллегам многие ученые обычно писали свои статьи в крайне специализированном ключе. Статьи о хаосе начиная с 1970-х годов, напротив, звучали подобно Евангелию. От предисловия до заключения то были манифесты, призывающие ученых действовать, работать, изучать. В них говорилось о результатах, которые кажутся одновременно захватывающими и вызывающими[63]. О том, что теоретическая картина перехода от плавного перемещения к турбулентности только начинает вырисовываться. О том, что сущность хаоса математически постижима и никто не отрицает, что именно он сейчас предвещает будущее[64]. Но чтобы принять последнее, необходимо отречься почти от всего в прошлом.

Новые надежды, непознанные направления, а самое главное – свежее видение… Революции не происходят исподволь[65]. Одна точка зрения на природу заменяется другой. Старые проблемы предстают в новом свете, а то и вовсе признаются впервые. Происходит нечто такое, что можно сравнить с полным техническим переоснащением целой отрасли промышленности для выпуска новой продукции. Если говорить словами Томаса Куна, «научное сообщество словно оказалось вдруг на другой планете, где изученные уже предметы видятся в новом свете и появляются совсем незнакомые»[66].

Предметом своих опытов новая наука сделала маятник, символ классической механики, образец ограниченного движения, воплощение размеренной работы часового механизма. Свободно качающийся на конце стержня отвес[67]. Что может быть дальше от буйства турбулентности?

Предания прочно связали образ Архимеда с ванной, Ньютона – с яблоком, а Галилея – с лампадой, мерное качание которой взад и вперед, раз за разом, снова и снова, подсказывало подсознанию ученого новые идеи. Предсказуемость движения маятника позволила Христиану Гюйгенсу применить его в часах и поставить западную цивилизацию на путь, с которого нет возврата. В огромном зале парижского Пантеона при помощи маятника высотой с 20-этажный дом Фуко доказал факт вращения Земли. Маятники разных форм и размеров – важная деталь всех, в том числе и наручных, часов, за исключением разве что кварцевых. (Хотя, если на то пошло, колебания кварцевого механизма не сильно отличаются.) В пространстве, где нет трения, периодические движения совершаются перемещающимися по орбитам небесными телами. Но на планете Земля упорядоченное колебание присуще маятникам или сходным с ними устройствам. Работа простейших электронных схем описывается уравнениями, абсолютно аналогичными тем, что описывают качание отвеса, – электронные колебания происходят в миллионы раз чаще, однако природа их та же. Тем не менее к XX веку классическая механика стала не более чем учебным предметом и составляющей рядовых инженерных проектов, а маятники украсили научные музеи и сувенирные магазинчики аэропортов, приняв обличье вращающихся «космических шаров» из пластика. Ни один серьезный физик ими больше не интересовался.

И все же маятник смог вновь удивить ученых, став пробным камнем, каким в свое время он оказался и для Галилея, совершившего в результате переворот. Аристотель, наблюдая за маятником, видел в нем груз, который тщетно стремится достигнуть земли и качается взад и вперед потому, что стержень ограничивает его движение[68]. Современному ученому сказанное покажется наивным. Ему, связанному классическими представлениями о движении, инерции, силе тяжести, довольно сложно оценить господствовавшие некогда убеждения, которые сформировались под влиянием аристотелева понимания маятника. По Аристотелю же, движение тел есть не физическая величина или результат действия силы, а скорее изменения, подобные тем, что происходят по мере роста человека, – падающий груз просто стремится к своему естественному состоянию, которое достижимо, если объект предоставлен самому себе. В контексте своего времени точка зрения Аристотеля имела смысл. С другой стороны, Галилей, изучая маятник, подметил некую упорядоченность, доступную измерениям; чтобы объяснить ее, необходимо было мыслить совершенно по-новому, воспринимая объекты в движении. Преимущество Галилея над древними греками заключалось вовсе не в том, что у него были более точные данные. Напротив, его идея – приставить к маятнику наблюдателей и подсчитать число колебаний за сутки – предполагала проведение трудоемкого эксперимента. Галилей увидел упорядоченность в движении маятника потому, что у него уже была теория, предсказывавшая данный факт. Он понял то, чего не постиг Аристотель: движущийся объект стремится продолжать движение, а изменения скорости или направления объясняются лишь вмешательством внешней силы, например силы трения.

На самом деле Галилей настолько подпал под власть своих умопостроений, что увидел упорядоченность, которой не было.

По его убеждению, маятник определенной длины не только показывает точное время, но и обнаруживает независимость периода колебаний от угла отклонения. Проще говоря, маятник с бо́льшим углом отклонения проходит больший путь, но делает это быстрее. Другими словами, период колебаний маятника не зависит от его амплитуды: «Если два человека начнут считать число колебаний и один будет считать те, что имеют широкий угол, а второй – колебания с небольшим углом, то обнаружится, что после десятков, даже сотен движений маятников их данные будут полностью совпадать, не различаясь и на доли единицы»[69]. Галилей сформулировал это утверждение, описывая некий эксперимент, однако убедительности ему придала теория – причем такой, что оно до сих пор входит прописной истиной в большинство курсов физики высших школ[70]. Тем не менее данный постулат неверен: упорядоченность, замеченная Галилеем, лишь приблизительна, так как изменяющийся угол движения отвеса привносит в уравнения едва заметный элемент нелинейности. При малых амплитудах погрешность почти не проявляется, но она существует и поддается измерению, даже в таком грубом эксперименте, как описал Галилей.

Хотя небольшими эффектами нелинейности можно пренебречь, экспериментаторы быстро осознали, что живут в несовершенном мире. Со времен Галилея и Ньютона поиски упорядоченности в опытах отличались особой основательностью. Любой экспериментатор ищет неизменные или нулевые величины, но это значит, что он пренебрегает той крошечной долей беспорядочного, что вмешивается в четкую картину результатов. Если химик понимает из эксперимента, что в один день соотношение двух веществ составляет 2,001, в другой – 2,003, a в третий – уже 1,998, то весьма неосмотрительно с его стороны будет не подыскать теорию, объясняющую, что истинное соотношение равно два к одному.

Для получения своих стройных результатов Галилей был вынужден игнорировать известные ему нелинейные эффекты – трение и сопротивление воздуха. Последнее является весьма досадной неприятностью, осложнением, которое необходимо устранить, чтобы постичь сущность новой механики. Падает ли птичье перышко так же быстро, как камень? Как показывает опыт, скорость их падения различна. Легенда о Галилее, бросавшем шары с Пизанской башни, – это история о том, как изменилась интуиция ученых благодаря изобретению идеального научного мира, где упорядоченность можно отделить от погрешностей опыта.

Отделив действие силы тяжести на тело определенной массы от действия сопротивления воздуха – что стало блестящим достижением научной мысли, – Галилей вплотную приблизился к сути инерции и измерению количества движения. Все же в реальном мире маятники ведут себя так, как описано в парадигме Аристотеля: они останавливаются.

Закладывая основу грядущей смены парадигм, физики столкнулись с тем, что принимали за пробел в знаниях о простых системах вроде маятника. К началу XX века диссипативные[71] процессы, к примеру трение, были уже изучены и учитывались в уравнениях. На занятиях студентам рассказывали, что нелинейные системы, как правило, не имеют решения, и это вполне соответствовало истине[72]. Но утверждение, что эти системы большей частью представляют собой исключения из правил, истиной не являлось. Поведение целого класса движущихся объектов – маятников, в том числе двойных, спиралей и гибких стержней, щипковых и смычковых струн – описывается классической механикой. К жидкостным и электрическим системам применили сходный математический аппарат. Однако почти никто во времена безраздельного господства «классики» не подозревал, что стоит только уделить нелинейным элементам должное внимание – и обнаружится, что в динамических системах таится хаос.

Физик не способен до конца проникнуть в тайны турбулентности и сложности, не поняв феномена маятника. Но до конца постичь эти тайны в первой половине XX века было попросту невозможно. По мере того как хаос стал сводить воедино изучение различных систем, динамика маятников расширялась, вбирая в себя поведение даже таких продуктов высоких технологий, как лазеры и джозефсоновские контакты[73]. Ход некоторых химических реакций оказался подобен поведению маятника[74]. Нечто похожее прослеживалось и в биении сердца. По словам одного ученого, динамика маятника таила в себе новые возможности для «психологии и психиатрии, экономического прогнозирования и, возможно, даже для социальной эволюции»[75].

Представьте качели на детской площадке. Они набирают скорость, устремляясь вниз, и теряют ее по мере движения вверх; часть энергии постоянно утрачивается из-за трения. Допустим, что качели приводит в движение некий механизм, подобный часовой пружине. Как подсказывает нам интуиция, в какой бы точке ни началось движение, оно станет постоянным. Качели будут раскачиваться взад и вперед, поднимаясь каждый раз на одну и ту же высоту. Такое возможно[76]. Однако, как ни удивительно, качели могут колебаться и весьма странным образом: сначала взлетать высоко, затем низко, никогда не останавливаясь и не повторяя тот же рисунок движения, что наблюдался прежде[77].

Поразительно неустойчивое поведение порождается нелинейностью потока энергии на входе и выходе этого простейшего осциллятора. В нем постоянно противоборствуют две силы – сила трения, стремящаяся затормозить систему, и внешние толчки, приводящие ее в движение. Даже когда подобная система, казалось бы, находится в равновесии, это лишь видимость. Мир полон таких систем, взять хотя бы атмосферную систему, которую «заглушает» трение перемещающихся воздушных масс и воды, рассеивание тепла в открытый космос и «приводит в движение» постоянный приток солнечной энергии.

Впрочем, вовсе не непредсказуемость поведения маятников была причиной, которая подвигла физиков и математиков снова всерьез взяться за их изучение в 1960-1970-х годах. Непредсказуемость лишь подогрела интерес к проблеме. Исследователи динамики хаоса обнаружили, что неупорядоченное поведение простых систем является неким процессом созидания. Оно создавало сложность: перед взором исследователей представали причудливые объекты, иногда устойчивые, а иногда не очень, имеющие пределы или безграничные, но всегда обладающие очарованием жизни. Именно поэтому ученые, словно дети, играли в эти игрушки.

Одна такая игрушка появилась на прилавках сувенирных магазинов под названием «космические шары», или «небесная трапеция»[78]. Конструкция представляет собой два шарика, закрепленных на противоположных концах стержня, который, в свою очередь, подобно поперечине буквы Г, крепится к маятнику сверху. Третий шар, более массивный, чем первые два, крепится к основанию буквы Т. Качание маятника сопровождается свободным вращением верхнего стержня. Внутри у всех трех шариков находятся маленькие магниты. Однажды запустив устройство, вы наблюдаете, как оно работает. В его основание встроен электромагнит с автономным питанием, и всякий раз, когда нижний шарик приближается к основанию, он получает легкий магнитный толчок. Временами устройство качается устойчиво и ритмично, но порой его бесконечно изменчивое и не перестающее удивлять движение напоминает хаос.

Другая игрушка представляет собой сферический маятник, который, в отличие от обычного, раскачивается в любом направлении, не ограничиваясь лишь двумя. В основание устройства помещены несколько небольших магнитов, притягивающих металлический отвес. В момент остановки маятника отвес прилипает к одному из магнитов. Идея заключается в том, чтобы запустить маятник и угадать, какой из магнитов притянет к себе отвес. Предсказать это с высокой вероятностью невозможно, даже если магнитов всего три и расположены они в вершинах треугольника. Некоторое время маятник будет качаться между вершинамиA и В, потом движение перейдет на сторону В и С, и в тот момент, когда отвес, казалось бы, должен притянуться к вершине С, он вновь перепрыгнет к A. Допустим, ученый, изучающий поведение такой игрушки, составит что-то наподобие карты. Запуская маятник, он выберет точку начала движения, а следующую точку обозначит красным, синим или зеленым цветом в зависимости от того, каким из магнитов будет притянут отвес. Каким в итоге получится изображение? Можно ожидать, что на нем проступят области сплошного красного, синего и зеленого цветов – там, где отвес почти наверняка притянется к определенному магниту. Но на рисунке будут видны и такие зоны, где цвета переплетаются бесконечно сложно. С какого расстояния ни рассматривай рисунок, как ни увеличивай изображение, синие и зеленые точки всегда будут соседствовать с красными. Следовательно, движение отвеса в этих областях предсказать практически невозможно.

Ученые, занимающиеся динамикой, традиционно полагают, что описать поведение системы с помощью уравнений – значит понять ее. Что лучше уравнений может передать существенные черты системы? Уравнения, описывающие движение качелей или тех же игрушек, устанавливают связь между углом отклонения маятника, скоростью, преодолеваемым трением и движущей силой. Но из-за того, что в уравнениях присутствует крошечная доля нелинейности, исследователь также обнаружит, что он не в состоянии ответить на простейшие практические вопросы о будущих состояниях системы. С помощью компьютера эти состояния можно смоделировать, быстро просчитав каждый цикл. Однако моделирование имеет свои минусы: едва заметная неточность с каждым шагом расчета быстро нарастает, поскольку системе свойственна «сильная зависимость от начальных условий». Полезный сигнал быстро теряется в шумах.

Но теряется ли на самом деле? Открыв непредсказуемость, Лоренц одновременно обнаружил и некую регулярность. Другим исследователям также удавалось нащупать что-то похожее на структуру в беспорядочном, на первый взгляд, поведении изучаемых систем. Тем, кто не отмахнулся от исследования маятника как объекта, чересчур простого для изысканий, удалось разглядеть весьма интригующие детали. Ученые осознали, что, хотя основное в механизме колебаний маятника уже постигнуто физикой, это знание невозможно применить для прогнозирования долговременного поведения системы. Мелкие детали были уже ясны, а поведение маятника в крупных временных масштабах все еще представлялось загадкой. Рушился традиционный, локальный подход к исследованию систем, подразумевавший рассмотрение каждого элемента в отдельности, а затем соединение их в целое. В отношении маятников, жидкостей, электронных схем и лазеров метод познания, основанный на составлении уравнений, больше не оправдывал себя.

В 1960-х годах дорогой Лоренца шли и некоторые другие исследователи, в числе которых были французский астроном, изучавший орбиты галактик[79], и японский инженер-электронщик, работавший с электронными микросхемами[80]. Тем не менее первая обдуманная и согласованная попытка понять суть отличия глобального поведения от локального исходила от математиков. Среди них был Стивен Смейл из Калифорнийского университета в Беркли, уже известный своими решениями наиболее запутанных проблем многомерной топологии. Когда один из молодых физиков[81] как бы между прочим поинтересовался у Смейла направлением его деятельности, в ответ он услышал всего лишь одно слово, которое буквально ошеломило юношу, показавшись ему чистой воды абсурдом. Смейл изучал осцилляторы![82] Все колеблющиеся системы – маятники, струны, электросхемы – представляют собой ту область знаний, с которой физики «разделываются» еще в самом начале учебы по причине ее простоты. С чего бы прославленному математику тратить время на элементарную физику? Лишь несколько лет спустя молодой человек осознал, что Смейла интересовали нелинейные хаотические осцилляторы. Этот математик видел вещи, недоступные физикам.

Вначале Смейл выдвинул ошибочную догадку. На строгом математическом языке он предположил, что практически все динамические системы в большинстве случаев начинают вести себя вполне понятно и предсказуемо. Но, как он вскоре понял, дела обстояли не так просто.

Смейл был одним из тех математиков, которые не только решают проблемы, но и подкидывают их другим. Знание истории и интуитивное понимание природы подсказывали ему, что появилось множество новых областей знания, достойных внимания математика. Подобно удачливому бизнесмену Смейл оценивал возможные риски и хладнокровно вырабатывал свою стратегию. Словно гамельнский крысолов, он обладал способностью очаровывать и увлекать за собой людей: куда шел Смейл, туда устремлялись многие. Тем не менее его слава не ограничивалась занятиями математикой. В самом начале войны во Вьетнаме он вместе с Джерри Рубином организовал акцию «Международные дни протеста», которая преследовала цель добиться запрета на передвижение армейских составов через Калифорнию. В 1966 году, когда Комиссия по расследованию антиамериканской деятельности пыталась вызвать его на судебные слушания, Смейл уехал на Международный конгресс математиков в Москву. Там он был удостоен Филдсовской премии, самой престижной награды в области математики.

История, случившаяся летом 1966 года в Москве, стала одной из легенд, которые окружали этого удивительного человека[83]. На конгрессе, где собралось пять тысяч математиков, кипели эмоции, разгорались политические страсти, составлялись разнообразные обращения и петиции. Ближе к концу, по просьбе журналиста из Северного Вьетнама, Смейл провел пресс-конференцию прямо на широких ступенях Московского государственного университета. Он начал с осуждения американской интервенции во Вьетнаме, но, заметив радостные улыбки чиновников принимавшей стороны, обрушился и на вторжение советских войск в Венгрию и ущемление гражданских свобод в Советском Союзе. Вскоре после этого Смейл вынужден был объясняться с советскими должностными лицами, а по возвращении в Калифорнию узнал, что Национальный научный фонд лишил его гранта[84].

Смейл был удостоен медали Филдса за выдающиеся исследования в области топологии – раздела математики, который начал бурно развиваться в XX веке, достигнув расцвета в 1950-е годы. Предметом топологии являются те свойства и качества, которые остаются неизменными при деформации геометрических фигур путем скручивания, сжатия или растяжения. Очертания и величина фигур – квадратные или круглые, большие или маленькие – для топологии не столь важны, так как могут быть изменены деформацией. Для тополога представляет интерес другое: есть ли на поверхности фигуры разрывы или отверстия, не имеет ли она форму узла. Топологи работают с поверхностями не только в одно-, двух– или трехмерном евклидовом мире, а в пространствах более высоких размерностей, которые и представить-то себе невозможно. Объекты топологии подобны геометрическим фигурам на растягивающейся листовой резине, и рассматривает она не столько количественные, сколько качественные характеристики, то есть задает вопрос: что мы может сказать о структуре в целом, если не знаем ее конкретных параметров? Смейл разрешил одну из основных задач топологии, имеющих длинную историю, – доказал так называемую обобщенную гипотезу Пуанкаре для пятимерного пространства и пространств большей размерности[85]. Благодаря этому он встал в один ряд с выдающимися коллегами по цеху. Тем не менее в 1960-х годах, оставив топологию, Смейл вступил на неизведанную землю: он занялся динамическими системами.

Возникновение обеих дисциплин – топологии и теории динамических систем – восходит еще к Анри Пуанкаре, который считал их двумя сторонами одной медали. На рубеже веков он последним из великих математиков применил геометрию для описания законов движения в физической вселенной. Пуанкаре раньше всех осознал проблему хаоса. Его работы содержат смутные указания на возможную непредсказуемость, столь же серьезную, какой она предстает и в исследованиях Лоренца. Однако после смерти французского математика топологию ожидал расцвет, а динамические системы – забвение. Даже само понятие вышло из употребления. Предмет, на который обратил свое внимание Смейл, назывался теорией дифференциальных уравнений. Последние использовались для описания непрерывных изменений системы во времени, причем в соответствии с господствующей традицией объекты рассматривались «локально». Подразумевалось, что инженер или физик примет во внимание лишь один набор параметров, описывающих состояние системы в данный момент времени. Смейл, как и Пуанкаре, стремился исследовать явления в глобальном масштабе, желая постигнуть все разнообразие возможностей сразу.

Любая совокупность уравнений, описывающих динамическую систему (в частности, уравнения Лоренца), позволяет установить определенные начальные параметры. В случае с тепловой конвекцией, например, один из заданных параметров характеризует вязкость жидкости. Значительные изменения исходных данных могут повлечь за собой ощутимые перемены в системе: например, вместо того чтобы стремиться к состоянию равновесия, система может начать совершать периодические колебания. Однако физики предполагали, что слабые изменения способны вызвать незначительное расхождение лишь в числовых данных, но никак не в качественном поведении системы.

Связав топологию и динамические системы, ученые получили бы возможность использовать геометрические образы для наглядного представления всего разнообразия способов поведения систем. С простой системой можно связать какую-то изогнутую поверхность, а со сложной – многообразие со множеством измерений[86]. Точка на поверхности описывает состояние системы в определенный момент времени. С течением времени состояние системы меняется – и точка передвигается по поверхности, описывая на ней некоторую траекторию. Изменяя параметры системы – например, слегка повышая вязкость жидкости или немного увеличивая силу, прикладываемую к маятнику, – мы немного изгибаем эту поверхность или траектории на ней. Приблизительно одинаковые очертания траекторий свидетельствуют о приблизительно одинаковом поведении. Если мы можем наглядно их себе представить, то можем понять, как устроена система.

Когда Смейл обратился к динамическим системам, топологией, как и чистой математикой, занимались люди, относившиеся с пренебрежением к прикладному применению математических знаний. Физика и топология – дисциплины, родственные по происхождению. Однако математики начисто забыли об этом, изучая геометрические образы ради них самих. Смейл, будучи до мозга костей математиком, разделял общее заблуждение, полагая, впрочем, что абстрактные и понятные лишь немногим достижения топологии могут однажды обогатить и физику. Того же мнения придерживался в начале XX века и Пуанкаре.

Так случилось, что первый шаг в новой области Смейл сделал в неверном направлении. Если говорить на языке физики, он предложил закон природы, гласивший примерно следующее: система может вести себя беспорядочно, но подобное поведение не является устойчивым. Устойчивость – «устойчивость по Смейлу», как иногда называли ее математики, – была решающим свойством. Устойчивым именовалось такое поведение системы, которое не могло измениться из-за крохотной флуктуации одного из численных параметров. В любой системе может наблюдаться как устойчивое, так и неустойчивое поведение. Уравнения, которые описывают стоящий вертикально на острие грифеля карандаш, математически легко решаются, если центр тяжести карандаша располагается прямо над точкой опоры. Однако поставить карандаш в такое положение нельзя, поскольку оно неустойчиво: едва заметные колебания выводят систему из равновесия. С другой стороны, шарик, лежащий в лунке, там и останется. Даже если его слегка потревожить, шар вернется в прежнюю позицию. Физики полагали, что любое поведение системы, фактически доступное регулярному наблюдению, должно являться устойчивым, так как небольшие помехи и изменчивость в реальных системах неизбежны, а мы никогда не знаем точных значений параметров. Если вам необходима модель, физически реалистичная и одновременно выдерживающая незначительные изменения, то, по мнению физиков, вам определенно нужна устойчивая модель[87].

Плохие новости пришли в письме от коллеги вскоре после Рождества 1959 года, которое Смейл проводил в доме в Рио-де-Жанейро с женой, двумя малышами и кучей подгузников. В его гипотезе был определен класс структурно устойчивых дифференциальных уравнений. Смейл утверждал, что любая хаотическая система может быть приближена с любой степенью точности какой-то подходящей системой из определенного им класса. Но он ошибался. В письме его коллега сообщал, что многие системы вовсе не так понятны, как представлялось Смейлу[88]. В доказательство автор письма приводил систему, в которой сосуществовали хаос и устойчивость. Эта система была структурно устойчивой! Если вы ее слегка «пошевелите» (а любая естественная система постоянно испытывает случайные «шевеления»), ее странные свойства никуда не денутся. Устойчивая и странная… Смейл с недоверием вчитывался в строки письма, однако через некоторое время убедился в правоте коллеги[89].

Хаос и неустойчивость – понятия, смысл которых еще не отлился в чеканные формулировки, – вовсе не синонимы. Хаотичная система вполне может демонстрировать устойчивость, если ее специфическое иррегулярное поведение продолжает существовать вопреки незначительным помехам. Система Лоренца наглядно показывала это, хотя пройдут годы, прежде чем Смейл услышит о Лоренце. Открытый Лоренцем хаос при всей своей непредсказуемости был столь же устойчивым, как шарик в лунке[90]. Можно добавить в эту систему шум, покачать, хорошенько разболтать ее, помешать движению внутри нее – и все равно, когда возмущение уляжется и мимолетные факторы исчезнут, словно замирающее эхо в глубоком каньоне, система вновь вернется к своему прежнему беспорядочному состоянию. Локально она непредсказуема, глобально – устойчива. Реальные же динамические системы вели себя, повинуясь куда более сложному набору правил, чем можно вообразить. Пример, который приводился в адресованном Смейлу послании, являл собой другую простую систему, открытую более тридцати лет назад, но незаслуженно забытую. Эта система – колебательный электрический контур, по сути своей маятник, нелинейный и подвергаемый, подобно качелям с качающимся на них ребенком, периодическому воздействию силы.

Если еще точнее, речь шла об электронной лампе, работу которой изучал в 1920-е годы голландский инженер-электронщик Балтазар Ван дер Поль[91]. Современный студент-физик легко разберется в поведении такого осциллятора, взглянув на экран осциллографа, но Ван дер Поль, за неимением последнего, был вынужден изучать его, прислушиваясь к изменениям тональности звука в телефонных наушниках. Раз за разом изменяя силу подаваемого электрического тока, он, к своему удовольствию, обнаружил в поведении системы некий порядок: будто взбегая по лестнице, тон последовательно «перепрыгивал» от частоты к частоте. Но однажды голландец заметил кое-что очень странное: звуки в наушниках стали иррегулярными. Изобретатель затруднялся объяснить, что происходит в лампе. Впрочем, это его не слишком беспокоило. «Порой перед переходом к более низкой частоте в телефонном приемнике слышится иррегулярный шум, – отмечал он в письме в журнал Nature. – Однако это второстепенное явление»[92]. Ван дер Поль был одним из многих ученых, которые увидели хаос краем глаза, однако не имели подходящего языка, чтобы понять это. Для создателей электронных ламп важным был захват частоты. Для людей же, пытавшихся проникнуть в природу сложного, гораздо интереснее был «иррегулярный шум», исходивший от взаимодействия токов высокой и низкой частот.

Хотя гипотеза Смейла не подтвердилась, она дала новое направление его исследованиям сложных динамических систем. Некоторые математики по-новому оценили возможности осциллятора Ван дер Поля, и теперь Смейл приложил их выводы к неизвестной области. Единственным его осциллографом был его собственный мозг, но этот мозг довели до совершенства годы изучения топологической вселенной. Смейл досконально разобрался в пространстве всех возможных состояний осциллятора – пользуясь физическими терминами, в фазовом пространстве. Любое состояние системы, зафиксированное в определенный момент времени, описывается одной точкой фазового пространства. Все данные о положении или скорости системы содержатся в координатах указанной точки. Если состояние системы изменится, точка передвинется в новое место. Поскольку состояние меняется непрерывно, точка вычерчивает траекторию.

Фазовое пространство простой системы вроде маятника – это просто прямоугольник на плоскости. Угол отклонения маятника в заданный момент времени определяет положение точки на оси «восток – запад», а его скорость – на оси «север – юг». Для маятника, периодически качающегося взад и вперед, траектория в фазовом пространстве будет петлей, закручивающейся вновь и вновь, по мере того как система раз за разом проходит через те же состояния.

Построение изображений в фазовом пространстве. Традиционные временные ряды (вверху)и траектории в фазовом пространстве (внизу)используются как два вида наглядного отображения одних и тех же данных и визуализации поведения системы в течение длительного периода времени. Первая (слева)система сходится к одной точке фазового пространства, что подразумевает устойчивое равновесие. Вторая периодически повторяет саму себя, образуя циклическую орбиту. Третья обнаруживает периодическое повторение в более сложном, «вальсовом» ритме, демонстрируя цикл с тремя волнами. Четвертая хаотична.

Вместо того чтобы наблюдать за какой-либо одной траекторией, Смейл сосредоточился на том, как преобразуется все фазовое пространство системы в целом, когда та меняется – например при увеличении движущей силы. При этом он сконцентрировал свои размышления на некой геометрической сущности, абстрагировавшись от сути физической. В качестве инструментария Смейл использовал топологические трансформации в фазовом пространстве – преобразования вроде растяжения и сжатия. Иногда эти преобразования несли в себе прямой физический смысл. Так, рассеивание энергии и ее потеря на трение наглядно отображались в виде сжатия очертаний системы в фазовом пространстве, подобно опадающему воздушному шару, сокращаясь в итоге до точки, в которой система окончательно останавливалась. Смейл понял, что для воспроизведения всей сложности поведения осциллятора Ван дер Поля в фазовом пространстве необходимо использовать новый сложный набор трансформаций, и быстро превратил идею о зрительном представлении глобального поведения системы в новую модель. Его изобретение – образ хаоса, овладевший на многие годы умами, – представляло собой структуру, известную как подкова Смейла.

Чтобы представить себе упрощенный вариант подковы Смейла, вообразите прямоугольник, а затем прижмите левую сторону к правой[93]. Получится вертикальный брусок, который надо дополнительно растянуть по вертикали и согнуть в виде подковы. Подкову нужно встроить в новый прямоугольник и повторить преобразования: сжатие, растяжение и сгибание.

Процедура напоминает механическое замешивание карамели, при котором вращающиеся насадки ловко растягивают сладкую жирную массу, сворачивают ее вдвое, вновь вытягивают, и так снова и снова, пока конфета не приобретет изящную продолговатую форму и сахарные завитки внутри нее не станут повторять друг друга самым причудливым образом[94]. Смейл создал свою подкову, пройдя несколько стадий топологического преобразования. Отвлекшись от математики, можно отметить, что подкова – точный и зримый образ «сильной зависимости от начальных условий», которую Лоренц откроет в отношении атмосферных явлений несколькими годами позже. Выберите две соседние точки в начальном пространстве – и вы не сможете угадать, где именно они окажутся. Они будут разведены путем сгибания и скручивания пространства. Две точки, которые некогда находились рядом, впоследствии могут оказаться довольно далеко друг от друга.

Подкова Смейла. Такая топологическая трансформация заложила весьма простую основу понимания хаотических свойств динамических систем: пространство растягивается в одном направлении, сжимается в другом, а затем перегибается. При повторении операции образуется нечто вроде структурированного беспорядка, подобного тому, который мы получаем, сворачивая пирожные из слоеного теста. Две точки, оказавшиеся рядом в конце преобразований, вначале могли находиться далеко друг от друга[95].

Первоначально Смейл надеялся объяснить поведение всех динамических систем в терминах вытягивания и сжатия, но не сгибания, по крайней мере такого, которое сильно подорвало бы устойчивость системы. Однако это преобразование оказалось необходимым и резко изменило динамику[96]. Подкова Смейла стала первой в ряду новых геометрических форм, благодаря которым математики и физики многое узнали о возможностях движения. В некотором смысле это изобретение оказалось слишком искусственным для прикладных целей и в слишком большой мере изобретением топологии, чтобы вызвать интерес физиков, однако оно стало отправной точкой для дальнейших изысканий. В 1960-е годы Смейл создал в Беркли исследовательскую группу из молодых математиков, разделявших его интерес к изучению динамических систем. Прошло десятилетие, прежде чем результаты их работы удостоились полноценного внимания представителей других, не столь далеких от практики дисциплин. Когда это все же случилось, физики поняли, что Смейл повернул целый раздел математики лицом к реальному миру, и заговорили о наступлении золотого века науки[97].

«Происходит самая эпохальная смена парадигм из всех, какие я видел», – так прокомментировал происшедшее Ральф Абрахам, коллега Смейла, впоследствии профессор математики в Калифорнийском университете в Санта-Крузе[98].

«Когда я начал свою профессиональную деятельность в области математики в 1960 году, а это было не так давно, математика в современном ее виде полностью – буквально полностью – отвергалась даже самыми передовыми специалистами по математической физике. Дифференциальная динамика, глобальный анализ, многообразия отображений, дифференциальная геометрия – почти все, сделанное спустя пару лет после работ Эйнштейна, было отвергнуто. Можно сказать, что брак между математикой и физикой завершился разводом уже в 1930-х годах – ученые двух областей, ничего не обсуждая между собой, презирали друг друга. Специалисты по математической физике не позволяли своим выпускникам посещать занятия математиков: „Учитесь математике у нас! Мы сами научим вас всему, что нужно знать. Они слишком сконцентрированы на себе и лишь извратят ваше мышление!“ Шел 1960 год. Через восемь лет ситуация коренным образом изменилась». Физики, астрономы, биологи – все осознавали, что стоят на пороге новых открытий.

Одна из скромных загадок космоса – Большое красное пятно на Юпитере[99]. Овальной формы, огромное, похожее на гигантский вихрь, оно никуда не движется, но никогда и не исчезает. Взглянув на снимки, переданные в 1978 году «Вояджером-2», любой узнает в этом движении хорошо знакомое проявление турбулентности, правда, невиданного доселе, вселенского масштаба. Пятно – одна из давно известных достопримечательностей Солнечной системы, «налитое кровью око средь завитков нахмуренных бровей», как описал его Джон Апдайк[100]. Но что же это такое? Через двадцать лет после Лоренца Смейл и другие ученые, по-новому взглянув на природные токи, поняли, что внеземная атмосфера Юпитера подбрасывает им загадку, достойную того, чтобы на ней испытать новые представления о возможностях природы, пришедшие с наукой о хаосе.

Три столетия подряд поиски разгадки приводили к тому, что чем больше мы узнавали, тем меньше понимали. Астрономы обнаружили пятно на Юпитере вскоре после того, как Галилей направил свои телескопы на крупнейшую из планет Солнечной системы. Роберт Гук увидел это образование еще в начале XVII века, Донато Крети изобразил таинственный феномен на полотне (работа хранится в картинной галерее Ватикана). Пока то было просто некое цветное пятно, оно не особенно нуждалось в объяснении. Однако телескопы совершенствовались и новое знание порождало новые гипотезы и теории, буквально наступавшие друг другу на пятки. Вот лишь некоторые из них.

Теория извержения лавы. В конце XIX века ученые представляли себе пятно как огромное озеро лавы, вытекающей из кратера вулкана или же из отверстия, которое образовалось в твердой коре после падения на поверхность планеты одного из спутников Юпитера.

Теория зарождения Луны. Один немецкий ученый, напротив, предположил, что загадочное пятно связано с формированием новой юпитерианской луны.

Теория яйца. Когда обнаружилось, что пятно слегка перемещается относительно планеты, в 1939 году возникла гипотеза о более или менее твердом образовании, которое плавает в атмосфере, подобно тому как яйцо плавает в воде. Варианты этой теории, в том числе идея о дрейфующем скоплении газа (водорода или гелия), высказывались на протяжении десятилетий.

Теория газового столба. В XX веке вскрылась и другая новая деталь: хотя пятно перемещается, сдвиг никогда не бывает значительным. В 1960-х годах родилось предположение, что пятно – вершина бьющего из недр планеты газового столба, который, вероятно, берет свое начало в одном из кратеров.

А потом полетел «Вояджер». Большинство астрономов считали, что загадка Большого красного пятна разрешится сразу, как только они смогут взглянуть на него вблизи. И действительно, «Вояджер» передал много полезной информации, но она не решила проблемы. На фотографиях Юпитера, полученных в 1978 году, дули стремительные ветры, закручивались в спирали красочные вихревые токи, но самым впечатляющим зрелищем оказалось пятно, подобное урагану, система кружащихся водоворотом течений. Оно расталкивало облака, образующие горизонтальные полосы под действием ветров, дующих с востока на запад. Гигантский ураган – вот первое, что приходило на ум, но в силу определенных причин это объяснение никуда не годилось. Земными ураганами движет тепло, высвобождающееся при конденсации влаги и выпадении дождя. Совсем иные силы приводят в движение пятно на Юпитере. Ураганы, как и циклоны, перемещаются против часовой стрелки в Северном полушарии Земли и по часовой стрелке – в Южном, подобно всем бурям, происходящим на нашей планете. Если судить по этому признаку, пятно представляет собой антициклон. Но самое главное, что все ураганы спустя несколько дней утихают.

Изучая полученные космическим аппаратом снимки, астрономы также пришли к выводу, что Юпитер представляет собой не твердое тело с тончайшей, как у Земли, атмосферной оболочкой, а жидкую сферу в движении. Если Юпитер и имеет твердое ядро, то оно весьма удалено от поверхности. Пятая от Солнца планета оказалась гигантским наглядным пособием для изучения динамики жидкостей. И на поверхности этого жидкого тела монотонно кружилось пятно, которому совсем не мешал царивший вокруг хаос.

Пятно стало тестом на образное мышление. Чего только не узнавали в нем исследователи! Специалисты по динамике жидкостей, считавшие турбулентность случайным явлением, шумом, не могли объяснить, как в самом ее сердце возник этот островок стабильности. «Вояджер» вдвойне усложнил задачу, показав такие мелкие детали потока в структуре пятна, которых не разглядишь с Земли даже в самый мощный телескоп[101]. Увеличение масштаба быстро выявило элементы неупорядоченности, в частности зарождение и затухание вихрей в течение дня или даже часов. Тем не менее тайна Большого красного пятна оставалась тайной. Что давало ему жизнь? Что удерживало его почти на месте?

В архивах НАСА – а их в США около полудюжины – хранятся снимки, полученные с космических аппаратов. Один из таких архивов находится в Корнеллском университете. Неподалеку от него в начале 1980-х годов располагался офис Филипа Маркуса, молодого астронома, интересовавшегося также прикладной математикой. Получив данные наблюдений с «Вояджера», он стал одним из полудюжины ученых в США и Великобритании, которые занялись моделированием пятна. Специалистам, не связанным гипотезой о чудовищном урагане, не пришлось долго искать аналогий. Взять, например, Гольфстрим, течение в западной части Атлантики. Оно точно так же изгибается и разветвляется, в нем зарождаются небольшие волны, закручивающиеся в петли, а затем в кольца; поодаль от основного течения они образуют медленные продолжительные антициклонические водовороты. Напрашивалась и параллель с довольно специфическим явлением, известным в метеорологии как блокировка. Феномен блокировки имеет место, когда область высокого давления находится на значительном расстоянии от берега и медленно поворачивается, неделями или месяцами, вопреки западному переносу. Этот феномен искажает модели глобального прогнозирования погоды, но одновременно обнаруживает черты долговечной упорядоченности, подавая метеорологам слабую надежду.

Маркус часами изучал фотографии из архивов НАСА, великолепные изображения, полученные с помощью аппаратуры шведской фирмы «Хассельблад», которая запечатлела и людей на Луне, и турбулентность на Юпитере. Универсальность законов Ньютона позволила Маркусу создать программу с использованием системы уравнений жидкости. Чтобы описать поведение атмосферы Юпитера, нужно было найти закономерности в поведении массы плотного водорода и гелия, напоминающей незажженную звезду. Юпитер вращается быстро, период его вращения составляет десять земных часов. Это вращение порождает направленную в сторону мощную силу Кориолиса, которая толкает назад человека, идущего сквозь вихрь. Именно такая сила и подпитывает пятно.

В отличие от Лоренца, который использовал маломощный компьютер для составления приблизительных графиков погоды, Маркус располагал гораздо более широкими возможностями, чтобы создавать потрясающе красочные изображения. Сначала он сделал лишь эскизы, поскольку происходящее вырисовывалось весьма смутно. Затем ученый изготовил слайды и собрал все компьютерные изображения в некое подобие анимационного фильма. Увиденное обернулось открытием: модель кружащихся вихрей в ярких синих, красных и желтых цветах срасталась в овал, как две капли воды похожий на Большое красное пятно, чей образ был запечатлен космическим аппаратом и хранился теперь в НАСА. «Вы видите эту огромную отметину, купающуюся, словно моллюск, в мелких хаотичных течениях, которые, в свою очередь, вбирают в себя энергию подобно губке! – восклицал ученый. – Вы видите эти крошечные волокнистые структуры в море хаоса на заднем плане!»[102]

Пятно представляло собой самоорганизующуюся систему, порожденную и регулируемую теми же нелинейными эффектами вращений, которые создают непредсказуемый беспорядок вокруг него. Это был образчик стабильного хаоса.

Еще будучи аспирантом, Маркус изучал традиционную физику, осваивал теорию линейных уравнений и ставил эксперименты, результаты которых должны были соответствовать линейному анализу. Он шел проверенным путем, потому что если нелинейные уравнения не имеют решения, то зачем вообще аспиранту тратить на них свое время? Возможность получения удовлетворительного результата была частью его обучения. Пока он продолжал проводить свои эксперименты в заданных рамках, линейных приближений было достаточно – и он получал ожидаемые результаты. Но время от времени реальный мир неизбежно вторгался в его опыты, и Маркус видел нечто, про что лишь спустя годы понял: то было знамение хаоса. Когда же он однажды замер на миг и воскликнул: «Ого, а это что за шероховатость?» – ему ответили: «Не переживай, это всего лишь погрешность эксперимента»[103].

Но в отличие от большинства физиков Маркус в конечном итоге усвоил уроки Лоренца, состоявшие в том, что детерминистская система может демонстрировать не только периодическое поведение. Он понимал, что необходимо искать дикий беспорядок и что тот может заключать в себе структурированные фрагменты. Маркус изучал загадку Большого красного пятна, сознавая, что сложная система способна породить турбулентность и организованность одновременно. Он мог работать внутри новой дисциплины, которая нашла новое применение компьютерам в качестве инструмента экспериментатора. Маркусу хотелось думать о себе как о новом типе ученого – не столько как об астрономе, или специализирующемся на динамике жидкости физике, или прикладном математике, сколько как о специалисте по хаосу.

Глава 3

Взлеты и падения жизни

При использовании математики в биологии следует всегда проверять результат интуицией, сопоставляя его с разумным биологическим поведением рассматриваемых объектов. Когда такая проверка выявит расхождение, нужно учесть вероятность того, что: а) была допущена математическая ошибка; б) исходные предположения неверны и/или являются слишком грубой моделью реальной ситуации; в) интуиция исследователя недостаточно развита; г) открыт новый основополагающий принцип.

Харви Голд «Математическое моделирование биологических систем»

Моделирование популяций животного мира. Нелинейная наука, “изучение тех животных, что не являются слонами”. Бифуркации и прогулка по реке Шпрее. Картина хаоса и мессианский призыв.

Стаи хищных рыб пожирают планктон[104]. Влажные тропические леса кишат неизвестными рептилиями, птицами, скользящими под навесом густой листвы, насекомыми, гудящими, словно частицы в ускорителе. Там, где царит вечная мерзлота, идет тяжелая борьба за выживание: регулярно, раз в четыре года, стремительно возрастает, а затем убывает численность популяций полевок и леммингов. Наш мир – огромная лаборатория природы, создавшей около пяти миллионов взаимодействующих друг с другом биологических видов[105]. Или пятидесяти миллионов? Специалистам точно не известно.

Биологи XX века, обратившись к математике, создали новую дисциплину – экологию, которая, абстрагируясь от шума и яркости реальной жизни, стала рассматривать популяции как динамические системы. Экологи включили в свой арсенал элементарные инструменты математической физики для описания колебаний численности биологических объектов. Вот какой-то вид активно размножается там, где ограничены пищевые запасы, вот несколько других борются между собой за выживание, вот эпидемия косит целые популяции – и все эти процессы происходят как бы изолированно друг от друга, если не в лабораториях, так уж точно в умах теоретиков от биологии.

Когда в 1970-е годы хаос превратился в обособленную отрасль знания, экологам в ней была отведена специальная ниша. Ведь они тоже прибегали к математическому моделированию, всегда сознавая, что их модели – лишь слабое приближение к реальному миру, в котором кипит жизнь[106]. Зато осознание этого факта позволяло проникаться важностью идей, которые математики считали не более чем странными. Появление в стабильных системах неупорядоченного поведения означало для эколога отличный результат. Уравнения, применявшиеся в по-пуляционной биологии, были элементарными аналогами физических моделей отдельных фрагментов Вселенной. Тем не менее предмет исследования биологических наук своей сложностью превосходил любую физическую задачу. Математические модели биологов, как и те, что создавались экономистами, демографами, психологами и градостроителями, привносили в эти далекие от точности дисциплины элементы строгости и жесткости, однако напоминали карикатуры на реальный мир. Разумеется, стандарты, принятые в разных областях знания, различались: физику система уравнений Лоренца казалась простой, если не сказать примитивной, а для биолога она, с ее трехмерностью, непрерывной изменчивостью и отсутствием аналитического решения, представляла непреодолимую трудность.

Биологи вынуждены были создать новые методы исследований, несколько по-иному подгоняя математические абстракции под реальные феномены. Физик, анализируя определенную систему (допустим, два маятника, соединенные пружиной), начинает с подбора уравнений: сначала он смотрит в справочник, а если там не найдется ничего подходящего, строит нужные уравнения исходя из основополагающих теоретических принципов. Совмещая знания о маятниках и знания о пружинах, он получает искомые уравнения, а затем пытается их решить, если это возможно. Биологу, напротив, никогда не придет мысль теоретически вывести необходимые уравнения, основываясь лишь на знаниях об отдельной популяции животных. Ему необходимо собрать данные, а затем уже попробовать найти уравнения, которые дали бы схожий с реальностью результат. Что получится, если поместить тысячу рыб в пруд с ограниченными пищевыми ресурсами? Что изменится, если выпустить туда еще пятьдесят акул, поедающих по две рыбы в день? Какая судьба постигнет вирус, вызывающий гибель определенного количества животных и распространяющийся с известной скоростью, которая зависит от плотности популяции? Экологи идеализировали подобные задачи, стараясь решить их с помощью уже известных формул.

Зачастую такой подход срабатывал. Популяционная биология выяснила кое-что об истории возникновения жизни, об отношениях хищников и их жертв, о том, как влияет изменение плотности населения в регионе на распространение болезни. Если математическая модель показывала, как процесс развивается, достигает равновесия или затухает, экологи могли представить себе обстоятельства, в которых реальные популяции и эпидемии будут вести себя так же.

Одно из весьма полезных упрощений заключалось в моделировании окружающего мира в рамках отдельных временных интервалов. Так, стрелка наручных часов секунда за секундой прыгает вперед, вместо того чтобы скользить непрерывно. Дифференциальные уравнения описывают плавно изменяющиеся во времени процессы, но такие уравнения трудно решить. Гораздо проще использовать так называемые разностные уравнения, вполне пригодные для описания процессов, скачкообразно переходящих от состояния к состоянию. К счастью, большинство популяций животного мира проходит свой жизненный цикл за год. Изменения, происходящие от года к году, зачастую важнее тех, что случаются минута за минутой. В отличие от людей многие насекомые, например, успевают развиться, достичь зрелости, дать потомство и умереть за один сезон, и поэтому периоды жизни поколений у них не накладываются друг на друга. Чтобы рассчитать, какова будет численность популяции непарного шелкопряда следующей весной или сколько людей зимой заболеют корью, экологу хватает данных текущего года. Столь точная повторяемость цифр, подобная неизменяющейся подписи человека, дает весьма слабое представление о сложности системы, однако для многих реальных ситуаций ученому этого представления достаточно.

В сравнении с математикой Стива Смейла математика экологии – это то же самое, что десять заповедей в сравнении с Талмудом: отличный набор действующих правил, но ничего особо запутанного. Для описания популяции, численность которой меняется каждый год, биологу достаточно проделать вычисления, доступные даже старшекласснику. Предположим, что будущая численность популяции непарного шелкопряда полностью зависит от ее численности в текущем году. Вообразите, что у вас есть таблица, отражающая эту зависимость: если численность особей достигнет 31 тысячи в текущем году, следовательно, через год их будет уже 35 тысяч, и так далее. Представить соотношение между данными величинами, как правило, можно в виде функции: численность популяции (х) в будущем году есть функция (F) от нынешней численности: xnext = F (x). Любую такую функцию можно изобразить в виде графика и мгновенно понять ее свойства.

Чтобы проследить за динамикой популяции в такой модели, вы просто выбираете какой-то стартовый размер популяции, применяете к нему функцию, к результату снова применяете ту же функцию и продолжаете так снова и снова. Данные для третьего года выводятся из данных для второго, и так далее. Благодаря подобному итерационному процессу можно рассмотреть историю популяции на протяжении многих лет. Тут обнаруживается своего рода обратная связь, когда результат каждого года служит исходной величиной для последующего. Обратная связь может стать неуправляемой, как бывает, когда звук из громкоговорителя проходит обратно через микрофон, мгновенно усиливаясь до невыносимого визга. С другой стороны, обратная связь способна породить и стабильность, как в случае с термостатом, который регулирует температуру в жилом доме: любое ее увеличение сверх определенного уровня ведет к охлаждению, а за снижением следует нагрев.

Возможно применение множества разных типов функций. Та, которую используют при упрощенном подходе, предполагает, что численность популяции ежегодно увеличивается на сколько-то процентов; это линейная функция xnext = rх. Данное выражение иллюстрирует классическую мальтузианскую схему увеличения популяции, не сдерживаемого пищевым и моральным факторами. Величина r есть коэффициент прироста численности особей. Допустим, его значение равно 1,В таком случае, если популяция в текущем году насчитывает 10 особей, в следующем их будет уже Если у нас есть 20 тысяч, спустя год будет 22 тысячи. Численность популяции растет и растет, словно сумма, которая положена на сберегательный счет, предполагающий капитализацию процентов.

Впрочем, экологи давно уже поняли, что им необходимо нечто более сложное. Ученый, который хочет что-то узнать о реальных рыбах в реальном водоеме, должен найти функцию, которая учитывала бы жестокую реальность, например угрозу голода или соперничество в стае. По мере роста популяции истощается запас пищи. Размеры небольшой стаи быстро растут, а чересчур большая стая сокращается. Или возьмем японских жуков. Попробуйте каждый год 1 августа выходить в сад и подсчитывать их численность. Чтобы упростить задачу, не принимайте во внимание птиц или болезни данного вида насекомых – учтем лишь имеющийся запас пищи. Выяснится, что жуки активно размножаются, когда их мало, но стоит им чересчур расплодиться, как они объедают весь сад и после этого гибнут от голода.

В мальтузианской схеме неограниченного увеличения численности популяции значение линейной функции роста всегда будет увеличиваться. Схема же, более приближенная к жизни, должна включать в себя дополнительный фактор, сдерживающий рост, если популяция уже и так велика. Наиболее подходящей кажется функция, которая будет резко возрастать при небольших размерах популяции, сводить рост ее численности примерно к нулю при средних размерах и убывать при быстром размножении особей. Пользуясь ею из раза в раз, эколог может наблюдать, как ведет себя популяция на протяжении длительных периодов времени – предположительно, стремясь к состоянию равновесия. Успешно позаимствовав все необходимое из математики, эколог будет рассуждать примерно так: «Мы имеем уравнение. Вот переменная, являющаяся коэффициентом воспроизводства. Вот коэффициент естественной смертности. А вот переменная, которая служит коэффициентом смертности, обусловленной внешними причинами, в том числе голодом и нападением хищников. Смотрите: популяция будет расти с такой-то скоростью, пока не достигнет такого-то уровня равновесия».

Но как найти подобную функцию? Тут могут подойти многие уравнения. Вероятно, проще всего модифицировать линейную мальтузианскую модель: хnext = rх (1 – x). И снова величина r – коэффициент роста, который можно увеличить или уменьшить. Новый член (1 – x) удерживает рост в определенных границах, поскольку увеличение x приводит к уменьшению (1 – x)[107]. Имея калькулятор, можно задать начальное значение, выбрать коэффициент роста и вычислить результат – численность популяции в следующем году.

Популяция достигает равновесия после роста, чрезмерного увеличения численности особей и его снижения.

К 1950-м годам некоторые экологи уже использовали варианты рассмотренного выше уравнения, известного как логистическое разностное уравнение[108]. В частности, Уильям Эдвин Рикер из Австралии применил его для оценки реальных рыбных промыслов. Ученые поняли, что коэффициент роста r является важной характеристикой модели. В физических системах, откуда, собственно, и были позаимствованы подобные уравнения, данный параметр отвечал количеству теплоты, или силе трения, или еще какой-нибудь непонятной величине, воплощающей нелинейность. Применительно к пруду с рыбами он должен соответствовать плодовитости рыб, способности популяции расти и вымирать (так называемому репродуктивному потенциалу). Вопрос заключался в том, как именно этот параметр влияет на дальнейшую судьбу изменяющейся популяции. Очевидно, что небольшое значение параметра повлечет за собой стабилизацию числа особей на относительно невысоком уровне, а значение побольше – на относительно высоком. Это справедливо для многих значений, но не для всех. Время от времени исследователи, и Рикер в их числе, наверняка использовали слишком большие значения – и должны были увидеть хаос.

Когда числа начинают странно себя вести, они доставляют человеку, вооруженному механической счетной машинкой с ручным приводом, изрядные неприятности. Конечно, числа не растут до бесконечности, но они и не сходятся к какому-то пределу. Впрочем, ни один из экологов 1960-х годов, по всей видимости, не был склонен (а может, им не хватало упорства) долго возиться с числами, которые отказываются к чему-либо сходиться. Так или иначе, колебания численности популяции давали экологам повод предположить, что происходят они вокруг некоего скрытого уровня равновесия. Считая последнее весьма важным, экологи даже не предполагали, что никакого равновесия может и не быть.

Справочники и учебники, посвященные логистическим уравнениям и их более сложным вариантам, не содержали, как правило, никаких указаний на возможные проявления неупорядоченности[109]. Джон Мэйнард Смит в классической работе «Математические идеи в биологии», вышедшей в 1968 году, так определил возможные перспективы развития: численность популяции часто является величиной почти постоянной или колеблется вокруг предполагаемого положения равновесия «с весьма регулярной периодичностью». Автор не был столь наивен, чтобы допускать отсутствие неупорядоченного поведения в жизни реальных популяций. Он лишь полагал, что с описанными им математическими моделями такое поведение не имеет ничего общего. Будь это иначе, биологи избегали бы пользоваться подобными моделями. Если модель не оправдывала ожиданий своего создателя относительно реального положения дел в популяции, расхождение всегда можно было объяснить тем, что какая-то величина (возрастной состав популяции, специфика ареала или географической среды, соотношение полов) осталась неучтенной.

Но что важнее всего, в глубине души экологи всегда были склонны списывать неупорядоченность числового ряда на несовершенство счетной машинки или недостаточную точность таких вычислений[110]. Интерес представляли устойчивые решения, порядок казался лучшей наградой. В конце концов, процедура подбора нужных уравнений и их решения требовала известных усилий. Никто не хотел впустую тратить время на ошибочные изыскания, не выявлявшие стойкой тенденции, и ни один опытный эколог не забывал, что его уравнения не более чем примитивная версия реальных явлений. На упрощения шли ради моделирования упорядоченности. Стоило ли преодолевать трудности, чтобы узреть хаос?

Позже скажут, что Лоренца сделал известным Джеймс Йорк и он же дал науке о хаосе ее нынешнее имя. Вторая часть этого утверждения справедлива.

Йорк был математиком, но предпочитал считать себя философом, хотя это и таило в себе некоторую опасность. Остроумный и велеречивый, всегда слегка лохматый, он обожал такого же всегда слегка лохматого Стива Смейла. Подобно многим, Йорк признавал, что понять Смейла непросто. Однако в отличие от большинства коллег он знал, почему же так трудно постичь логику Стива. Когда Йорку было двадцать два, он поступил в Физико-технологический институт при Мэрилендском университете (а позже его и возглавил). Он относился к числу тех математиков, которые во что бы то ни стало стремятся претворить свои идеи в жизнь, чтобы те принесли пользу. Написанный им доклад о распространении гонореи убедил федеральные власти в необходимости изменить стратегию контроля заболеваемости[111]. Во время топливного кризиса 1970-х годов он выступил в суде штата Мэриленд с весьма корректными (но не слишком убедительными) аргументами в пользу того, что ограничение продаж бензина лишь усугубит ситуацию[112]. Когда в эпоху антивоенных выступлений правительство опубликовало сделанные с самолета-шпиона фотографии – редкие группки людей вокруг монумента Вашингтону в разгар акции протеста, – Йорк проанализировал фотографию и по форме тени, отбрасываемой монументом, установил, что в действительности снимок был сделан на полчаса позже, когда митингующие уже расходились[113].

Работая в институте, Йорк наслаждался непривычной возможностью заниматься вопросами, выходящими за рамки традиционных областей исследования, и постоянно консультироваться со множеством представителей других дисциплин. Как-то одному из них, посвятившему себя изучению динамики жидкостей, попалась на глаза статья Лоренца «Детерминированное непериодическое течение», написанная в 1963 году. С тех пор минуло девять лет. Будучи очарован работой Лоренца, физик вручал копию статьи всем, кто выражал готовность взять ее. В числе прочих копию получил и Йорк.

Статья обладала необъяснимой магией[114]. Это было то самое, что Йорк бессознательно, но давно искал. Математик мог бы назвать статью шокирующей: начать с того, что хаотическая система не вписывалась в весьма оптимистичную первоначальную классификацию Смейла. Йорк разглядел в работе Лоренца не только математику, но и живую физическую модель – картину движущейся жидкости – и сразу же понял: нужно, чтобы ее увидели физики. Смейл повернул математику лицом к физическим проблемам, хотя, как Йорк хорошо понимал, язык математики представлял собой серьезный барьер коммуникации. Вот если бы в академическом мире существовала дисциплина, удачно совмещавшая в себе черты физики и математики… Но ее не было. Хотя работа Смейла о динамических системах несколько сократила пропасть между двумя областями знания, математики и физики по-прежнему говорили на разных языках. Как заметил однажды физик Марри Гелл-Манн: «Сотрудникам факультета знаком тот типаж исследователя, которого математики воспринимают как знающего физика, а физики – как опытного математика. Как правило, никто не хочет видеть таких людей рядом с собой»[115]. Слишком разными были стандарты этих двух профессиональных областей: математики доказывали теоремы путем логических рассуждений, физики подходили к доказательству с более тяжелым инструментарием. Различны были как объекты исследования, так и рассматривавшиеся примеры.

Смейла вполне мог удовлетворить следующий пример: выбрав число, например, дробь больше нуля, но меньше единицы, нужно удвоить его, а затем, отбросив целую часть, находящуюся слева от запятой, повторить процедуру. Поскольку большинство чисел иррациональны и непредсказуемы в мельчайших деталях, результатом таких действий станет последовательность случайных чисел[116]. Физик не увидит здесь ничего, кроме очередной математической причуды, совершенно бессмысленной, слишком простой и чересчур абстрактной, чтобы из нее можно было извлечь какую-то пользу. Но Смейл тем не менее чувствовал, что такой математический прием отвечает сущности многих физических систем.

Для физика разумным примером является дифференциальное уравнение, которое можно записать в простой форме. Ознакомившись со статьей Лоренца, которая ждала своего часа в глубинах метеорологического журнала, Йорк увидел: это именно то, что физики поймут. Он направил копию Смейлу, проставив на видном месте свой адрес, чтобы получить статью обратно[117]. Смейл изумился, обнаружив, что безвестный метеоролог десятью годами раньше обнаружил ту неупорядоченность, которую он сам посчитал однажды математически невероятной. И, сняв множество копий со статьи, Смейл положил тем самым начало легенде об открытии Йорком работы Лоренца, ведь на каждой копии, появлявшейся в Беркли, стоял адрес Йорка.

Йорк же чувствовал, что физиков просто учили не замечать хаос. Между тем в повседневной жизни замеченная Лоренцем «сильная зависимость от начальных условий» таится всюду. Утром человек выходит из дома на тридцать секунд позже обычного. Скинутый сверху цветочный горшок пролетает в нескольких миллиметрах от его головы, а затем человека сбивает грузовик. Или менее грустный пример: пропустив автобус, который останавливается около его дома каждые десять минут, он опаздывает на поезд, курсирующий с часовыми интервалами. Небольшие изменения в дневном графике каждого чреваты далеко идущими последствиями. Бейсболист отбивает подачу одним и тем же отработанным движением, но результаты разные, поскольку в бейсболе все решают дюймы. В науке же дела обстояли по-другому.

Говоря про обучение, нельзя не отметить, что многие преподаватели физики и математики рассказывали и рассказывают о дифференциальных уравнениях, пишут их на доске и объясняют способы решения. Данные уравнения описывают реальность как нечто непрерывное, плавно изменяющееся от места к месту и с течением времени, не разбитое на отдельные пространственные кубики или временные интервалы. Любой студент знает, что решать дифференциальные уравнения не так-то легко, но за два с половиной столетия ученые накопили большой багаж знаний по этой проблеме. Если ответа нет в справочнике, можно воспользоваться одним из известных методов решения, или, как сказал бы специалист, «нахождения решения в замкнутой форме». Не будет преувеличением утверждать, что большинством своих достижений постсредневековая наука обязана именно этим методам. Мы не погрешим против истины, назвав одним из гениальнейших деяний человечества эту попытку смоделировать изменчивый окружающий мир. Но к тому моменту, как ученый овладеет этим инструментом познания природы, освоившись с теорией и весьма сложной практикой, он зачастую перестает обращать внимание на одну деталь: большинство дифференциальных уравнений неразрешимо.

«Если вы можете найти решение дифференциального уравнения, – говорил Йорк, – значит, вы не учитываете хаотичность, поскольку для решения нам необходимы некие инварианты – постоянные величины, которые сохраняются, как, например, момент импульса. Обнаружив их в достаточном количестве, решить уравнение можно. Но тем самым вы исключаете из него возможность хаоса»[118].

Методы решения таких систем описаны в учебниках, и они на самом деле работают. Тем не менее, сталкиваясь с нелинейной системой, ученые вынуждены или заменять ее линейной аппроксимацией, или искать иной нетрадиционный подход. В учебниках встречаются те редкие нелинейные системы, что допускают явное решение с помощью различных приемов, – но в них как раз нет «сильной зависимости от начальных условий». Нелинейные системы, в которых таится настоящий хаос, редко объясняются и редко изучаются. Их всегда считали отклонениями и старались не принимать во внимание, руководствуясь уже сложившейся практикой. И лишь немногие помнят, что на самом деле отклонением являются поддающиеся решению, понятные линейные системы! Таким образом, мало кто осознаёт, насколько природа нелинейна по своей сути[119]. Энрико Ферми однажды воскликнул: «В Библии вовсе не сказано, что все законы природы можно объяснить с помощью линейных построений!»[120]Математик Станислав Улам заметил, что именовать исследование хаоса «нелинейной наукой» – это все равно что называть зоологию «изучением тех животных, что не являются слонами»[121]. Йорк это понял. «Во-первых, беспорядок существует. Физики и математики стремятся обнаружить некую упорядоченность. „Какой прок в хаосе?“ – недоумевают люди. Однако они должны знать о наличии хаоса, потому что неизбежно столкнутся с ним. Грош цена автомеханику, не имеющему представления о жировом загрязнении клапанов!»[122] Йорк полагал, что ученые, как и люди, далекие от науки, могут запросто впасть в заблуждение относительно сложности, если они не подготовлены к ее восприятию. Почему инвесторы настаивают на существовании цикличности в колебаниях цен на золото и серебро? Да потому, что периодичность – наиболее сложное упорядоченное поведение, которое они могут представить. Глядя на биржевые сводки, они ищут в беспорядочных скачках курса некий порядок. Так же действуют и экспериментаторы в мире науки, будь то физики, химики или биологи. «В прошлом люди видели хаотическое поведение во множестве ситуаций, – отмечал Йорк. – Допустим, кто-то проводит физический опыт и экспериментальная установка ведет себя нестабильно. Тогда ее пытаются починить или вообще прекращают работу, объясняя нестабильное поведение какими-то шумами или просто неудачностью эксперимента».

Йорк решил, что в работах Лоренца и Смейла есть то, о чем физики еще не слышали. Он написал статью для самого популярного научного издания из тех, где ее могли бы опубликовать, – для American MathematicalMonthly. (Будучи математиком, он не сумел облечь свои идеи в ту форму, которую посчитали бы приемлемой физические журналы; лишь много позже он вступил в сотрудничество с физиками.) Работа Йорка сыграла свою роль, однако в конечном счете наибольшее влияние оказал ее интригующий бунтарский заголовок: «Период три рождает хаос»[123]. Коллеги советовали Йорку выбрать более строгую формулировку, однако он настаивал на слове, которое даст название целой растущей области исследований детерминированной неупорядоченности. А еще он проконсультировался на эту тему со своим другом Робертом Мэем, биологом по специальности.

Как порой случается, Мэй проник в биологию «с черного хода»[124]. Сын преуспевающего адвоката, он начинал как физик-теоретик в своем родном Сиднее, в Австралии, затем занимался прикладной математикой в Гарварде, будучи постдоком[125]. В 1971 году его направили на годичную стажировку в Институт перспективных исследований в Принстоне. Здесь-то он, вместо того чтобы заниматься тем, чем ему следовало, обнаружил себя увлеченно беседующим с биологами Принстонского университета.

Даже сейчас биологи стараются по возможности не прибегать к математике. Те же, кто математику любит и имеет к ней склонность, чаще выбирают саму математику или физику, нежели науки о живой природе. Мэй был исключением из правила. Первоначально его интересы лежали в области абстрактных проблем устойчивости и сложности. Он пытался математически обосновать взаимозависимость этих явлений, существующих в противоборстве и неразрывной связи. Однако вскоре Мэй заинтересовался, казалось бы, несложными вопросами экологии, связанными с поведением отдельных популяций во времени. Невероятно простые модели представлялись ему неизбежным компромиссом. К тому времени, когда Мэй окончательно обосновался на одном из факультетов Принстона (в будущем австралиец станет фактически его проректором по науке), он провел уже не один час, изучая варианты логистического разностного уравнения с помощью математического анализа и примитивного карманного калькулятора.

Как-то, еще в Сиднее, он написал на доске в коридоре уравнение, чтобы над ним подумали аспиранты. Однако уравнение зацепило его самого. «Господи, да что же такое происходит, когда лямбда начинает превосходить точку накопления?» – с напряжением размышлял Мэй[126]. Он пытался уловить, что случается в тот момент, когда коэффициент роста популяции приближается к критической точке и превышает ее. Подставляя различные значения этого нелинейного параметра, Мэй обнаружил, что возможны коренные перемены в самой сущности системы: увеличение параметра означало возрастание степени нелинейности, что, в свою очередь, изменяло не только количественные, но и качественные характеристики результата. Подобная операция влияла как на конечное значение численности популяции, находившейся в равновесии, так и на ее способность вообще достигнуть последнего.

Когда задавалось низкое значение параметра, простая модель Мэя демонстрировала устойчивое состояние. При высоком же значении устойчивое состояние терялось и численность популяции начинала колебаться между двумя величинами. Наконец, при чрезмерном увеличении параметра поведение той же системы становилось непредсказуемым. Но почему? Что происходило на границах различных типов ее поведения? Мэй не мог этого понять. (Как, впрочем, и аспиранты.)

Он досконально изучил поведение этого простейшего уравнения, проведя численное исследование с помощью программы, причем она была аналогом программы Смейла: он пытался понять это уравнение целиком – не локально, а глобально. Уравнение было проще всего, что когда-либо изучал Смейл. Казалось невероятным, что возможности такой несложной задачи в генерировании порядка и беспорядка не были изучены вдоль и поперек уже давно. Но они не были. На самом деле программа Мэя стала лишь началом. Он рассмотрел сотни значений параметра, приводя систему в движение и наблюдая, где именно ряд чисел придет к фиксированному значению и случится ли подобное вообще. Он сосредоточивал все больше внимания на рубеже перехода от устойчивого состояния к колебательному. У него словно бы был собственный пруд, где он умело контролировал численность рыб. Используя уравнение xnext = rх (1 – x), Мэй увеличивал значение параметра так медленно, как только мог. Если это значение составляло 2,7, численность популяции равнялась 0,По мере увеличения параметра конечный результат так же медленно увеличивался, образуя на графике кривую, плавно поднимавшуюся слева направо.

Неожиданно, когда значение параметра превысило з, линия раздвоилась. Численность воображаемой стаи рыб в предыдущий и последующий годы перестала быть единой величиной и теперь колебалась между двумя точками. Стартуя с какого-то небольшого значения, она возрастала, а затем начинала колебаться и в итоге приходила к регулярным скачкам вверх и вниз. Небольшой поворот воображаемой рукоятки – небольшое увеличение параметра – еще раз расщеплял колебания, генерируя ряд чисел, приходивших в конечном счете к четырем различным значениям, каждое из которых повторялось с регулярностью раз в четыре года[127]. Теперь компьютерная популяция Мэя увеличивалась и убывала в регулярном четырехлетнем режиме. Длительность цикла вновь выросла в два раза – сначала с одного года до двух, а затем до четырех. И снова это поведение оказывалось устойчивым: какова бы ни была начальная численность популяции, с течением времени она сходилась к одному и тому же четырехлетнему циклу.

Как Лоренц и открыл десятилетием ранее, построение графика – единственное, что позволяет обнаружить в указанных результатах хоть какой-то смысл и представить их наглядно. Мэй сделал предварительный набросок, чтобы охватить все типы поведения системы при различных параметрах. Для значений параметра, возраставших слева направо, была выбрана горизонтальная ось; для численности популяции отводилась вертикальная. Каждое из значений параметра было представлено точкой, обозначавшей конечный результат после достижения системой равновесия. Слева, там, где значения еще были небольшими, результат являл собой лишь точку. Таким образом, изменения параметра отобразились в виде линии, поднимавшейся плавно слева направо. Когда значение параметра миновало первую критическую точку, Мэю пришлось вычертить кривую для двух популяций, поскольку линия раздвоилась, образовав искривленную букву Y или подобие вилки. Такое расщепление соответствовало переходу популяции от однолетнего цикла к двухлетнему.

По мере дальнейшего роста значения параметра количество точек удваивалось вновь и вновь, что просто ошеломляло ученого, поскольку столь сложное поведение таило в себе заманчивую устойчивость. Мэй назвал наблюдаемый феномен «змеей в математической траве». Каждое удвоение соответствовало разветвлению, или бифуркации[128], на графике, и каждое такое разветвление означало, что повторяющаяся последовательность распадалась надвое еще раз. Популяция, ранее бывшая устойчивой, начинала колебаться между двумя различными уровнями каждый второй год. Популяция, менявшаяся в течение двухлетнего цикла, изменялась теперь в течение третьего года и четвертого, переходя, таким образом, к четырехлетнему периоду.

Удвоение периодов и хаос. Вместо применения отдельных диаграмм для демонстрации изменений в популяциях с различной степенью воспроизводства Роберт Мэй, наряду с другими учеными, использовал так называемую бифуркационную диаграмму, чтобы соединить все данные в одном изображении. На диаграмме показано, каким образом изменение одного параметра, в данном случае – коэффициента воспроизводства популяции в дикой природе, влияет на поведение рассматриваемой простой системы в целом. Значения параметра откладывались слева направо по горизонтальной оси; значения конечной численности популяции – по вертикальной. В некотором смысле рост значения параметра знаменует усиление «движущей силы» системы, увеличение в ней нелинейного элемента. Когда это значение невелико (слева), популяция угасает. По мере его роста (в центре)популяция достигает равновесия. Затем, при дальнейшем увеличении параметра, равновесное состояние расщепляется на две ветви, подобно тому как в процессе конвекции дальнейшее нагревание жидкости делает ее нестабильной. Начинаются колебания численности популяции между двумя различными уровнями. Расщепления, или бифуркации, происходят все быстрее и быстрее. Далее система становится хаотичной (справа) – и численность особей может принимать бесконечно много разных значений.

Подобные разветвления наблюдались на графике все чаще и чаще: 4, 8, 16, 32… – и вдруг внезапно прекращались. После определенной точки, «точки накопления», периодичность уступала место хаосу, колебаниям, которые никогда не затухали, и поэтому целые зоны на графике были полностью затушеваны. Наблюдая за популяцией животных, описанной этим простейшим нелинейным уравнением, можно счесть происходящие год за годом перемены совершенно случайными, привнесенными извне. Тем не менее в самой гуще подобной беспорядочности вновь появляются стабильные циклы. Так, хотя параметр продолжает возрастать, увеличивая нелинейность системы, неожиданно обозначается просвет с регулярным, хотя и странным периодом вроде 3 или Модель меняющейся популяции повторяет саму себя в течение трехлетнего или семилетнего цикла. Затем снова, но уже в более высоком темпе, начинаются разветвления, которые удваивают период, быстро минуя новые циклы (3, 6, 12… или 7, 14, 28…) и вновь обрываясь с рождением нового хаоса.

Первоначально Мэй не представлял себе всю картину, однако тех ее фрагментов, которые он смог просчитать, было достаточно, чтобы вызвать беспокойство. В реальной системе наблюдатель видел бы каждый раз лишь вертикальный срез, соответствующий только одному значению параметра, а значит, наблюдал бы только один из типов поведения – может быть, стабильное состояние, может быть, семилетний цикл, а может, видимую невооруженным глазом беспорядочность. Невозможно было бы догадаться, что одна и та же система при небольшом изменении одного из параметров способна обнаружить совершенно непохожие друг на друга типы поведения.

В своей работе «Период три рождает хаос» Джеймс Йорк с математической точностью проанализировал описанные явления, доказав, что в любой одномерной системе происходит следующее: если появляется регулярный цикл с тройным периодом, то в этой же системе есть как регулярные циклы любой другой продолжительности, так и полностью хаотичное поведение. Это открытие подействовало на физиков вроде Фримена Дайсона словно электрошок, так как противоречило интуиции. Им казалось вполне тривиальной задачей построение системы, которая повторяет саму себя в трехпериодных колебаниях без всякого проявления хаоса. Йорк доказал, что это невозможно.

Окна устойчивости внутри хаоса. Применение даже самого простого уравнения показывает, что области хаоса на бифуркационной диаграмме имеют весьма замысловатую структуру – гораздо более упорядоченную, нежели Роберт Мэй мог поначалу предположить. Сначала в результате бифуркаций рождаются периодические траектории с периодами 2, 4, 8, 16… Затем начинается хаос, в котором нельзя проследить никакие периоды. Но после этого, когда система все больше дестабилизируется, появляются окна с нечетными периодами. Окно устойчивости появляется при периоде 3, а затем снова начинается удвоение периодов: 6, 12, 24… Структура оказывается бесконечно сложной. Если увеличить какой-либо из ее фрагментов, то окажется, что он похож на весь график в целом.

Хотя подобное предположение выглядело весьма смелым, Йорк счел, что общественный резонанс, вызванный его работой, перевесит ее математическое содержание, и отчасти оказался прав[129]. Несколько лет спустя он прибыл на международную конференцию в Восточный Берлин. По окончании докладов Йорк решил немного прогуляться по городу и прокатиться по реке Шпрее. Во время прогулки с ним попытался заговорить какой-то русский. Обратившись за помощью к знакомому поляку, Йорк понял, что это русский математик, утверждающий, что он достиг идентичного результата. Собеседник Йорка отказался вдаваться в детали, пообещав лишь выслать свою статью, которая пришла к Йорку спустя четыре месяца. Как выяснилось, Александр Шарковский[130] несколько опередил Йорка, написав статью под названием «Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя»[131]. Однако Йорк предложил больше, чем просто математический результат: он продемонстрировал физикам, что хаос вездесущ, устойчив и структурирован. Он также дал основания поверить в то, что сложные системы, традиционно сводившиеся к трудным для решения дифференциальным уравнениям, могут быть описаны с помощью довольно простых диаграмм.

Эта встреча двух поглощенных своими идеями и оживленно жестикулирующих математиков стала знаком того, что коммуникативный разрыв между советской и западной наукой продолжает существовать. Частично из-за языкового барьера, частично из-за ограничений на передвижение по Советскому Союзу опытные западные ученые нередко повторяли результаты, уже опубликованные в советской научной литературе. Зарождение новой науки в США и Европе вдохновило многих специалистов в Советском Союзе на изучение хаоса, и исследования шли параллельно. С другой стороны, ученые из СССР с удивлением узнали, что львиная доля новых научных веяний для них вовсе не нова. Советские математики и физики уже давно и упорно пытались постичь природу хаоса, начало этому положили еще работы Андрея Колмогорова 1950-х годов[132]. Более того, советские специалисты, как правило, действовали сообща, что помогало представителям двух дисциплин преодолеть разногласия, столь частые в научной среде других стран.

Советские ученые оказались восприимчивы к изысканиям Смейла, чья подкова наделала много шума в 1960-х годах. Блестящий специалист по математической физике Яков Синай быстро применил аналогичные соображения в термодинамике. Аналогичным образом, едва в 1970-х годах с работой Лоренца познакомились западные физики, она приобрела известность и в СССР. В 1975 году, когда Йорк и Мэй прилагали немалые усилия к тому, чтобы добиться внимания коллег, Синай и его товарищи быстро организовали в Горьком исследовательскую группу физиков. Некоторые западные специалисты по хаосу наведывались в Советский Союз, чтобы быть в курсе исследований коллег, но большинство вынуждены были довольствоваться западной версией науки о хаосе[133].

Йорк и Мэй первыми на Западе были совершенно шокированы удвоением периодов и сумели передать это ощущение всему научному сообществу. Те несколько математиков, которые все-таки заметили необычное явление, отнеслись к нему как к технической проблеме, числовой странности, своего рода игре. Они сочли это не то чтобы обыденностью, но скорее очередным фактом своей особой вселенной.

Биологи, которым недоставало искушенности математиков да и просто поводов для изучения беспорядочного поведения, упустили эти бифуркации по пути к хаосу, тогда как математики, заметив их, двигались дальше. Мэй же, наполовину математик, наполовину биолог, понял, что открыл для себя удивительный и глубокий мир.

Для того чтобы глубже проникнуть в эту простейшую систему, ученые нуждались в мощных вычислительных машинах[134]. Фрэнку Хоппенштедту из Института математических наук Нью-Йоркского университета возможности его компьютера позволили даже создать своеобразный фильм.

Хоппенштедт, математик, увлекшийся биологией, прогнал разностное уравнение через свой компьютер модели ControlData 600 сотни миллионов раз и получил на мониторе изображения для каждого из тысяч различных значений параметра. В результате выявились бифуркации, затем хаос, а потом, внутри него, небольшие упорядоченные клинья, эфемерные в своей нестабильности, мимолетные проблески периодичности. Ученому, узревшему созданные им самим картины, на миг показалось, что он летит на крыльях над неведомой землей: вот изображение совсем устойчиво, а через мгновение уже наполняется непредсказуемым буйством, бесконечно изумляя своего создателя[135].

Мэй ознакомился с результатом этой работы. Он также стал собирать аналогичные результаты, полученные представителями других областей: генетиками, экономистами, специалистами по динамике жидкостей. Этот провозвестник хаоса обладал двумя преимуществами перед чистыми математиками. Во-первых, Мэй считал, что простые уравнения не могут абсолютно точно воспроизводить реальность, а являются лишь ее образами, метафорами, и Мэю было интересно понять, насколько широко эти метафоры могут быть применены. Во-вторых, обнаружение хаоса лило воду на его мельницу, провоцируя дебаты.

Популяционная биология вообще долгое время оставалась ареной ожесточенных споров. К примеру, отношения между экологами и молекулярными биологами были весьма натянутыми, так как последние считали свое направление истинной наукой, исследующей действительно сложные, запутанные вопросы, а работы экологов – расплывчатыми. Экологи же полагали, что технические разработки молекулярной биологии являются лишь уточнениями решений четко поставленных задач.

Набросок разветвленной диаграммы. Такой она представилась Мэю, прежде чем компьютер раскрыл ее глубинную структуру.

Как представлял себе Мэй, в 1970-х годах внутри экологии особо жаркие страсти кипели вокруг вопроса о природе изменений в популяциях[136]. Экологи разделились на два лагеря почти в соответствии с личностными предпочтениями. Представители первого считали, что мир упорядочен, а следовательно, популяции регулируемы и устойчивы, пусть и с некоторыми исключениями. Представители второго лагеря интерпретировали реальные явления прямо противоположным образом: в популяциях, за редкими исключениями, наблюдаются беспорядочные колебания. Неудивительно, что мнения разделились и по вопросу применения сложных математических вычислений к неупорядоченным биологическим объектам. Те, кто верил в устойчивость популяций, доказывали, что популяции должны регулироваться некими детерминистскими механизмами. Сторонники другой точки зрения полагали, что популяции подвержены колебаниям при воздействии непредсказуемых факторов окружающей среды, устраняющих любой возможный детерминистский сигнал. Выдвигались следующие альтернативы: либо детерминистская математика служит источником стабильности, либо случайные внешние помехи генерируют неупорядоченность.

Пока шли эти оживленные дискуссии, хаос вновь ошеломил ученых: простые детерминистские модели обладают способностью порождать нечто, весьма напоминающее беспорядочное поведение, которое, впрочем, обладает утонченной структурой, но все же любой ее фрагмент невозможно отличить от шума. Такое открытие не могло не повлиять на самую сущность споров.

Чем дольше Мэй рассматривал биологические системы сквозь призму простых хаотических моделей, тем больше он видел моментов, противоречащих общепринятым представлениям. Например, эпидемиологи хорошо знают, что массовые вспышки заболеваний случаются, как правило, с определенной цикличностью: регулярно или иррегулярно. Корь, полиомиелит, краснуха идут в наступление и отступают периодически. Мэй понял, что колебания могли воспроизводиться нелинейной моделью, и заинтересовался тем, что случится, если система получит внезапный толчок – помеху, вроде массовой вакцинации. Казалось бы, процесс должен плавно изменяться в желаемом направлении. На самом деле, как обнаружил Мэй, скорее всего, начнутся весьма ощутимые колебания. Даже если долгосрочная тенденция будет убывающей, путь к новому равновесию будет прерываться поразительными подъемами. В реальности врачи наблюдали колебания, подобные тем, что смоделировал Мэй. Об этом свидетельствовали фактические данные, например итоги реализации программы по искоренению краснухи в Великобритании. И все же любой служащий системы здравоохранения, услышав о кратковременной вспышке краснухи или гонореи, предположил бы, что программа вакцинации не работает.

За несколько лет изучение хаоса дало сильный толчок развитию теоретической биологии, объединив биологов и физиков в научные коллективы, о существовании которых совсем недавно еще никто и не помышлял. Экологи и эпидемиологи раскопали данные предыдущих лет, которые прежде отбрасывали, считая слишком громоздкими для проведения исследований. Черты детерминистского хаоса были обнаружены в эпидемии кори в Нью-Йорке, а также в отслеженных по наблюдениям охотников торговой корпорации Hudson BayCompanyколебаниях численности популяций канадской рыси в течение двухсот лет[137]. Молекулярные биологи начали рассматривать белки как системы, находящиеся в движении. Изменился взгляд физиологов на органы, которые представлялись теперь ученым не застывшими структурами, но объектами, совершающими регулярные и иррегулярные колебания.

Во всех областях знаний профессионалы увидели вдруг сложное поведение систем и начали спорить о нем – Мэй знал это наверняка. Однако специалисты каждой области считали обнаруженный ими тип беспорядочности специфичным для своей конкретной области, что повергало исследователя в отчаяние. А что, если видимая случайность исходила от простых моделей? Что, если одни и те же простые модели могли быть применены к сложному поведению во многих науках? Мэй понимал, что удивительные структуры, которые он едва-едва начал исследовать, не были связаны с биологией сами по себе. Задавшись вопросом, сколько же ученых и в каких еще областях обратили на это внимание, в 1976 году он начал писать работу, которую считал действительно переломной, – обзорную статью в журнал Nature.

Мэй доказывал, что, если бы каждому студенту позволили поэкспериментировать с логистическим разностным уравнением с помощью карманного калькулятора, дела обстояли бы гораздо лучше[138]. Простой расчет, приведенный им в конце публикации, бросал вызов искаженному восприятию возможностей природы, проистекающему из стандартного естественно-научного образования. Он призван был полностью изменить подход к научному исследованию, что бы ни было предметом изучения – экономические циклы или распространение слухов.

Мэй заявлял, что теорию хаоса необходимо преподавать. Наступило время признать, что принятые повсеместно методы подготовки ученых навязывают им ложные представления о мире. Неважно, насколько далеко продвинется линейная математика с ее преобразованиями Фурье, ортогональными функциями и регрессионным анализом. Она, утверждал Мэй, неизбежно вводит математиков в заблуждение относительно преимущественно нелинейной Вселенной. «Математическая интуиция настолько ушла в сторону, что, давая студенту необходимые знания, одновременно настраивает его против странных эффектов, проявляющихся в простейшей из всех абстрактных нелинейных систем, – писал он. – Не только в сфере науки, но и в повседневной жизни, в политике и экономике – повсюду мы достигли бы большего, если бы больше людей понимали, что простые нелинейные системы далеко не всегда обладают простыми динамическими свойствами»[139].

Глава 4

Геометрия природы

…И возникает связь;

Вначале незаметная, она ширится,

Будто тень облака на песке,

Будто отблеск на горном склоне.

Уоллес Стивенс «Знаток хаоса»

Открытие относительно цен на хлопок. Сбежавший от Бурбаки. Помехи при трансляции сигнала и извилистая береговая линия. Новые размерности. Монстры фрактальной геометрии. Подземные толчки в земной коре. От облаков к кровеносным сосудам. “Мусорная корзина” науки. “Увидеть мир в песчинке”.

Бенуа Мандельброт довольно долго создавал свою мысленную картину мира[140]. В 1960 году она представляла собой лишь смутный, расплывчатый образ, слабый намек на законченную идею. Однако, увидев ее на доске в офисе Хендрика Хаутаккера, Мандельброт сразу узнал то, что вынашивал годами.

Сотрудник исследовательского отдела корпорации IBM, в математике он был мастером на все руки. В числе прочего Мандельброт немного занимался экономикой – изучал распределение крупных и малых доходов. Хаутаккер, профессор экономики в Гарварде, пригласил его выступить с докладом. Прибыв в Литтауэровский центр, величественное здание факультета экономики, расположенного на северной стороне Гарвардского двора, молодой математик обнаружил плоды своих изысканий на грифельной доске, где их запечатлел пожилой профессор[141]. «Как здесь оказалась моя диаграмма? – изумился Мандельброт, пряча досаду. – Ведь я еще не выступал». Профессор, однако, не мог взять в толк, о чем говорит гость. Диаграмма не имела ничего общего с распределением доходов – она отражала изменение цен на хлопок за последние восемь лет.

Впрочем, и сам Хаутаккер усматривал нечто странное в своем графике. Экономисты всегда считали, что цены на товар, подобный хлопку, меняются в двух различных ритмах – упорядоченном и случайном. В долгосрочной перспективе их уровень определяется реальными событиями в экономике – подъемами и спадами в легкой промышленности Новой Англии, открытием новых международных торговых путей. Краткосрочные колебания носят в той или иной степени случайный характер. К сожалению, данные Хаутаккера противоречили его ожиданиям: наблюдалось слишком много больших скачков. Конечно, в большинстве своем ценовые изменения были незначительными, однако отношение количества маленьких скачков к количеству больших было не настолько велико, как того ожидал профессор. Значит, вероятность получить скачок не убывала достаточно быстро с увеличением его размера – их распределение имело, как говорят, «длинный хвост».

Стандартной моделью таких отклонений всегда являлась колоколообразная кривая: в центре, вблизи ее максимума, значения измеряемой величины близки к среднему, а слева и справа от среднего доля точек быстро падает. Эта колоколообразная кривая, называемая функцией Гаусса или функцией нормального распределения, в среде статистиков столь же ходовой инструмент, как стетоскоп – у врачей. Она проясняет природу случайности. Дело в том, что при изменении параметров любых объектов измеряемые значения с большей вероятностью находятся недалеко от средней величины и распределяются вокруг нее в соответствии с некоторым плавным законом. Функция Гаусса – весьма полезный инструмент, но даже она не всегда помогает проложить дорогу в дебрях экономики. Как выразился лауреат Нобелевской премии Василий Леонтьев, «ни в одной из эмпирических сфер исследования столь объемный и сложный статистический аппарат не используется со столь неопределенными результатами»[142].

Колоколообразная кривая.

Но построенный Хаутаккером график изменений цен на хлопок никак не желал принимать форму функции нормального распределения. Вместо этого кривая ценовых изменений приобретала очертания, которые Мандельброт начал распознавать в графиках удивительно далеких, не сопоставимых друг с другом явлений. В отличие от других математиков, при столкновении с требующими ответа вопросами он прислушивался к своей интуиции относительно моделей и форм. Не полагаясь на анализ, он верил образам, что зрели в его сознании. В нем крепло убеждение, что течение случайных, стохастических процессов подчиняется особым законам. Вернувшись в огромный исследовательский центр корпорации IBM в Йорктаун-Хайтсе, на холмах Северного Уэстчестера, штат Нью-Йорк, Мандельброт внес информацию Хаутаккера о ценах на хлопок в компьютерную базу данных, а позже обратился в министерство сельского хозяйства с просьбой выслать дополнительные сведения, восходящие к 1900 году.

Переступив порог компьютерной эры, экономисты, как и ученые других областей, потихоньку осознавали, что теперь они могут собирать, обрабатывать и группировать данные в невиданных прежде масштабах. Далеко не вся информация, впрочем, была доступна, а уже полученную нужно было привести к виду, подходящему для компьютерной обработки. К тому же время компьютерных решений еще только-только наставало, так что исследователи, посвятившие себя точным наукам, предпочитали пока накапливать тысячи и миллионы экспериментальных точек. Экономисты, как и биологи, имели дело с миром живых существ, обладавших волей. Они изучали, наверное, самый труднопостижимый объект на всем белом свете.

Но, по крайней мере, экономическая среда исправно поставляла числовые данные. По мнению Мандельброта, цены на хлопок представляли собой идеальный массив данных. Хлопок принадлежал к миру купли-продажи, миру с централизованным рынком и единой бухгалтерией – ведь на рубеже веков весь хлопок с юга шел через Нью-Йоркскую товарную биржу в Новую Англию, и цены, скажем, в Ливерпуле увязывались с ценами в Нью-Йорке.

Хотя экономисты немногого добились в анализе товарных или биржевых цен, это отнюдь не означало, что им недоставало фундаментальных теорий ценообразования. Напротив, все ученые в этой области разделяли определенное видение этого вопроса. В частности, многие были убеждены, что небольшие случайные скачки цен не имеют ничего общего с долговременными ценовыми тенденциями. Быстрое изменение цены трактовали как случайность, взлеты и падения котировок в течение одного биржевого дня воспринимались как помехи, досадные, но непредсказуемые, а потому не заслуживающие внимания, а вот долгосрочные ценовые колебания – совсем другое дело. Они формируются месяцами, годами, десятилетиями под влиянием макроэкономических факторов, таких как войны или рецессии, – факторов, которые теоретически можно понять. Итак, с одной стороны – мельтешение кратковременных случайных отклонений, с другой – сигналы долгосрочных изменений.

Так получилось, что в картине мира Мандельброта не нашлось места дихотомии. Вместо того чтобы отделить небольшие изменения от ощутимых, его воображение свело их воедино. Ученый не отдавал предпочтения ни мелкому, ни крупному масштабу – его интересовала целостная картина. Он весьма отдаленно представлял, как передать на бумаге то, что рисовалось ему в мыслях, однако верил, что во всем происходящем должна присутствовать некая симметрия – не буквальная симметрия, когда левая часть похожа на правую или верхняя на нижнюю, а скорее симметрия крупных и мелких масштабов.

И действительно, когда Мандельброт на компьютере проанализировал информацию об изменении цен на хлопок, потрясающие результаты, на которые он надеялся, не заставили себя ждать. Точки, которые не желали ложиться на кривую нормального распределения, обнаруживали странную с точки зрения масштаба симметрию, иначе говоря, каждый отдельно взятый скачок цены был случайным и непредсказуемым, однако последовательность таких изменений не зависела от масштаба. Кривые, изображавшие дневные скачки, и те, что воспроизводили месячную динамику, прекрасно соответствовали друг другу. Это казалось невероятным, но, согласно результатам анализа, проведенного Мандельбротом, степень вариативности за неспокойные шестьдесят лет, на которые выпали две мировые войны и Великая депрессия, осталась неизменной.

Внутри самых хаотичных нагромождений информации скрывался поразительный порядок. Поразительный настолько, что Мандельброт задался вопросом: почему вообще они должны подчиняться хоть какому-то закону? И почему одна и та же закономерность оказывается одинаково справедлива и для распределения индивидуальных доходов, и для динамики цен на хлопок?

По правде говоря, Мандельброт не мог похвастаться солидной экономической базой, равно как и обширным кругом знакомств в среде экономистов. Когда он опубликовал статью о своих открытиях, преамбулу к ней написал один из его студентов, переложивший идеи учителя с языка математики на язык экономики. А сам Мандельброт уже занялся другой проблемой. Впрочем, он сохранил решимость изучать феномен масштабирования. Это явление, как полагал ученый, жило своей собственной жизнью и имело свои характерные особенности.

Спустя много лет («успев попреподавать экономику в Гарварде, инженерное дело в Йеле, физиологию в Медицинском колледже Эйнштейна») Мандельброт заметил с гордостью во время одного из своих выступлений перед студентами: «Часто, вспоминая все, чем я раньше занимался, я спрашиваю себя, а существовал ли я вообще. Пересечение всех этих множеств, очевидно, пусто»[143]. И действительно, с первых лет своей карьеры и работы на IBM Мандельброт попробовал себя во множестве областей, но нигде не задержался. Его всегда считали аутсайдером. Он выбрал для своих изысканий забытый всеми раздел математики и ошарашил коллег экстравагантностью подхода. Он вторгался в те сферы, где его редко готовы были принять. Он скрывал самые грандиозные свои идеи, лишь бы добиться публикации статей. Он сохранял за собой место только благодаря снисходительности своих работодателей в Йорктаун-Хайтсе. Он совершал набеги на пограничные дисциплины вроде экономики и быстро ретировался, оставляя после себя обманчивые надежды и почти никогда – законченные работы.

В истории хаоса Мандельброт нашел свой путь. Вопреки всему формировавшийся в его сознании образ реальности превратился в начале 1960-х годов из причудливой картинки в полноценное геометрическое построение. Для физиков, развивавших идеи ученых вроде Лоренца, Смейла, Йорка и Мэя, этот «колючий» математик оставался второстепенной фигурой, но предложенные им методы и язык исследований составили неотъемлемую часть зарождавшейся науки.

Характеристика, данная ученым самому себе, едва ли показалась бы удачной тем, кто знал Мандельброта в пору зрелости, когда у него уже были его статус, титулы и награды. Однако лучшим ключом к пониманию его личности является тот факт, что Бенуа Мандельброт происходил из семьи эмигрантов. Он родился в Варшаве в 1924 году, в семье с литовско-еврейскими корнями[144]. Отец его торговал одеждой, мать работала зубным врачом. Из неспокойной Польши в 1936 году семья перебралась в Париж, где жил дядя мальчика, математик Шолем Мандельбройт. Когда началась война, семья, вновь столкнувшись с проявлениями нацизма, бросила нажитое и, прихватив лишь несколько чемоданов, присоединилась к потокам беженцев, наводнившим дороги на юг. В конце концов она оказалась в городке Тюль.

Здесь Бенуа поступил в ученики к слесарю. Среди подмастерьев он опасно выделялся высоким ростом и образованностью. Наступали времена тотальной слежки и животного страха. Позже он редко вспоминал о пережитых тогда лишениях, вместо этого обращаясь в своей памяти к той поддержке и помощи, которую оказывали мальчику школьные учителя в Тюле и других местах. Некоторые из этих учителей были известными учеными, чьи судьбы сломала война. В целом образование Мандельброта нельзя было назвать систематическим; он сам признавался, что не учил алфавит и, что гораздо важнее, таблицу умножения дальше пяти. Просто он был щедро одарен от природы.

После освобождения Парижа Мандельброт в течение месяца, несмотря на недостаточную подготовку, успешно сдал устные и письменные экзамены в Высшую нормальную школу и в Политехническую школу. Наряду с другими заданиями экзамены включали и проверку способностей к рисованию. Мандельброт совершенно неожиданно обнаружил в себе скрытое дарование, набросав статую Венеры Милосской. На экзамене по математике, где предлагались задачи по алгебре и математическому анализу, он ухитрился компенсировать пробелы в знаниях безошибочной геометрической интуицией. Мандельброт понял, что, решая аналитическую задачу, он почти всегда способен представить ее в виде некой воображаемой формы, которую можно изменять, преобразовывать ее симметрии, делая ее более гармоничной. Зачастую такие преобразования и открывали ему путь к решению проблемы. Когда дело дошло до физики и химии, геометрия помочь уже не могла, и оценки оставляли желать лучшего. Зато математические вопросы, на которые он ни за что не ответил бы, используя стандартную методику, вполне поддавались геометрическим манипуляциям.

Высшая нормальная и Политехническая школы были элитными учебными заведениями, не имевшими аналогов в американской системе образования. В общей сложности они ежегодно готовили не более трехсот выпускников, поступавших главным образом на работу в университеты Франции или на государственную службу. Мандельброт начал свое обучение в Высшей нормальной школе, менее крупном, но более престижном из этих двух учебных заведений, однако через несколько дней перевелся в Политехническую школу, успев заодно сбежать от Бурбаки́[145].

Наверное, нигде, кроме Франции, в которой процветали авторитарные учебные заведения и сформировалась особая традиция образования, не могла появиться такая группа. Все начиналось как клуб, основанный в беспокойную пору после Первой мировой Шолемом Мандельбройтом и горсткой беззаботных молодых математиков, которые стремились изменить французскую математическую школу. Одним из ужасных демографических последствий войны стал разрыв в поколение между университетскими профессорами и их студентами, нарушивший преемственность в академической среде. Теперь эти талантливые молодые люди намеревались заложить фундамент новой математической практики. Даже само название их группы было шуткой, понятной лишь узкому кругу, и выбрали его за странно привлекательное звучание. Как выяснилось позже, так звали французского генерала греческого происхождения, жившего в XIX веке. Бурбаки появился на свет в минуту веселья, но вскоре оно испарилось.

Члены общества встречались тайно, и даже не все их имена нам известны. Число входивших в группу ученых не менялось. Когда один из них по достижении пятидесяти лет выходил из общества (это поставили непременным условием), оставшиеся выбирали ему замену. Общество объединяло лучших и достойнейших из математиков, идеи которых вскоре распространились по всему материку.

Частично создание группы было ответом на идеи Пуанкаре, выдающегося мыслителя второй половины XIX века, весьма плодовитого ученого и писателя, который, однако, невысоко ставил строгость и точность. Если точно знаешь, что идея должна быть верна, говорил Пуанкаре, зачем ее доказывать? Заложенные им основы математики представлялись членам группы Бурбаки довольно шаткими, и они с фанатичным упорством принялись писать огромные трактаты, пытаясь направить науку в верное русло. Центральное место в их умопостроениях занял логический анализ: математик должен начинать с устоявшихся базовых принципов и на их основе выводить все остальные. Входившие в группу ученые считали математику первой из наук. Она виделась им обособленной областью знания, которая всегда остается самой собой и не может оцениваться по степени применимости к реальным физическим феноменам. Наконец, группа Бурбаки отвергала использование наглядных изображений, мотивируя это тем, что глаз всегда обманет математика. Иными словами, геометрии доверять не стоило. Математике надлежало быть кристально чистой, строгой и полностью соответствующей правилам.

Подобную идею нельзя было назвать исключительно французской. В Соединенных Штатах математики отвергали притязания физических наук так же твердо, как художники и писатели старались дистанцироваться от запросов массовой культуры. Господствовала полнейшая точность, объекты изучения математических дисциплин становились замкнутыми и независимыми, а метод – формально-аксиоматичным. Математик мог гордиться тем, что его изыскания ровным счетом ничего не объясняли ни в реальном, ни в научном мире. Из подобного отношения к исследованиям проистекало немало пользы, что весьма ценилось учеными. Даже Стивен Смейл, стремившийся воссоединить математику с естественными науками, глубоко верил – насколько он вообще мог верить во что-либо – в то, что математика должна быть самодостаточной[146]. С независимостью и обособленностью приходила ясность, шествовавшая рука об руку с точностью аксиоматичного метода. Каждому серьезному математику понятно, что точность являет собой определяющую силу самой дисциплины, ее прочную основу, без которой науку ждет гибель. Именно точность позволяет ученому уловить направление мысли, развиваемой веками, и уверенно продолжить работу над ней.

Однако требования точности обернулись неожиданными последствиями для математики XX века, избравшей свой особый путь[147]. Ученый ищет достойную разрешения проблему и определяет, каким образом будет действовать дальше. Так получалось, что довольно часто исследователь вынужден был выбирать между двумя способами – математически строгим либо не столь корректным, зато небезынтересным с точки зрения понимания природы окружающего мира. Для математика выбор был ясен. Он абстрагировался от природы, и его студенты, сталкиваясь с той же проблемой, следовали по пути учителя.

Нигде математическая чистота не блюлась столь строго, как во Франции. Группа Бурбаки достигла такого успеха, о котором ее основатели не могли даже мечтать. Их принципы, стиль и язык постепенно становились обязательными. Они достигли абсолютного господства, распространив свое влияние на всех талантливых студентов и выпуская в мир все новых и новых успешных математиков. Группа полностью подчинила себе Высшую нормальную школу, чего Бенуа Мандельброт не мог стерпеть. Из-за этого он покинул школу, а десятилетие спустя и Францию, переселившись в Соединенные Штаты. Через несколько десятилетий бескомпромиссные абстракции Бурбаки начнут медленно затухать в сознании математиков под влиянием шока, вызванного компьютером с его возможностью генерировать зрительно доступные образы. Но все это уже не имело значения для Мандельброта, который сразу же взбунтовался против формализма Бурбаки, потому что не мог предать свою геометрическую интуицию.

Творец своей собственной мифологии, Мандельброт во вступлении к книге «Кто есть кто» писал: «Наука разрушила бы саму себя, поставив во главу угла состязательность, как это происходит в спорте, и объявив одним из своих правил обязательный уход в узкоспециальные дисциплины. Те немногие ученые, которые по собственному желанию становятся „кочевниками“, исключительно важны для процветания уже устоявшихся научных отраслей». Итак, этот «кочевник» по убеждению, а также «первооткрыватель по необходимости» (еще один его собственный термин) покинул Францию, приняв предложение Исследовательского центра корпорации IBM имени Томаса Джона Уотсона[148]. Ни разу за тридцать последующих лет, выведших Мандельброта из тени безвестности к славе, ни одна его работа не была воспринята всерьез представителями тех дисциплин, которыми он занимался. Даже математики, не злословя открыто, замечали, что, кем бы ни был Мандельброт, он точно не один из них.

Находя вдохновение в малоизвестных фактах позабытых областей истории науки, ученый медленно нащупывал собственный путь. Он занялся математической лингвистикой, объяснив закон распределения языковых единиц. (Извиняясь за символизм этой истории, он утверждал, что вопрос оказался в поле его зрения совершенно случайно: он наткнулся на статью в книжном обозрении, которое выудил из мусорной корзины знакомого математика, чтобы было что почитать в метро.) Изучал Мандельброт и теорию игр. Он также выработал собственный подход к экономике и писал об упорядоченности масштабов в распределении малых и больших городов. Но то общее, та первооснова, что связывала все его труды воедино, оставалась еще в тени, не получив завершения.

В самом начале своей работы на IBM, вскоре после исследования ценовых механизмов, Мандельброт столкнулся с практической задачей, в решении которой был весьма заинтересован его работодатель. Инженеров корпорации ставила в тупик проблема шума в телефонных линиях, используемых для передачи информации от одной вычислительной машины к другой. Электрический ток несет информацию в виде импульсов. Инженеры прекрасно понимали, что влияние помех будет тем меньше, чем выше мощность сигнала, однако некий самопроизвольный шум никак не удавалось свести на нет. Он просто возникал временами, угрожая стереть часть сигнала и тем самым внести ошибку в передаваемые данные.

Несмотря на то что помехи при трансляции сигнала имели случайную природу, шумы генерировались в виде кластеров. Промежутки «чистой» передачи сменялись периодами помех. Поговорив с инженерами, Мандельброт выяснил, что есть ряд устных свидетельств об этих ошибках, которые никогда не были записаны, потому что противоречили всем стандартным подходам: чем больше инженеры всматривались в эти кластеры, тем более сложными они казались. Мандельброту удалось описать распределение ошибок так, чтобы точно предсказать наблюдаемые эффекты. Но все же этот феномен был в высшей степени странным! В силу определенных причин подсчитать средний уровень шумов – их среднее количество в час, минуту или секунду – представлялось невозможным. Если следовать схеме, предложенной Мандельбротом, получалось, что в среднем возникновение ошибок стремилось к бесконечной редкости.

Описание Мандельброта было основано на все более глубоком разделении периодов чистой передачи и периодов с ошибками. Что это означает? Допустим, мы разбили сутки на часовые интервалы. Первый час проходит вообще без сбоев. В следующий час они могут появиться, а затем снова на час исчезнуть.

При разбиении часового промежутка с помехами на более мелкие временные интервалы, например на двадцатиминутные, оказывалось, что некоторые из них абсолютно чистые, в то время как в других внезапно обнаруживаются шумы. Фактически, утверждал Мандельброт, – и это совершенно противоречило интуиции – невозможно найти временной промежуток, в течение которого распределение ошибок станет непрерывным. Внутри каждого пучка шумов, независимо от его продолжительности во времени, всегда будут наблюдаться моменты абсолютно чистой передачи. Более того, Мандельброт обнаружил устойчивое отношение между периодами ошибок и промежутками чистой передачи. В масштабах часа или даже секунды соотношение этих двух периодов оставалось постоянным. (Однажды ученого напугали сообщением, что его схема не работает. Однако быстро выяснилось, что инженеры просто не зафиксировали наиболее вопиющие случаи, решив, что они не относятся к делу.)

Множество Кантора («канторова пыль»). Начинаем с одного отрезка, у которого удаляем среднюю треть. Затем удаляем средние трети оставшихся сегментов, и так далее. Множеством Кантора именуется «пыль» из точек, остающихся после всех подобных операций. Точек бесконечно много, но их общая длина равна нулю. Математиков XIX века смущали парадоксы подобных конструкций. Мандельброт использовал последовательность Кантора в качестве модели возникновения помех во время передачи электрических сигналов. Инженеры наблюдали свободные от шумов периоды передачи данных, чередовавшиеся с промежутками, в которые внезапно возникали помехи. При ближайшем рассмотрении оказывалось, что «вспышки» ошибочной информации содержали внутри себя совершенно «чистые» промежутки. Этот феномен представлял собой пример фрактального времени. Мандельброт обнаружил, что в каждом временном масштабе, начиная от часа и заканчивая секундами, соотношение погрешностей и «чистых» сигналов постоянно. Подобные множества точек, заключил он, необходимы при моделировании перемежаемости.

Инженеры не обладали достаточными знаниями, чтобы понять описание Мандельброта, чего нельзя сказать о математиках. В сущности, он продублировал абстрактную конструкцию, названную множеством Кантора – в честь великого математика XIX века Георга Кантора. Для ее построения необходимо начать с отрезка числовой прямой от нуля до единицы, а затем удалить одну его треть из середины. Останутся два крайних отрезка, которые нужно подвергнуть той же процедуре: из каждого удалить середину (от 1/9 до 2/9 и от 7/9 До 8/9). Останутся четыре отрезка, с ними нужно сделать то же самое. Повторяя эту операцию до бесконечности, мы получим странную «пыль» точек, собранных в кластеры. Их бесконечно много, при этом они бесконечно разрежены. Мандельброт рассматривал погрешности в передаче информации как множество Кантора, записанное на оси времени.

Такое в высшей степени абстрактное описание имело большое практическое значение для ученых, пытавшихся выработать эффективную стратегию борьбы с ошибками при передаче информации[149]. В частности, сделанные Мандельбротом выводы подсказали, что увеличивать силу сигнала в целях устранения большего количества шумов бесполезно. Разумнее остановить выбор на сравнительно слаботочной связи, смириться с неизбежностью погрешностей и использовать стратегию дублирования сигналов для исправления ошибки. Благодаря Мандельброту инженеры корпорации IBM изменили свои взгляды на причину шумов: раньше внезапное появление помех списывали на то, что где-то техник орудует отверткой, но построенная ученым модель доказала, что нельзя объяснять природу помех специфичными локальными явлениями.

Затем воображение Мандельброта захватила информация, почерпнутая из гидрографии, точнее из истории Нила. Египтяне тысячелетиями наблюдали и фиксировали уровень вод в реке и делали это совсем не из праздного любопытства: он менялся чрезвычайно резко – в иные годы поднимался довольно высоко, в другие великая река мелела. Мандельброт классифицировал данные о таких изменениях. Он выделил два типа эффектов, наблюдаемых также и в экономике, и назвал их эффектами Ноя и Иосифа.

Эффект Ноя, или скачок, обозначает отсутствие последовательности, иначе говоря, разрыв: когда количественная величина изменяется, она может изменяться сколь угодно быстро[150]. Экономисты традиционно полагали, что цены меняются довольно плавно в том смысле, что проходят – быстро или медленно – через все уровни, лежащие на пути от одной точки к другой. Этот образ движения, заимствованный из физики, был ложным: цены могут совершать мгновенные скачки, сменяющие друг друга с той же быстротой, с какой новости мелькают на ленте телетайпа и тысячи брокеров меняют решения, просчитывая выгоды. Мандельброт утверждал, что если в своей торговой стратегии вы исходите из того, что акция, падающая с 6о до ю долларов, в какой-то момент обязательно будет продаваться за 50 долларов, то ваша стратегия обречена на провал.

Эффект Иосифа символизирует постоянство. Наступят семь плодородных лет на земле египетской, и придут после них семь лет голода. Периодичность, если именно о ней идет речь в библейской легенде, конечно, понимается чересчур упрощенно, однако периоды наводнений и периоды засухи действительно настают вновь и вновь. Хотя подобное кажется случайностью, чем дольше та или иная местность страдает от засухи, тем больше вероятность, что засушливые периоды повторятся. Более того, математический анализ колебаний уровня Нила выявил, что подобное постоянство наблюдалось как десятилетиями, так и веками. Два явления – скачки и постоянство – стремятся к противоположным результатам, но сводятся к одному: тенденции в природе вполне реальны, однако способны затухать так же быстро, как и проявляться.

Отсутствие последовательности, внезапные «вспышки» помех, множества Кантора – подобным явлениям не нашлось места в истории геометрии двух прошедших тысячелетий. Формами классической геометрии считаются прямые и плоскости, окружности и сферы, треугольники и конусы. Они воплощают могущественную абстракцию действительности, они вызвали к жизни непревзойденную философию гармонии Платона. Евклид построил на их основе геометрию, известную уже две тысячи лет, и по сей день большинство людей знакомы только с ней. Художники распознавали в таких формах идеалы красоты, астрономы составили из них птолемееву картину мира, но для постижения истинной сложности наука нуждается в ином типе абстракции, нежели тот, что присущ классической геометрии.

Как любил повторять Мандельброт, облака далеки по своей форме от сфер, горы совсем не конусы, а молния отнюдь не придерживается в своем движении прямой линии[151]. Новая гeoметрия отражает грубые и шершавые очертания Вселенной, а не гладкие и круглые. Зарождающуюся науку можно назвать геометрией отверстий, выщербин, разломов и переплетений. Пониманию сложной природы живого мира недоставало одного лишь предположения, что сложность – это не что-то случайное. Истинное проникновение в глубины хаоса требовало безоговорочной веры в то, что интереснейшей чертой, например, разряда молнии является не ее направление, а скорее расположение ее зигзагов. Исследования Мандельброта претендовали на новое видение действительности, указывая на то, что эти странные формы имеют особое значение. Выщербины и сплетения – это не просто какие-то изъяны идеальных форм евклидовой геометрии. Наоборот, зачастую именно они передают саму сущность явлений.

В чем состоит сущность, скажем, линии побережья? Такой вопрос Мандельброт задал в статье «Какова длина береговой линии Великобритании?», ставшей поворотным пунктом в мышлении ученого.

С феноменом береговой линии он столкнулся, изучая малоизвестную работу английского ученого Льюиса Фрая Ричардсона, вышедшую после смерти автора. Последнему удалось отыскать множество поразительных вещей, ставших впоследствии элементами хаоса. Еще в 1920-х годах Ричардсон размышлял о предсказании погоды. Он изучал турбулентность в жидкостях, бросая мешок с белыми цветами в воды канала Кейп-Код, и задавался вопросом «Имеет ли ветер скорость?» в одноименной статье 1926 года. («Спрашивать о таком, на первый взгляд, глупо, но, как оказывается, поучительно», – писал ученый.) Зачарованный изгибами береговых линий и государственных границ, Ричардсон проштудировал энциклопедии Испании и Португалии, Бельгии и Нидерландов и обнаружил, что указанные там протяженности общих границ этих стран различаются от одного справочного издания к другому на 20 %[152].

Анализ, проделанный Мандельбротом, ошеломлял. Посвященные в его результаты испытывали шок от этих умозаключений, не то до боли очевидных, не то до абсурда ложных. Как подметил ученый, на вопрос о длине береговых линий большинство людей дают один из двух стандартных ответов: «Не знаю. Это не по моей части» или «Даже не представляю. Посмотрю в энциклопедии».

На самом деле длина любой береговой линии, объяснял Мандельброт, в известном смысле бесконечно велика. Если подходить с другой стороны, ответ, конечно же, будет зависеть от величины линейки. Рассмотрим один из возможных методов измерения. Топограф, вооружившись циркулем, разводит его ножки на расстояние одного ярда и измеряет линию побережья. Полученный результат будет приблизительным, поскольку циркуль «перешагивает» изгибы и повороты, длина которых меньше ярда, но на результате, который фиксирует топограф, это не отражается. Если он разведет ножки не так широко, скажем на один фут, и повторит процедуру, конечный результат окажется больше предыдущего. Будет «схвачено» больше деталей. Чтобы покрыть расстояние, которое ранее измерялось одним шагом циркуля, потребуется уже более трех шагов длиной в один фут. Топограф записывает новый результат и, разведя ножки на четыре дюйма, снова принимается за дело. Подобный мысленный эксперимент показывает, как можно получить различные результаты при изменении масштаба исследования. Наблюдатель, пытающийся измерить длину береговой линии Великобритании с космического спутника, получит менее точный результат, чем тот, кто не поленится обойти все бухты и пляжи. Последний же, в свою очередь, проиграет улитке, оползающей каждый камешек.

Хотя результат каждый раз будет возрастать, здравый смысл подсказывает, что он неуклонно стремится к некой конечной величине – истинной длине береговой линии. Иными словами, все измерения сойдутся в одной точке. Если бы линия побережья представляла собой одну из фигур евклидовой геометрии, к примеру круг, применение вышеописанного метода сложения отрезков прямой линии, измеренных каждый раз со все большей точностью, оказалось бы успешным. Однако Мандельброт обнаружил, что при бесконечном уменьшении масштаба измерения получаемая длина береговой линии неограниченно растет. В бухтах и на полуостровах обнаруживаются мелкие бухточки и мысики – и так вплоть до размеров крошечного атома. Лишь при достижении атомного уровня измерения подойдут к концу. Возможно.

Фрактальный берег. Береговая линия сгенерирована компьютером. Детали случайны, однако фрактальная размерность постоянна, так что шершавости и неровности выглядят все теми же, независимо от степени увеличения.

Геометрия Евклида, оперирующая длинами, ширинами и высотами, не позволяла постичь сущность неправильных форм, и Мандельброту пришло в голову отталкиваться от идеи размерности, в которой ученые усматривают гораздо больше, чем обыватели. Мы живем в трехмерном пространстве, и это означает, что для определения положения точки нам надо задать три координаты, например долготу, широту и высоту. Оси трехмерного пространства представляют собой три взаимно перпендикулярные линии, пересекающиеся в начале координат. Это все еще территория евклидовой геометрии, где пространство характеризуется тремя измерениями, плоскость – двумя, прямая – одним, а точка имеет нулевую размерность.

Процесс абстрагирования, позволивший Евклиду постичь одномерные и двумерные объекты, может быть с легкостью применен и к явлениям повседневной жизни[153]. Так, с практической точки зрения карта дорог являет собой двумерный объект – фрагмент плоскости, в котором для адекватного отображения объекта задействованы два измерения. Безусловно, реальные дороги трехмерны, как и все остальное, однако их высота столь трудноуловима (и в общем-то несущественна для их эксплуатации), что ее можно не учитывать. Заметим, что карта дорог остается двумерной даже тогда, когда ее сворачивают. Так и нить всегда имеет лишь одно измерение, а частица или точка не имеют его вовсе.

А сколько измерений у клубка бечевки? По мнению Мандельброта, ответ на этот вопрос зависит от уровня восприятия. С огромного расстояния клубочек представляется не более чем точкой с нулевой размерностью. Приближаясь, можно заметить, что он подобен шару и, таким образом, характеризуется уже тремя измерениями. На еще более близком расстоянии становится различимой сама бечевка, а объект приобретает одно измерение, скрученное таким образом, что задействуется трехмерное пространство. Вопрос о количестве чисел, необходимых для определения положения точки, остается актуальным: пока мы вдалеке, нам не нужно ни одного, поскольку мы видим лишь точку; приблизившись, мы нуждаемся уже в трех; а подойдя еще ближе, довольствуемся одним, так как любое заданное положение вдоль всей длины бечевки неповторимо, вне зависимости от того, вытянута она или смотана в клубок.

Продвигаясь далее, к более мелким, видимым только под микроскопом деталям, мы обнаружим следующее: бечевка состоит из скрученных трехмерных протяженных объектов, а те, в свою очередь, – из одномерных волокон, вещество которых распадается на частицы с нулевой размерностью. Так Мандельброт, поправ математические традиции, обратился к относительности, заявив: «Представление о том, что численный результат измерений зависит от связи объекта и наблюдателя, вписывается в понятия современной физики и даже является их превосходной иллюстрацией»[154].

Оставив в стороне философию, мы увидим, что реальные измерения объекта оказываются отличны от трех его привычных параметров. Слабым местом выдвинутых Мандельбротом аргументов стало то, что они основывались на слишком смутных понятиях – «издалека» и «чуть ближе». А что наблюдается в промежутке? Бесспорно, провести строгую черту, по пересечении которой клубок бечевки превращается из трехмерного объекта в одномерный, невозможно. Однако проблема с отсутствием строгого определения для этих переходов заставила по-новому взглянуть на вопрос о размерности.

Мандельброт двигался от целочисленных размерностей 0, 1, 2, 3··· к тому, что казалось невозможным, – к дробным. Представление о них было столь экстравагантным, что ученым-нематематикам оставалось только принять его на веру. Тем не менее неожиданный подход оказался чрезвычайно перспективным.

Дробная размерность позволяет вычислять характеристики, которые не могут быть четко определены иным путем: степени неровности, прерывистости или нерегулярности какого-либо объекта. Например, извилистая береговая линия, несмотря на неизмеримость ее «длины», обладает присущей только ей шероховатостью. Мандельброт указал пути расчета дробной размерности для объектов окружающей действительности либо исходя из способа построения соответствующих форм, либо исходя из данных. Создавая свою геометрию, он выдвинул закон о неупорядоченных формах, что встречаются в природе. Этот закон гласил: степень иррегулярности постоянна при различных масштабах. Справедливость этого постулата на удивление часто подтверждается. Мир снова и снова обнаруживает регулярную иррегулярность.

Однажды зимним днем 1975 года Мандельброт работал над своей первой монографией[155]. Он знал, что нечто похожее возникает и в физике, и понял, что должен найти некий термин, который стал бы стержнем его геометрии. Одолжив у вернувшегося из школы сына латинский словарь, Мандельброт принялся с интересом перелистывать его. Там он наткнулся на прилагательное fractus, образованное от глагола fragerе – «разбивать». Слово было созвучно английским fracture(«разрыв») и fraction(«дробь»). Так Мандельброт придумал термин fractal («фрактал»), который вошел в современные английский и французский языки.

Фрактал позволяет вообразить бесконечность.

Представьте себе равносторонний треугольник с длиной стороны в один фут. А теперь мысленно проделайте следующую вполне определенную и легко повторяемую трансформацию: выделите на каждой стороне треугольника среднюю треть и приставьте к ней равносторонний треугольник, длина стороны которого составляет одну треть от длины стороны исходной фигуры.

Результатом будет звезда Давида. Она образована уже не тремя отрезками длиной в один фут, а двенадцатью отрезками длиной в четыре дюйма, и вершин у нее не три, а шесть.

Повторите операцию, прикрепив еще меньший треугольник к средней трети каждой из двенадцати сторон. Если проделывать эту процедуру вновь и вновь, число деталей в образуемом контуре будет расти и расти, подобно тому как дробятся отрезки при построении множества Кантора. Изображение приобретает вид снежинки с геометрически идеальными очертаниями. Эта фигура известна как снежинка Коха, и названа она в честь шведского математика Хельге фон Коха, впервые описавшего ее в 1904 году.

Снежинка Коха (вверху справа и в среднем ряду)и кривая Коха (внизу; «Приблизительная, но весьма удачная модель береговой линии», как охарактеризовал ее Мандельброт). Чтобы создать снежинку Коха, начнем с построения треугольника, каждая сторона которого равна единице. В середину каждой стороны встроим новый треугольник со стороной втрое меньшей и повторим преобразования многократно. Длина контура полученной фигуры равна 3 × 4/3 × 4/3 × 4/3… и так до бесконечности. Однако ее площадь все же меньше площади окружности, описанной около первоначального треугольника. Таким образом, бесконечно длинная линия очерчивает ограниченную площадь.

Поразмыслив, можно заключить, что снежинке Коха присущи некоторые весьма занимательные черты. Прежде всего, она представляет собой непрерывную замкнутую кривую, никогда не пересекающую саму себя, так как новые треугольники на каждой стороне всегда достаточно малы и поэтому не сталкиваются друг с другом. Каждое преобразование добавляет немного пространства внутри кривой, однако ограниченная ею площадь остается конечной и фактически лишь незначительно превышает площадь первоначального треугольника. Если описать окружность около последнего, кривая никогда не растянется за ее пределы.

Но все же сама кривая Коха бесконечно длинная, как и евклидова прямая, стремящаяся к краям ничем не ограниченной Вселенной. Подобно тому как во время первой трансформации один отрезок длиной в один фут заменяется на четыре длиной в четыре дюйма, каждое последующее преобразование умножает общую длину кривой на четыре третьих. Подобный парадоксальный итог – бесконечная длина в ограниченном пространстве – в начале XX века озадачил многих математиков. Кривая Коха оказалась монстром, безжалостно поправшим все мыслимые интуитивные ощущения относительно форм и (это воспринималось как данность) непохожим на что-либо, существующее в природе.

В этих обстоятельствах не выглядит странным, что исследования некоторых упрямых математиков, придумавших иные фигуры, чьи свойства были похожи на свойства кривой Коха, также вызвали слабый отклик в научном мире в свое время. Речь идет о кривых Пеано, а также коврах и салфетках Серпинского. Для построения ковра Серпинского нужно взять квадрат и разделить его на девять равных квадратов меньшей площади, а затем удалить центральный. Далее следует повторить операцию с восьмью оставшимися квадратами, сделав в центре каждого из них отверстие. Салфетка Серпинского представляет собой примерно то же самое, но ее составляют не квадраты, а равносторонние треугольники. Она обладает качеством, которое весьма трудно представить: любая произвольная точка является точкой разветвления, своего рода вилкой в структуре. Вообразить подобное сложно, пока не посмотришь на Эйфелеву башню, хорошее трехмерное приближение: ее балки, фермы и перекрытия, разветвляясь на изящные решетчатые конструкции, являют собой мерцающую сетку тончайших деталей[156]. Эйфель, конечно же, не мог достичь бесконечности в своем творении, однако ценил тонкий инженерный подход, который позволил ему сделать сооружение менее тяжеловесным, не лишив его прочности.

Очень трудно визуально представить сложность, бесконечно вложенную саму в себя. Однако человеку с развитым пространственным воображением такое повторение структуры во все более мелких масштабах может открыть целый мир. Мандельброт исследовал подобные формы, пытаясь силой разума расширить таящиеся в них возможности. Это занятие увлекало его, как игра; словно ребенок, он с восторгом любовался новыми конструкциями, которые никто не увидел и не постиг до него. Он придумывал им названия: канат, простыня, губка, пена, сгусток, набивка.

Фрактальная размерность оказалась замечательным инструментом. В известном смысле степень иррегулярности определяла способность того или иного объекта занять определенное пространство. Обычная евклидова одномерная прямая не занимала пространства вовсе, чего нельзя сказать о контуре кривой Коха, бесконечная длина которого теснится в ограниченном пространстве. Сама кривая являет собой уже нечто большее, чем просто линию, но все же это еще и не плоскость; она глубже одномерного объекта, но поверхностнее двумерной формы. Используя технику, созданную математиками в начале XX века, но потом почти забытую, Мандельброт смог вполне точно описать фрактальную размерность[157]. Для кривой Коха, например, бесконечное умножение на 4/3 дает размерность 1,2618.

Продолжая следовать этим путем, Мандельброт, по сравнению с другими математиками, которые занимались подобными фигурами, пользовался двумя преимуществами. Первым его преимуществом было то, что он имел доступ к вычислительной технике корпорации IBM, и это помогло ему решить задачу, идеально подходящую для высокоскоростного компьютера. Подобно тому как метеорологам приходится проделывать одни и те же подсчеты для миллионов соседствующих друг с другом точек атмосферы, Мандельброт должен был вновь и вновь выполнять несложное преобразование. Изобретательность помогает понять суть трансформаций. Компьютер мог нарисовать их, демонстрируя порой весьма неожиданные результаты. В начале XX века математики быстро споткнулись на сложных вычислениях, равно как и для первых биологов отсутствие микроскопа стало серьезным препятствием. Воображение способно рисовать тончайшие детали, но лишь до определенной степени.

Губка Менгера. Лишь немногие математики в начале XX века проникли в сущность объектов, созданных с помощью техники добавления или удаления бесконечного множества составляющих их частей. Внешний вид подобных конструкций зачастую казался просто чудовищным. Одной из таких фигур является ковер Серпинского. Для его построения удаляют одну девятую часть из центра квадрата, затем вырезают девятые части из центров оставшихся, менее крупных восьми квадратов, и так далее. Аналогом ковра в трехмерном пространстве считается губка Менгера – весьма внушительная решетка, имеющая бесконечную площадь поверхности и нулевой объем.

Как отмечал Мандельброт, «целое столетие для математики прошло впустую, поскольку рисование не играло тогда в науке никакой роли. Рука, карандаш и линейка исчерпали себя. Будучи слишком привычными и понятными, эти средства перестали быть интересными, а компьютера еще не существовало. Вступив в игру, я ощутил, что в ней совсем не задействуется интуиция. Ее необходимо было развивать с нуля. Интуиция, взращенная традиционным воспитанием, вооруженная рукой, карандашом и линейкой, посчитала новые формы весьма уродливыми и далекими от общепринятых стандартов, введя нас в заблуждение. Первые полученные изображения весьма меня удивили, но позже во вновь конструируемых картинах стали проглядывать фрагменты предыдущих, и так продолжалось довольно долго. Отмечу, что интуиция не дается нам по умолчанию. Я приучал свою интуицию воспринимать как должное те формы, которые считались абсурдными и отвергались с самого начала. И я понял, что любой может поступить точно так же»[158].

Другим преимуществом Мандельброта стала картина реальности, которую он начал выстраивать, столкнувшись со случайными отклонениями цен на хлопок, шумов при передаче сигналов и разливов рек. Картина начала приобретать отчетливость. Исследование примеров неупорядоченности в естественных процессах и анализ бесконечно сложных форм пересекались, и точкой пересечения послужило так называемое самоподобие. «Фрактальный» – это прежде всего «самоподобный».

Самоподобие представляет собой симметрию, проходящую сквозь масштабы, повторение рисунка внутри самого себя. Таблицы Мандельброта, отражавшие изменения во времени цен и уровня рек, обнаруживали самоподобие, поскольку не только демонстрировали похожие детали во все более малых масштабах, но эти детали имели одинаковые измеримые характеристики. Чудовищные фигуры вроде кривой Коха являлись самоподобными, потому что выглядели все теми же даже при большом увеличении. Самоподобие «встроено» в саму технику создания кривых: одно и то же преобразование повторяется при уменьшающемся масштабе. Самоподобие легко распознается, ведь его образы встречаются повсюду в нашей культуре: в бесконечно глубоком отражении фигуры человека, стоящего между двумя зеркалами, или в мультфильме о том, как рыбина заглотила рыбу, которая слопала рыбку, съевшую совсем маленькую рыбешку. Мандельброт любил цитировать Джонатана Свифта:

Натуралистами открыты

У паразитов паразиты,

И произвел переполох

Тот факт, что блохи есть у блох.

И обнаружил микроскоп,

Что на клопе бывает клоп,

Питающийся паразитом,

На нем – другой, adinfinitum[159].

На северо-западе США землетрясения лучше всего изучать в геофизической лаборатории Ламонта – Доэрти, которая размещается в нескольких ничем не примечательных зданиях, затерянных среди лесов на юге штата Нью-Йорк, к западу от реки Гудзон[160]. Именно там Кристофер Шольц, профессор Колумбийского университета, специализировавшийся на изучении формы и строения твердого вещества Земли, впервые задумался о таком явлении, как фракталы.

Хотя математики и физики-теоретики с пренебрежением отнеслись к трудам Мандельброта, Шольц принадлежал как раз к тому типу прагматиков, ученых практического склада, которые готовы были воспринять инструментарий фрактальной геометрии. Имя Мандельброта он впервые услышал в 1960-х годах, когда первооткрыватель фракталов еще занимался экономикой, а сам Шольц был аспирантом в Массачусетском технологическом институте и ломал голову над проблемой землетрясений. За два десятка лет до этого было выявлено, что распределение землетрясений большой и малой силы описывается особой математической моделью, подобной той, что отражает распределение индивидуальных доходов в экономике свободного рынка. Это наблюдение одинаково подходило для любого района земного шара, где бы ни подсчитывали число толчков и ни измеряли их силу. Принимая во внимание, сколь беспорядочны и непредсказуемы были сотрясения земной коры во всех других отношениях, имело смысл попытаться понять, какие именно физические процессы обуславливают подобную регулярность. По крайней мере, так думал Шольц. Многие другие сейсмологи довольствовались констатацией факта.

Шольц не забыл имени Мандельброта, и когда в 1978 году ему на глаза попалась богато иллюстрированная и напичканная уравнениями книга «Фракталы: форма, случайность и размерность», он купил этот труд – собрание весьма причудливых мыслей. Казалось, Мандельброт свалил туда в беспорядке все свои знания и гипотезы о Вселенной. За несколько лет эта работа и ее второе, расширенное и дополненное издание «Фрактальная геометрия природы» разошлись тиражом, какого не имела ни одна другая работа по высшей математике. Ее заумный стиль изложения вызвал раздражение, хотя местами сухая непроницаемость авторской манеры разбавлялась удачно сформулированными, остроумными и небанальными замечаниями. Мандельброт называл свою работу «манифестом и сборником примеров»[161].

Один из немногих упрямцев, среди которых большинство составляли естественники, Шольц несколько лет размышлял над тем, какую пользу можно извлечь из этой книги. Вопрос был не столь очевидным. По выражению Шольца, «Фракталы» были «не практическим руководством, а книгой восторгов»[162]. Он, впрочем, интересовался поверхностями, а о них рассказывалось буквально на каждой странице. Так и не сумев выкинуть из головы открытия Мандельброта, Шольц попытался применить фракталы к описанию, классификации и измерению геофизических объектов.

Вскоре Шольц понял, что не одинок в этом, хотя до созыва многолюдных конференций и семинаров должно было пройти еще несколько лет. Идеи фрактальной геометрии объединили ученых, озадаченных собственными наблюдениями и не знавших, как систематически их интерпретировать. Откровения фрактальной геометрии указали путь специалистам, исследовавшим слияние и распад всевозможных объектов. Ее методы как нельзя лучше подходили для изучения материалов: шероховатых поверхностей металлов, крошечных отверстий и канавок в ноздреватом старом камне, фрагментированных пейзажей зоны землетрясения.

Как представлял себе Шольц, в компетенцию геофизиков входило описание поверхности Земли – поверхности, чье соприкосновение с океанами формирует береговую линию. Твердая земная кора включает в себя зоны разрывов и расселин. Сдвигов, изломов и трещин на каменном лике Земли такое количество, что именно они дают ключ к тайнам планеты. Для постижения этих тайн они значат больше, чем слагающие земную кору горные породы. Расселины пересекают поверхностный слой нашей планеты в трех измерениях, образуя то, что Шольц назвал «распадающейся оболочкой». Эта оболочка регулирует циркуляцию в земной коре воды, нефти, природного газа. Она влияет на землетрясения. Постижение свойств поверхностей представляло собой задачу первостепенной важности, но Шольц полагал, что его наука зашла в тупик. Откровенно говоря, не от чего было даже оттолкнуться.

Геофизики рассматривали поверхности так, как их рассматривал бы кто угодно – как некоторые геометрические формы. Например, поверхность может быть плоской. Или может иметь некоторую конкретную форму – скажем, можно рассмотреть поверхность в форме автомобиля «Фольксваген-жук». Ее можно измерить традиционными методами евклидовой геометрии, описать уравнением. Однако Шольц был убежден, что при таком подходе мы словно бы рассматриваем поверхность в узком спектральном диапазоне, доступном нашему зрению. Это все равно что обозревать Вселенную сквозь красный фильтр – мы увидим только то, что возможно увидеть при данной длине волны, и упустим все, что воспринимается в других цветах, при иных длинах волн, не говоря уже о прочих частях спектра, например инфракрасном излучении или радиоволнах. В этом примере спектр соответствует масштабу. Рассматривать поверхность автомашины, используя евклидову геометрию, значит воспринимать ее лишь с позиции наблюдателя, находящегося в десятке или сотне метров от объекта. А что он увидит на расстоянии одного или ста километров? Одного миллиметра? Одного микрона?

Представьте себе, что наблюдаете поверхность земного шара из космоса, с расстояния в сто километров. Линия поверхности то опадает, то вздымается, огибая деревья, бугорки, здания и – где-нибудь на автостоянке – «фольксваген». В таком масштабе автомобиль – лишь одна из многочисленных выпуклостей, кусочек случайности.

Или вообразите, что мы придвигаемся к машине все ближе и ближе, рассматриваем ее в лупу или даже в микроскоп. Сначала, по мере того как округлость бамперов и капота пропадает из поля зрения, очертания становятся более плавными. Затем проявляются бугорки на поверхности стального корпуса. Расположение их произвольно, оно кажется хаотическим.

Шольц выяснил, что фрактальная геометрия снабдила науку эффективным методом описания специфичного бугристого ландшафта Земли. Металлурги обнаружили то же самое в отношении поверхностей различных типов стали. В частности, фрактальная размерность поверхности металла зачастую позволяет судить о его прочности. Фрактальная размерность ландшафтов планеты открывает двери к постижению ее важнейших характеристик. Шольц размышлял о классической геологической формации – об осыпи на склоне горы. С большого расстояния она кажется одной из двумерных евклидовых форм, тем не менее геолог, приближаясь, обнаруживает, что двигается не столько по поверхности такой формы, сколько внутри нее. Осыпь распадается на валуны размером с легковую машину. Ее действительная размерность составляет уже около 2,7, поскольку каменистые поверхности, загибаясь и сворачиваясь, занимают почти трехмерное пространство, подобно поверхности губки.

Фрактальные изображения незамедлительно нашли применение при изучении целого ряда проблем, связанных со свойствами контактирующих поверхностей. Например, соприкосновение автомобильных покрышек и бетона – достаточно сложный предмет для исследования, как и соединение узлов или электрических контактов в механизмах. Свойства соединенных поверхностей совершенно отличны от свойств задействованных при этом материалов. Различие обуславливается характером фрактального наложения составляющих поверхности бугорков. Один из простых, но весьма важных постулатов фрактальной геометрии состоит в том, что контактирующие поверхности соприкасаются далеко не везде: соприкосновению препятствует их бугристость, прослеживаемая в любом масштабе. Даже в скале, подвергшейся огромному давлению, при достаточно большом увеличении можно заметить крошечные промежутки, сквозь которые просачивается жидкость (Шольц назвал это «эффектом Шалтая-Болтая».) Именно поэтому никогда не удается соединить осколки разбитой чашки. Даже если они, на первый взгляд, совпадают, при большем увеличении становится видно, что беспорядочно расположенные бугорки просто не сходятся.

В своей области Шольц стал известен как один из немногих, кто принял фракталы на вооружение. Он понимал, конечно, что некоторые коллеги считают его занятия чудачеством. Включив в название статьи термин «фрактальный», он стал ловить на себе как восхищенные, так и осуждающие взгляды. Одни признавали его новатором, в то время как другие считали всего лишь конъюнктурщиком, примкнувшим к модному научному направлению. Даже написание работ давалось Шольцу мучительно трудно в силу необходимости решать, хочет ли он найти понимание только у горстки единомышленников или же у широкого круга геофизиков, которым приходилось растолковывать основные понятия. И все же Шольц не желал отказываться от арсенала фрактальной геометрии.

«Одна эта модель позволит нам справиться с множеством меняющихся измерений земного шара, обеспечив математическим и геометрическим инструментарием для их описания и предсказания, – утверждал он. – Однажды, преодолев препятствие и вникнув в парадигму, мы сможем измерять объекты и по-новому воспринимать известные явления. Мы просто взглянем на них по-иному, словно обретя другое зрение, гораздо шире того, что имели раньше»[163].

Насколько он велик? Какова его продолжительность? Таковы, пожалуй, основные вопросы, интересующие ученого, который впервые столкнулся с тем или иным феноменом. Они настолько фундаментальны и важны для умозрительного восприятия мира человеком, что не сразу замечаешь в них некое предубеждение. Ведь эти вопросы предполагают, что размер и продолжительность – качества, зависящие от масштаба, – заключают в себе определенный смысл, помогая описать объект или классифицировать его. При описании биологом человека, а физиком кварка использование этих категорий действительно вполне уместно. Животные, зачастую обладающие внушительными размерами, увязываются с определенными масштабами. Представьте, что человек стал вдвое больше обычного, но сохранил те же пропорции – кости его просто разрушатся под тяжестью возросшей массы тела. Следовательно, масштаб очень важен.

Раздел физической науки, имеющий дело с подземными толчками, почти не связан с масштабом. Землетрясение большой силы – то же самое, что и землетрясение малой силы, только в увеличенном масштабе. Именно эта черта отличает исследование сейсмической активности от изучения животных. К организму длиной в десять дюймов нужно подходить с иной меркой, нежели к существу длиной в один дюйм. Если же тварь вымахала до ста дюймов и скелет ее держит возросшую массу тела, нужна совсем иная «конструкция». Облака, подобно землетрясениям, явления масштабируемые. Но характерная для них беспорядочность – ее вполне можно описать в терминах фрактальной размерности – при изменении масштаба не меняется. Вот почему, путешествуя по воздуху, совсем не ощущаешь, насколько далеко от тебя находится то или иное облако. Без помощи подсказок, таких как дальность видимости, проплывающее в двадцати футах от наблюдателя облако может быть неотличимо от того, что находится на расстоянии, в сотню раз большем. И действительно, анализ снимков, полученных со спутников, показал инвариантную фрактальную размерность облаков, наблюдаемых с расстояния в сотни миль.

Довольно сложно отделаться от привычки рассматривать явления прежде всего с точки зрения их размера и продолжительности. Однако фрактальная геометрия утверждает, что при исследовании некоторых фрагментов окружающего мира поиски присущего лишь им масштаба только отвлекают от сути. Взять хотя бы ураган. Согласно определению, он представляет собой вихрь определенного размера. Однако природа не умещается в рамки людских определений. В действительности ученые-метеорологи постепенно начинают осознавать, что всевозможные вихри образуют непрерывный континуум, начиная от порывистого кружения мусора на углу улицы и заканчивая огромными системами циклонов, видимыми из космоса. Разделение на категории лишь сбивает с толку. Помимо границ континуума есть и еще что-то посередине.

Оказывается, уравнения, описывающие потоки жидкости, во многих контекстах «безразмерны», то есть могут применяться без оглядки на масштаб. Уменьшенные модели крыльев самолетов и корабельных гребных винтов могут быть испытаны в аэродинамических трубах и лабораторных бассейнах. При этом, пусть и с небольшими ограничениями, штормы небольшой силы действуют аналогично более масштабным штормам.

Кровеносные сосуды, начиная от аорты и заканчивая капиллярами, образуют континуум иного типа. Многократно разветвляясь и делясь, они становятся столь узкими, что площадь их поперечного сечения оказывается сравнимой с размерами кровяной клетки. И такие разветвления имеют фрактальную природу, напоминая своей структурой один из уродливых объектов, придуманных математиками под эгидой Мандельброта. В силу физиологической необходимости кровеносные сосуды приобрели удивительные свойства, связанные с размерностью. Подобно тому как кривая Коха «вжимает» бесконечно длинную линию в ограниченное пространство, в системе кровообращения поверхность с огромной площадью должна вместиться в ограниченный объем. Из всех ресурсов человеческого тела кровь – один из самых дорогих, а пространство вообще ценится на вес золота. Используя возможности фрактальных структур, природа столь эффективно сконструировала человеческий организм, что в большинстве тканей каждая клетка отделена от кровеносного сосуда не более чем тремя или четырьмя подобными ей. При всем том сами сосуды и циркулирующая по ним кровь занимают совсем небольшое пространство – около 5 % объема тела. Мандельброт называл это синдромом венецианского купца – нельзя взять ни фунта, ни даже миллиграмма плоти, не пролив крови.

Такая утонченная структура, которая представляет собой два взаимодействующих «древа» вен и артерий, далеко не исключение. Человеческое тело полно подобными хитросплетениями. В тканях пищеварительного тракта одна волнистая поверхность «встроена» в другую. Легкие также являют пример того, как большая площадь «втиснута» в довольно маленькое пространство. У животных, имеющих легкие, способность поглощать кислород примерно пропорциональна площади дыхательной поверхности этого органа. В среднем площадь дыхательной поверхности легких человека больше площади теннисного корта. Но еще удивительнее то, как искусно природа пронизала лабиринт дыхательных путей артериями и венами.

Каждому студенту-медику известно, что легкие устроены таким образом, чтобы вмещать огромную дыхательную поверхность. Однако анатомия учит рассматривать этот орган лишь в одном масштабе за раз, к примеру, на уровне миллионов альвеол – микроскопических мешочков, завершающих разветвления дыхательных путей. Эта наука стремится скрыть единство сквозь масштабы. Фрактальный подход, напротив, предполагает рассмотрение структуры как целого через разветвления, которые в разных масштабах функционируют одинаково. Изучая систему кровообращения, анатомы подразделяют кровеносные сосуды на группы в зависимости от их размера: артерии, артериолы, артериальные капилляры, вены, венулы, венозные капилляры. В определенном смысле подобное разделение действительно имеет смысл, но в иных случаях оно просто ставит в тупик. А ведь истина так близко! В учебнике анатомии мы читаем: «При постепенном переходе от одного типа артериальных сосудов к другому иногда сложно классифицировать те, которые находятся в промежутке. В переходной области некоторые артериолы имеют стенки, характерные для артерий, и наоборот. Это артериальные сосуды смешанного типа»[164].

Не сразу, а лишь десятилетие спустя, после того как Мандельброт ознакомил читающую публику со своими взглядами на физиологию, некоторые биологи-теоретики стали находить, что фрактальная организация лежит в основе устройства всего человеческого тела[165]. Традиционное описание разветвлений в бронхах оказалось в корне неверным; фрактальное же их изображение вполне соответствовало реальной картине. Выяснилось, что и мочевыделительная система фрактальна по своей природе, равно как и желчные протоки в печени, а также сеть специальных мышечных волокон, которые проводят электрические импульсы к сократимым мышечным клеткам сердца[166]. Последняя структура, известная кардиологам под названием сети Гиса – Пуркинье, вдохновила ученых на весьма важные исследования, в которых принимали участие как люди, имеющие здоровое сердце, так и страдающие определенными сердечными заболеваниями. Выяснилось, что некоторые сердечные недуги бывают вызваны несогласованной работой мышечных клеток левого и правого желудочков. Некоторые кардиологи, чей разум был открыт науке о хаосе, обнаружили, что спектральные характеристики сердечных сокращений, как и землетрясения и экономические феномены, подчиняются фрактальным законам[167]. Это дало повод утверждать, что одним из ключей к постижению механизма синхронизации работы сердечных клеток является фрактальное строение сети Гиса – Пуркинье, лабиринта разветвляющихся путей, устроенных таким образом, что они воспроизводятся во все более мелких масштабах.

Но как же удалось живому организму эволюционировать в столь сложное построение? С точки зрения Мандельброта, сложным его можно признать лишь в контексте евклидовой геометрии, поскольку фракталы, разветвляющиеся структуры, до прозрачности просты и могут быть описаны с помощью небольшого объема информации. Возможно, несложные преобразования, которые формируют фигуры, придуманные Кохом, Пеано и Серпинским, заложены в генетическом коде человека. ДНК, конечно же, не может во всех подробностях определять строение бронхов, бронхиол, альвеол или пространственную структуру дыхательного «древа», однако она в состоянии описать повторяющийся процесс, в соответствии с которым они разветвляются и развиваются. Такие процессы соответствуют целям природы. Когда компания Дюпона стала производить для армии США синтетический заменитель гусиного пуха, выяснилось, что своей феноменальной способностью задерживать воздух натуральный пух обязан фрактальным узлам и ответвлениям ключевого белка в структуре пуха – кератина[168]. Мандельброт естественным образом переключился с изучения «древа» дыхательного и сосудистого на исследование самых настоящих деревьев, которые ловят солнце и противостоят ветрам, деревьев с фрактальными ветвями и листьями. А биологи-теоретики начали подумывать о том, что фрактальное масштабирование – не просто широко распространенный, но универсальный принцип морфогенеза. Они утверждали, что проникновение в механизмы кодирования и воспроизводства фрактальных моделей станет настоящим вызовом традиционной биологии.

«Я начал искать такие феномены в „мусорных корзинах“ науки, поскольку подозревал, что наблюдаемое мной не являлось исключением, а, скорее всего, было широко распространено. Я посещал лекции и просматривал залежалую периодику, чаще всего почти без толку, однако местами набредал на весьма интригующие вещи. Так стал бы действовать естествоиспытатель, а не теоретик. Но мое рискованное предприятие полностью оправдало себя»[169].

Собрав в одной книге все свои мысли о природе и истории математики, Мандельброт снискал необычайный успех в академической среде. Уже седовласый, он стал разъезжать с лекциями, появлялся перед публикой с неизменными лотками цветных слайдов. Он удостаивался премий и иных почестей, его имя приобрело громкую известность как в математических, так и в околонаучных кругах. Частично он был обязан такому успеху своим фрактальным картинам, которые по достоинству оценили знатоки прекрасного, а частично – тому, что многие тысячи любителей, вооружившись компьютерами, могли начать собственное исследование его вселенной. Но часть заслуги принадлежала ему самому, ведь он немало потрудился для того, чтобы имя его зазвучало громко. Мандельброт был включен в список, составленный историком науки из Гарварда Бернардом Коэном[170]. В поисках ученых, объявивших свои собственные исследования революционными, тот годами вел летописи открытий и в итоге выбрал шестнадцать имен. Среди них были современник Бенджамина Франклина шотландец Роберт Саммер, чьи идеи об электричестве звучали довольно радикально, но оказались неверны, Жан-Поль Марат, известный ныне лишь тем, что сыграл зловещую роль в истории Великой французской революции, Юстус Либих, Уильям Гамильтон, Чарльз Дарвин, Рудольф Вирхов, Георг Кантор, Альберт Эйнштейн, Герман Минковский, Макс фон Лауэ, Альфред Вегенер (автор теории дрейфа материков), Артур Комптон, Джаст, Джеймс Уотсон (первооткрыватель структуры ДНК) и Бенуа Мандельброт.

Тем не менее для чистых математиков Мандельброт оставался изгоем, оспаривавшим академическую политику с неизменной резкостью. О нем, находившемся в самом зените славы, весьма нелестно отзывались коллеги, которым казалось, что Мандельброт одержим мыслью о значении собственной персоны и ее месте в истории. По их мнению, он не отдавал должное остальным ученым, что казалось оскорбительным. Несомненно, обладая в своем возрасте уже достаточным опытом в профессиональной «ереси», он оттачивал безупречность своей тактики точно так же, как и содержание научных статей. Иногда после выхода работ, которые включали идеи фрактальной геометрии, он звонил или писал их авторам, жалуясь на отсутствие ссылок на него или его труды.

Почитатели Мандельброта снисходительно относились к его самомнению, принимая во внимание сложности, с которыми он столкнулся, добиваясь признания своих исследований. «Конечно, он страдает до некоторой степени манией величия. Он невероятно самолюбив, но человеку, создающему настолько прекрасные вещи, такое прощается», – сказал один из поклонников Мандельброта[171]. По мнению другого, «между ним и его коллегами-математиками выросла стена непонимания, и ему приходилось выпячивать свое эго лишь для того, чтобы выжить. Если бы он не был столь убежден, что его взгляд на мир верен, он никогда не достиг бы успеха»[172].

Привычка отдавать должное и требовать этого в науке может стать наваждением. Мандельброт успевал делать и то и другое. В его книгах «я» так и лезет в глаза: «Я утверждаю…», «Я постиг и развил…», «Я выполнил…», «Я подтвердил…», «Я демонстрирую…», «Я создал…». «В моих путешествиях по неизведанным или заново освоенным землям я упорно двигался вперед, стараясь первым дать имена наиболее примечательным объектам».

Многие ученые не оценили подобного стиля. Их не смягчило даже то обстоятельство, что Мандельброт щедро рассыпал по тексту ссылки на предшественников, иногда, впрочем, весьма сомнительные. (Все его предтечи, язвили недруги, благополучно скончались.) Недоброжелатели считали, что это всего лишь способ поставить собственную персону во главу угла, чтобы на манер папы римского раздавать благословения направо и налево. Они контратаковали. Ученым стало все сложнее обходиться без термина «фрактал», однако, стремясь не поминать Мандельброта, они называли фрактальную размерность «размерностью Хаусдорфа – Безиковича»[173][174]. И все, особенно математики, негодовали, наблюдая вторжения Мандельброта в различные области науки и его поспешные ретирады. Ведь он оставлял после себя лишь беспочвенные утверждения и догадки, взваливая бремя доказательства на плечи других.

Повод негодовать был. Если один ученый высказывает предположение, а другой доказывает его справедливость, кто сделал больше для развития науки? Стоит ли считать выдвижение гипотезы открытием? Или это лишь заявка? Математики и прежде задавались подобными вопросами, однако споры приобрели особый накал, когда появились компьютеры с их большими возможностями. Ученые, использующие вычислительные машины для постановки опытов, из теоретиков превратились в экспериментаторов, играющих по новым правилам. Они стали делать открытия, не утруждая себя доказательством теорем – основой всякой математической статьи.

Спектр вопросов, затрагиваемых в книге Мандельброта, отличался поразительной широтой и большим количеством исторических подробностей. Куда бы ни заводил его хаос, Мандельброт везде находил основание называть себя первооткрывателем. Неважно, что большинство читателей находили его ссылки весьма туманными, а порою даже бесполезными; им приходилось признать, что его неординарная интуиция дает толчок развитию тех областей, которые он никогда серьезно не изучал, – начиная от сейсмологии и заканчивая физиологией. Иногда подобное казалось трюкачеством, раздражало, и даже почитатели ученого порой ворчали: «Не может такого быть, чтобы Мандельброт придумал все, что придумали все остальные, причем раньше их!»[175]

Вряд ли это имеет значение, ведь физиономия гения совсем не должна нести на себе отсвет святости, как лицо Эйнштейна. Как-никак Мандельброт десятилетиями должен был поступаться собственными идеями. Ему приходилось излагать свои мысли таким образом, чтобы они никого не задевали. Он вымарывал фантастически звучащие предисловия, лишь бы статью напечатали. После выхода в 1975 году первого издания его книги на французском ученый чувствовал, что его просто заставляют вести себя так, будто в ней не раскрывалось ничего пугающего и нового. Как раз поэтому он открыто назвал второе издание «манифестом и сборником примеров». Он приспосабливался к политике академической среды.

«Политика повлияла на самый стиль моего творчества, причем таким образом, о котором я в дальнейшем очень сожалел. Я использовал выражения вроде: „Естественно…“, „Весьма интересным наблюдением является то, что…“ На самом деле было все что угодно, кроме естественного. Все эти „интересные наблюдения“ представляли собой результат долгих и сложных исследований, поиска доказательств и самокритики. Я взял философский и несколько отстраненный тон, поскольку хотел быть принятым. Рискни я заикнуться, что предлагаю радикальный подход, читатели тут же потеряли бы всякий интерес. Позже некоторые из этих утверждений ко мне вернулись – уже другие люди говорят: „Естественно заметить, что…“ И это совсем не то, чего я ожидал»[176].

Обращаясь к прошлому, Мандельброт с грустью вспоминал, что реакция представителей разных областей на его исследования была весьма предсказуемой. Первый вопрос всегда звучал так: «Кто вы и почему интересуетесь нашей дисциплиной?» Далее следовало: «Какое отношение рассказанное вами имеет к тому, что делаем мы? Почему вы не объясняете свои теории на основе уже известных нам фактов?» И наконец: «Вы уверены, что используете стандартную математику?» (Да, более чем уверен!) «А почему же тогда мы ничего о ней не знаем?» (По причине того, что она, будучи стандартной, весьма малопонятна.)

В этом отношении математика отличается от физики и иных прикладных наук. Раздел физики, однажды устарев и став малопродуктивным, обычно навсегда уходит в прошлое. Далее он может восприниматься как любопытный с точки зрения исторического развития и, возможно, послужить источником вдохновения для физика наших дней, однако исчерпавшая себя тема, как правило, «умирает» в силу весьма веских причин. Математика же, напротив, полна тропинок и окольных путей, которые в одни времена, казалось бы, ведут в никуда, но в другие становятся магистралью новой науки. Потенциал применения абстрактной идеи на практике предсказать невозможно. Поэтому математики оценивают чистую истину с эстетической точки зрения, пытаясь, по примеру художников, найти в ней некую красоту и изящество. Так и Мандельброт, с его любовью к древностям, извлек из небытия довольно многообещающую область математики, которую грозила погрести под собой пыль веков.

В самую последнюю очередь собеседники Мандельброта осведомлялись: «Какого мнения математики о вашей работе?» (Им все равно, поскольку она не обогащает математику. По правде говоря, они удивлены тем, что их идеи находят свое отражение в природе.)

В конце концов термином «фрактал» стали обозначать способ описания и анализа (в том числе количественного) множества иррегулярных и фрагментарных, зазубренных и разъединенных объектов – начиная от кристаллообразных кривых-снежинок и заканчивая прерывистой «пылью» галактик. Фрактальная кривая отражает организующую структуру, скрытую в невероятной сложности таких форм. Студенты в состоянии понять фракталы и даже «поиграть» с ними – ведь фракталы столь же первичны, сколь и элементарные формы Евклида. Простейшими программами для создания фрактальных изображений заинтересовались фанаты персональных компьютеров.

С наибольшим энтузиазмом идеи Мандельброта восприняли люди, которые занимались прикладной наукой – изучали нефть, горные породы или металлы, а особенно специалисты исследовательских центров корпораций. Например, к середине 1980-х годов довольно много людей в огромном научном подразделении корпорации Exxonтрудились над проблемами фракталов[177]. В компании GeneralElectric фракталы были приняты на вооружение в качестве основного инструмента для изучения полимеров, а также для сугубо секретных изысканий в сфере безопасности ядерных реакторов. В Голливуде им нашли, пожалуй, самое эксцентричное применение: с помощью фракталов создавали невероятно реалистичные пейзажи, земные и инопланетные. Фракталы также помогали в работе над спецэффектами в кинофильмах.

Модели, открытые в начале 1970-х годов Робертом Мэем, Джеймсом Йорком и другими учеными, объекты, в которых весьма сложно отделить упорядоченное от хаотичного, содержали в себе неожиданную регулярность. Эта регулярность могла быть описана лишь на языке соотносимости больших и малых масштабов. Структуры, отворившие дверь в нелинейную динамику, оказались фрактальными. Новая геометрия вложила оригинальный инструментарий в руки практиков: физиков, химиков, сейсмологов, металлургов, физиологов и специалистов по теории вероятности. Все они свято уверовали, что геометрия Мандельброта воплощает в себе измерения самой природы, и пытались убедить в этом других.

Принявшие на вооружение новую науку сильно повлияли и на общепринятую математику, равно как и на традиционную физику. Однако сам Мандельброт так и не снискал искреннего уважения представителей этих дисциплин, которым, впрочем, все равно пришлось признать его успех. Один математик рассказывал друзьям, как проснулся ночью в холодном поту, дрожа всем телом[178]. Ему привиделся жуткий кошмар. Словно бы он умер и услышал голос с небес – вне всякого сомнения, глас Бога: «Знаешь, в этом Мандельброте действительно что-то есть!»

Мысль о самоподобии, о том, что великое может быть вложено в малое, издавна греет человеческую душу – особенно души западных философов. По представлениям Лейбница, капля воды содержит в себе весь блистающий разноцветьем мир, включая и другие капли и живущие в них другие вселенные. «Увидеть мир в песчинке» – призывал Блейк, и некоторые ученые пытались следовать его завету. Первые исследователи семенной жидкости склонны были видеть в каждом сперматозоиде своего рода гомункулуса, то есть крошечного, но уже полностью сформировавшегося человечка.

Однако в качестве научного принципа самоподобие выглядело весьма бледно по довольно простой причине: оно расходилось с реальными фактами. Сперматозоиды вовсе не являются уменьшенной копией человека, будучи гораздо более интересными элементами, а процесс онтогенеза несравненно сложнее тривиального увеличения. Первоначальное представление о самоподобии как организующем принципе происходило из ограниченных знаний человека о масштабах. Как представить чересчур огромное и слишком крошечное, стремительное и замедленное, если не распространить на него уже известное?

Подобные представления бытовали до тех пор, пока человек не вооружился телескопами и микроскопами. Сделав первые открытия, ученые поняли, что каждое изменение масштаба обнаруживает новые феномены и новые типы поведения. Современные специалисты в области физики элементарных частиц не видели этому конца: каждый новый, более мощный ускоритель расширял поле зрения исследователей, делая доступными все более мелкие частицы и более краткие временные промежутки, и каждое такое расширение давало новую информацию.

На первый взгляд, идея постоянства при изменяющихся масштабах малопродуктивна, отчасти потому, что один из основных научных методов – редукционизм – предписывает разбирать предмет исследования на составляющие и изучать мельчайшие частицы. Специалисты, разъединяя объекты, рассматривают их элементы порознь. Намереваясь изучить взаимодействие субатомных частиц, они исследуют две или три, что уже довольно сложно. Однако самоподобие проявляется на гораздо более высоких уровнях сложного, когда речь заходит о том, чтобы посмотреть на целое.

Хотя именно Мандельброт весьма умело воспользовался идеей масштаба в своей геометрии, само возвращение этой идеи в науку в 1960-1970-х годах стало интеллектуальным течением, проявившимся одновременно во многих областях. Намек на самоподобие содержался в работе Лоренца: ученый интуитивно улавливал его в изяществе графиков, отображавших поведение системы уравнений. Он ощущал присутствие некой структуры, но в 1963 году увидеть ее не мог из-за несовершенства компьютеров. «Масштабирование» стало движением в физической науке, которое вело – пожалуй, даже более целенаправленно, нежели исследования Мандельброта, – к дисциплине, известной под названием «хаос». Даже в весьма отдаленных сферах ученые начинали думать на языке теорий, использовавших иерархии масштабов. Так, например, произошло в эволюционной биологии, развитие которой подводило к убеждению, что целостная теория должна описывать закономерности развития сразу и в генах, и в единичных организмах, и в видах, и в родах.

Можно, пожалуй, назвать парадоксом то, что феномены масштаба оценили по достоинству благодаря появлению в арсенале исследователей технических средств, ранее дискредитировавших идеи о самоподобии. Непостижимым образом к исходу XX века необычайно маленькие и невообразимо большие явления стали вполне обыденными, появились снимки огромных галактик и мельчайших атомов, отпала нужда по примеру Лейбница лишь мысленно представлять уголки Вселенной, которые можно увидеть в микроскоп или телескоп. Приборы сделали подобные изображения частью повседневной жизни. Учитывая, что разум всегда стремится искать аналогии, новые сравнения малого с большим были неизбежны – и некоторые из них оказывались продуктивными.

Нередко ученые, чье внимание привлекла фрактальная геометрия, ощущали некое эмоциональное сходство между новой математической эстетикой и веяниями в искусстве второй половины XX века, свободно черпая из культуры львиную долю энтузиазма, весьма полезного в исследованиях. Для Мандельброта миниатюрным воплощением евклидовой точности вне пределов математики стала архитектура баухаус. Столь же успешно ее мог бы олицетворять стиль живописи, лучшим образцом которого являются цветные квадраты Джозефа Альберса: скромные, аккуратно-линейные, редукционист – ско-геометрические. Слово «геометрические» здесь подразумевает то же, что обозначало многие тысячи лет. Здания, называемые геометрическими, имеют простые формы: сочетание прямых линий и окружностей, которые можно описать лишь несколькими числами. Мода на геометрическую архитектуру и живопись приходила и уходила, архитекторы уже не стремились возводить незатейливые небоскребы вроде Сигрем-билдинг в Нью-Йорке, а ведь не так давно это весьма популярное строение широко копировалось. Такую перемену вкусов Мандельброт и его последователи объясняли весьма тривиально: простые формы чужды человеку, не созвучны способу организации природы и образу восприятия мира людьми. Герт Эйленбергер, немецкий физик, занявшийся изучением нелинейности после исследований сверхпроводимости, как-то заметил: «Почему силуэт согнувшегося под напором штормового ветра обнаженного дерева на фоне мрачного зимнего неба воспринимается как прекрасный, а очертания современного многофункционального здания, несмотря на все усилия архитектора, вовсе не кажутся такими? Сдается мне, что ответ, пусть отчасти и умозрительный, диктуется новым взглядом на динамические системы. Наше чувство прекрасного „подпитывается“ гармоничным сочетанием упорядоченности и беспорядка, которое можно наблюдать в естественных явлениях: облаках, деревьях, горных цепях или кристаллах снежинок. Все такие контуры суть динамические процессы, застывшие в физических формах, и для них типично сочетание порядка и беспорядка»[179]. Геометрической форме присущ масштаб, характерный для нее размер. По Мандельброту, истинное искусство не имеет определенного масштаба в том смысле, что оно содержит важные элементы разных размеров. Нью-йоркскому Сигрем-билдинг он противопоставлял архитектуру бозар, с ее скульптурами и гаргульями, картушами и карнизами с линией зубчиков. Лучший образчик этого стиля, здание парижской Гранд-опера, имеет не один определенный масштаб, а полный набор масштабов. С какого расстояния ни рассматривай это строение, всегда найдешь детали, привлекающие взгляд; по мере приближения композиция меняется и обнаруживаются новые элементы декора.

Но восхищаться гармоничной архитектурой – одно, а поражаться буйной дикости природы – совсем другое. Говоря на языке эстетики, фрактальная геометрия привнесла в науку по-современному острое и тонкое восприятие неприрученной, дикой природы. Некогда влажные тропические леса, пустыни, поросшие кустарником бесплодные пустоши воплощали собой целину, которую должно покорить общество. Желая насладиться цветением и ростом, люди любовались садами. Как писал Джон Фаулз, имея в виду Англию XVIII века, «эпоха неуправляемой и первобытной природы кажется весьма тяжелым временем и навевает мысли об агрессивной необузданности, отталкивающей и неумолимо напоминающей о грехопадении, изгнании человека из Эдема… И даже естественные науки остались, в сущности, враждебными дикой природе, рассматривая ее как нечто такое, что должно приручить, классифицировать, использовать и эксплуатировать»[180]. Но к концу XX века культура стала иной, а вместе с ней изменилась и наука.

Итак, наука все же нашла применение малопонятным и причудливым формам вроде множества Кантора и кривой Коха. Первоначально они проходили в качестве доказательств в бракоразводном процессе на рубеже XIX–XX веков между математикой и физикой, чей альянс доминировал в науке со времен Ньютона. Математики, подобные Кантору и Коху, восхищались собственной самобытностью, они вообразили, что могут перехитрить природу, но на самом деле им не удалось даже близко сравняться с ней. Всеми почитаемое магистральное направление физики также отклонилось в сторону от повседневного опыта. Лишь позже, когда Стив Смейл вернул математику к изучению динамических систем, физик мог уверенно заявить: «Мы должны принести благодарность астрономам и математикам за то, что они передали нам, физикам, поле деятельности в гораздо лучшем состоянии, чем то, в котором мы оставили его семьдесят лет назад»[181].

Невзирая на достижения Смейла и Мандельброта, именно физики в конце концов создали новую науку о хаосе. Мандельброт подарил ей особый язык и множество удивительных изображений природы. Как он сам признавался, его теории описывали лучше, чем объясняли. Он мог составить перечень фрагментов окружающего мира – береговых линий, паутины рек, древесной коры, галактик – и их фрактальных размерностей. Ученые использовали его идеи для составления прогнозов, однако физики стремились к большему – они хотели постичь первопричину[182]. В природе существовали некие формы – невидимые, но внедренные в самую суть движения, и они все еще ждали своего часа.

Глава 5

Странные аттракторы

В больших круговоротах – малые,

Рождающие скорость,

А в малых – меньшие и меньшие,

Рождающие вязкость.

Льюис Ричардсон

Вопросы Господу Богу. Фазовый переход в условиях лаборатории. Вращающиеся цилиндры и критическая точка. Представление о турбулентности Давида Рюэля. Петли в фазовом пространстве. Слоеные пирожные и сосиски. Астрономические системы. “Фейерверки или галактики”.

Проблема турбулентности имеет богатую историю. Все великие физики так или иначе размышляли над ней[183]. Плавный поток разбивается на валы и вихревые токи; беспорядочные изгибы разрушают границы между жидкостью и твердой поверхностью; энергия крупномасштабного движения быстро перетекает в мелкие завихрения. Почему? Пожалуй, самые разумные идеи предлагали математики; большинство же физиков попросту опасались тратить время на изучение турбулентности, которая казалась почти непостижимой. Доказательством тому может служить история о Вернере Гейзенберге, известном ученом, занимавшемся квантовой физикой[184]. На смертном одре он признался, что хотел бы задать Господу Богу два вопроса: об основах относительности и о причине турбулентности. «Но думаю, что Господь может ответить мне только на первый из них», – заметил Гейзенберг.

Теоретическая физика и явление турбулентности закончили игру вничью: наука словно подошла к заколдованной линии и замерла возле нее. Вблизи этой магической границы, где жидкости ведут себя упорядоченным образом, есть над чем поработать. К счастью, плавно текущая жидкость ведет себя совсем не так, как если бы каждая из бессчетного множества молекул двигалась самостоятельно: капельки жидкого вещества, исходно находившиеся рядом, обычно остаются поблизости друг от друга, словно лошади в упряжке. Инженеры-гидротехники располагают вполне надежными уравнениями, описывающими поведение такого ламинарного потока: они используют знания, накопленные еще в XIX веке, когда движение жидкостей и газов являлось одной из первостепенных проблем физической науки.

К нашему времени эта проблема уже ушла в тень, и даже самые глубокие умы верили, что в динамике жидкостей не осталось тайн, кроме одной, неведомой и небесам. С практической стороны все выглядело таким понятным, что с легким сердцем могло быть отдано на откуп специалистам-техникам. По мнению физиков, динамика жидкости из научной проблемы превратилась в инженерную. Молодые светила физики находили себе занятия получше, и исследователи жидкостной динамики попадались уже только на инженерных факультетах университетов. У практиков интерес к турбулентности всегда был на первом плане, но при этом оставался несколько односторонним и сводился к вопросу, как устранить это явление. Иногда турбулентность даже желательна (как, например, в реактивном двигателе, где эффективное возгорание зависит от быстрого образования смеси), но в большинстве случаев она равносильна бедствию. Турбулентный воздушный поток, воздействуя на крыло самолета, затрудняет взлет. Турбулентный поток внутри нефтепровода задерживает движение жидкости. Правительства и корпорации вкладывают огромные средства в конструирование самолетов, турбинных двигателей, гребных винтов, подводных лодок и других подобных устройств, которые двигаются в жидкой или газообразной среде. Исследователей интересует кровоток в сосудах и сквозь сердечные клапаны, их заботят вихревые токи и водовороты, пламя и ударные волны при взрывах различного типа. Считается, что проектом атомной бомбы во время Второй мировой войны занимались физики-ядерщики, но в действительности все относящиеся к ядерной физике вопросы были решены еще до начала работ, а ученые в Лос-Аламосе занимались газо– и гидродинамическими аспектами.

Что же представляет собой турбулентность? Полную неупорядоченность во всех масштабах, крошечные вихри внутри огромных водоворотов. Турбулентность неустойчива и в высшей степени диссипативна, то есть обладает способностью замедлять движение, истощая энергию. Она суть беспорядочное движение. Но все же каким образом течение жидкости превращается из плавного в турбулентное? Представьте безупречно гладкую полую трубку, в высшей степени стабильный источник водоснабжения, причем вся конструкция надежно защищена от вибраций. А теперь задайте вопрос: как же в потоке, текущем внутри трубы, может появиться что-то беспорядочное?

Кажется, все правила здесь терпят фиаско. Когда поток плавный, или ламинарный, небольшие помехи исчезают, однако сразу же вслед за появлением турбулентности их количество резко возрастает, загадывая науке новую загадку. Русло ручья у подножия скалы превращается в водоворот, который все увеличивается, расщепляется и кружится по мере движения воды вниз по течению, а струйка сигаретного дыма, что тихо вьется над пепельницей, вдруг ускоряется и, достигнув критической скорости, распадается на бурные вихри. Порог турбулентности можно наблюдать своими глазами и измерять в ходе лабораторных экспериментов; его можно протестировать для каждого крыла самолета или гребного винта при испытании в аэродинамической трубе. Тем не менее уловить его природу сложно. Как правило, полученным данным не хватает универсальности: изучение методом проб и ошибок крыла «Боинга-707» ничего не дает для проектирования крыла истребителя F-16. Даже суперкомпьютеры оказываются почти беспомощными перед лицом хаотичного движения вещества.

Представим, что нечто сотрясает жидкость, вызывая волны внутри нее. Жидкость обладает вязкостью, и по этой причине сообщенная ей при встряхивании энергия из нее уходит. Если перестать встряхивать жидкость, она естественным образом придет в состояние покоя. Когда вы встряхиваете жидкость, вы сообщаете ей энергию на низкой частоте, или, иными словами, вызываете большие колебания, но первое, что вы заметите после, – что большие колебания как будто разбиваются на мелкие. Образуются вихревые токи, а внутри них – вихревые токи поменьше, каждый из которых рассеивает энергию потока и делает это в характерном ритме. Еще в 1930-х годах Андрей Колмогоров предложил некоторое математическое описание, которое помогло представить динамику этих вихревых токов. Ученый рассматривал их во все меньшем и меньшем масштабе – до тех пор, пока не достиг предела, при котором вихри становились столь крошечными, что вязкость вещества на них уже не влияла.

Для простоты описания Колмогоров представил, что вся жидкость состоит из небольших вихревых потоков и в этом смысле везде одинакова. Но подобное предположение об однородности неверно, о чем догадался еще Пуанкаре сорок лет назад, понаблюдав в бурной реке за тем, как водяные завихрения перемежаются с участками спокойного течения[185]. Таким образом, нестабильность течения локальна и энергия фактически рассеивается лишь в части пространства. Если внимательно разглядывать турбулентный поток любого масштаба, можно заметить, что обнаруживаются все новые и новые области спокойного течения. Таким образом, гипотеза об однородности уступает место предположению о перемежаемости. Такое отчасти идеализированное описание выглядит в высшей степени фрактальным, с чередующимися бурными и плавными зонами, которые заметны при любом масштабе, начиная от крупного и заканчивая мелким. Но и эта картина в определенной мере представляет собой не полное отражение действительности.

Весьма близким к сформулированному выше, но в то же время самостоятельным является вопрос о том, как начинается турбулентность. Каким образом поток жидкости пересекает границу между плавным и бурным? Какие промежуточные стадии пройдет турбулентность, прежде чем даст о себе знать в полной мере? Для ответа на эти вопросы существовала теория, выглядевшая несколько более убедительно. Эта общепринятая парадигма обязана своим появлением Льву Ландау, великому русскому ученому, чьи разработки в области гидродинамики задали стандарт в физической науке[186]. Модель Ландау описывает нагромождение соревнующихся ритмов. Он предположил, что, когда в систему поступает больше энергии, одна за одной возникают новые частоты, каждая из которых несовместима с предыдущей, словно скрипичная струна отзывается на усиление движения смычка звучанием второго, диссонирующего, тона, а затем – третьего, четвертого и так далее, до тех пор пока звуки не сольются в непостижимую какофонию.

Любое жидкое или газообразное вещество представляет собой совокупность единичных частиц-молекул, число которых столь велико, что может показаться бесконечным. Если бы каждая частица двигалась сама по себе, появилось бы бесконечно много вариантов движения жидкости (говоря научным языком, бесконечно много «степеней свободы») и уравнения, описывающие движение, включали бы бесконечное количество переменных. Однако ничего подобного не происходит: движение каждой молекулы в значительной степени зависит от движения ее соседок и степеней свободы (по крайней мере, при спокойном течении) может быть лишь несколько. Потенциально сложные движения остаются связанными, расположенные рядом частицы не расходятся вовсе или расходятся плавно и линейно, образуя аккуратные линии на фотографиях, сделанных в аэродинамической трубе. Частицы в струйке сигаретного дыма также некоторое время поднимаются вверх как единое целое.

Затем появляется возмущение, многообразие таинственных бурных порывов. Иногда такие движения даже получали имена: «осциллятор», «перекрестные ролики», «узел», «зигзаг», «вздутые вены» (какие бывают при варикозном расширении)[187]. По мнению Ландау, возникающие нестабильные движения попросту скапливались, накладываясь одно на другое и создавая таким образом витки с частично совпадающими скоростями и размерами. Умозрительно такая общепринятая модель турбулентности, казалось, подходила под реальные факты, а на ее бесполезность с точки зрения математики смотрели сквозь пальцы. Модель Ландау позволяла сохранить достоинство, хотя то было полное фиаско.

Представим, что вода со слабым свистом медленно струится по трубке или течет внутри цилиндра. Мысленно увеличим давление, вызывая тем самым появление ритмичных колебаний вперед и назад. Жидкость медленно бьет в стенки трубки. Вновь повернем воображаемую рукоятку, увеличив давление. Неизвестно откуда появится вторая частота, не синхронизированная с первой. Дисгармонирующие ритмы, будто соревнуясь, накладываются друг на друга, и вот уже появилось довольно запутанное движение: волны ударяют о стенки трубки, перемешиваясь одна с другой так, что уловить их ритм невозможно. С ростом давления возникает третья, затем четвертая, пятая, шестая частоты, и все они не соответствуют друг другу, так что поток становится необычайно сложным. Возможно, это и есть турбулентность. Физики приняли такое объяснение, но ни один из них не мог предсказать, когда именно увеличение энергии повлечет возникновение новой частоты или какой та будет. Никто не разглядел этих таинственно появляющихся частот при проведении опыта, потому что теория Ландау о пороге турбулентности фактически не была еще испытана.

Теоретик проделывает эксперименты мысленно, а экспериментатору приходится еще и действовать руками. Теоретик – мыслитель, экспериментатор – ремесленник; первому не нужен помощник, второй вынужден «вербовать» аспирантов, уговаривать механиков, обхаживать ассистентов лаборатории. Теоретик работает там, где нет шума и грязи; экспериментатор связан с объектом опыта так же тесно, как и скульптор в мастерской, который часами прикован к бесформенной глине и старается то ласковым, то резким движением придать ей нужную форму. Теоретик может мысленно представлять своих коллег подобно наивному Ромео, грезящему о прекрасной Джульетте, а соратники экспериментатора, часами просиживающие в лаборатории, жалуются, курят, потеют.

Эти двое нужны друг другу, однако в их отношения вкрадывается доля неравенства еще с тех древних времен, когда всякий ученый и размышлял, и ставил опыты одновременно. Хотя в некоторых, самых лучших экспериментаторах осталось что-то от теоретика, обратное неверно. В конечном счете престиж теоретиков оказывается выше. Особенно ярко это проявляется в физике высоких энергий: теоретики буквально купаются в лучах славы, в то время как экспериментаторы становятся техниками высокой квалификации, имеющими дело с дорогостоящим и сложным оборудованием. В послевоенные десятилетия, когда физика определялась исследованием элементарных частиц, лучшими из обнародованных экспериментов стали те, что проводились на ускорителях частиц. Симметрия, спин, цвет и аромат кварков – эти абстракции зачаровывали. Для тех, кто не принадлежал к академической среде, но следил за наукой, и для изрядного количества ученых изучение элементарных частиц и было физикой. Однако переход к изучению все более и более мелких частиц в кратчайших временных промежутках требовал все более высокой энергии, а значит, модернизации оборудования. Экспериментальная ветвь физики элементарных частиц с годами прогрессировала, в ней трудилось множество ученых, над постановкой крупных опытов работали целые команды. Статьи по физике частиц в журнале PhysicalReviewLettersвсегда выделялись тем, что перечень авторов занимал едва ли не четверть публикации.

Некоторые экспериментаторы, впрочем, предпочитали работать в одиночестве, на худой конец вдвоем. В своих опытах они задействовали те вещества, которые были доступны. В то время как определенные разделы физической науки, вроде гидродинамики, утрачивали актуальность, физика твердого тела, наоборот, выходила на первый план. Подведомственная ей сфера исследований расширилась настолько, что название дисциплины следовало бы поменять на более точное – «физика конденсированного состояния», то есть физика материалов. В этой области оборудование было куда проще, а разрыв между теоретиками и экспериментаторами – намного меньше. Первые не проявляли чрезмерного снобизма, а вторые не пытались от них обороняться.

При всем том они на многое смотрели по-разному. В частности, теоретик запросто мог, прервав доклад экспериментатора, осведомиться: нельзя ли добавить побольше данных, чтобы сделать их более убедительными? Не кажется ли вам, что этот график несколько неясен? Не должна ли эта величина меняться в более широких пределах?

В ответ Гарри Суинни, выпрямившись во весь свой рост (около пяти с половиной футов), мог произнести с природным очарованием уроженца Луизианы, в котором чувствовалась, однако, нью-йоркская вспыльчивость: «Это верно. При условии, что мы имеем бесконечно много „чистых“ экспериментальных данных. – И, резко повернувшись к доске, добавить: – Но в действительности в нашем распоряжении лишь ограниченное количество информации, да и то с погрешностями»[188].

Суинни ставил опыты с веществами. Еще будучи аспирантом Университета Джонса Хопкинса, он почувствовал осязаемое очарование физики частиц, и это стало поворотным пунктом в его судьбе. Поговорив как-то с Марри Гелл-Манном, от которого буквально веяло энтузиазмом, Суинни не устоял. Однако, когда он поинтересовался, чем заняты аспиранты, выя снилось, что все они писали компьютерные программы или паяли искровые камеры. Именно тогда Суинни начал общаться с опытным физиком, который приступил к исследованию фазовых переходов от твердого тела к жидкости, от немагнитного вещества к магниту, от проводника к сверхпроводнику. Довольно долгое время Суинни ютился в небольшой комнате размером с чулан, зато он обитал там один. Он стал заказывать приборы по каталогу, и вскоре в его скромном жилище появились лабораторный стол, лазер, зонды и кое-какое холодильное оборудование. Суинни сконструировал прибор для измерения теплопроводности углекислого газа вблизи точки конденсации. Многие физики полагали, что изменения теплопроводности незначительны, однако Суинни понял, что это заблуждение: теплопроводность могла изменяться в тысячу раз. Все это будоражило: один, в крошечной комнате, он открыл нечто доселе неизвестное. Он увидел потустороннее свечение паров вещества, любой субстанции, вблизи критической точки – свечение, названное «опалесценцией» из-за беловатой опаловой окраски рассеивающихся лучей.

Как и многие хаотичные по своей природе явления, фазовые переходы характеризуются особым типом макроскопического поведения, предугадать которое, глядя на мельчайшие фрагменты, весьма сложно. При нагревании твердого тела его молекулы начинают вибрировать под действием поступающей энергии. Они устремляются к поверхности, противодействуя связывающим их силам, и тем самым вызывают расширение объема вещества. Чем сильнее нагрев, тем больше расширяется вещество, и как лопается веревка после долгого растягивания, так и изменения становятся непредсказуемыми и прерывистыми при определенных давлении и температуре. Кристаллическая структура постепенно исчезает, и молекулы удаляются друг от друга, повинуясь установленным для жидкости законам, которые нельзя вывести из закономерностей, определенных для твердого тела. Средняя энергия атома лишь слегка поменялась, однако вещество теперь стало жидкостью, магнитом или сверхпроводником, то есть приобрело новое качество.

Гюнтер Алерс в лабораториях корпорации AT amp;TBellв Нью-Джерси исследовал так называемый переход в сверхтекучее состояние в жидком гелии, когда по мере падения температуры твердое вещество превращается в жидкость с волшебными свойствами, не обнаруживающую явно выраженной вязкости или трения. Другие же занимались сверхпроводимостью. Суинни исследовал точку фазового перехода между жидкостью и паром. Он, Алерс, Пьер Берг, Джерри Голлаб, Марцио Джиглио и другие экспериментаторы в США, Франции и Италии – новое поколение физиков, занимавшихся фазовыми переходами, – в середине 1970-х годов искали новые задачи для исследований. Подобно тому как почтальон знает во всех подробностях все аллеи и дома своего участка, так и они знали наизусть все особые признаки вещества, меняющего свое состояние. Они изучали предел равновесного состояния вещества.

Все исследователи фазовых переходов, почувствовав под собой коварную трясину сомнений, ступали на спасительные камни аналогии. Фазовый переход от немагнитного состояния к магнитному оказался подобен переходу «жидкость – пар». Переход от обычной жидкости к сверхтекучей демонстрировал подобие перехода от проводника к сверхпроводнику. Математические вычисления, описывающие один опыт, применялись к множеству других, и в течение 1970-х годов проблема была почти решена. Вопрос заключался лишь в том, как далеко можно распространить вновь созданную теорию. Какие иные изменения в окружающем нас мире при их ближайшем рассмотрении окажутся фазовыми переходами?

Использование технических приемов, практикуемых при изучении фазовых переходов, для исследования потоков жидкости нельзя назвать ни сверхоригинальной идеей, ни самоочевидным подходом. На особую оригинальность он не мог претендовать, потому что еще в начале XX века величайшие ученые – пионеры гидродинамики Рейнольдc, Рэлей и их последователи – заметили, что в ходе тщательно контролируемого эксперимента с жидкостью движение ее качественно меняется: с математической точки зрения происходит бифуркация. Например, при нагревании снизу сосуда с жидкостью она из состояния покоя приходит в движение. Соблазн был слишком велик, и, поддавшись ему, специалисты предположили, что физическая природа такой бифуркации напоминает происходящее в веществе при фазовых переходах.

Подобные эксперименты были не самым очевидным решением в силу того, что описанные бифуркации в жидкости, в отличие от фазовых переходов, не вызывали изменения в самом веществе, но добавляли вместо этого новый элемент – движение. Жидкость из состояния покоя переходит к движению. По какой причине математическое описание подобных перемен должно соответствовать уравнениям для конденсирующегося пара?

В 1973 году Суинни преподавал в городском колледже Нью-Йорка, а Джерри Голлаб – серьезный, но временами впадавший в ребячество выпускник Гарварда – работал в Хаверфорде, на юго-востоке Пенсильвании[189]. Это учебное заведение, буколический, сельский колледж гуманитарных наук близ Филадельфии, было наиболее подходящим местом, чтобы угробить карьеру физика. Там некому было поручить работу в лаборатории или иные функции, доверяемые ментором своим протеже, – аспирантов там попросту не было. Но все же Голлабу нравилось преподавать физику студентам, и он начал преобразование физического факультета в центр, широко известный высоким качеством своих экспериментов. Тогда же, взяв оплачиваемый семестровый отпуск, он уехал в Нью-Йорк, чтобы поработать вместе с Гарри Суинни.

Помня об аналогии фазовых переходов и неустойчивости, наблюдающейся в жидкости, коллеги решили заняться классической системой – жидкостью, ограниченной пространством между двумя вертикальными цилиндрами. Один из них вращался внутри другого, заставляя жидкость двигаться между двумя поверхностями. Таким образом ограничивалось возможное движение вещества в пространстве, в отличие от волн, которые остаются после движения судна в море. Вращающиеся цилиндры воспроизводили так называемое течение Куэтта – Тейлора. Как правило, для удобства внутренний цилиндр вертится внутри закрепленного остова. Когда вращение начинается и постепенно набирает скорость, появляются первые признаки неустойчивости: жидкость образует изящный рисунок, напоминающий пучки трубок, а затем вокруг цилиндра возникают, одна над другой, размытые, похожие на ленты, зоны. Частицы жидкости движутся не только в направлении вращения цилиндра, но также совершают движения вверх и вниз, вращаясь вокруг этих зон. Подобное их поведение уже было рассмотрено Джефри Тейлором, который увидел это явление и измерил его количественные характеристики в 1923 году.

Чтобы изучить течение Куэтта – Тейлора, ученые сконструировали аппарат, помещавшийся на письменном столе и представлявший собой два цилиндра. Внешний стеклянный цилиндр походил на узкую банку для теннисных шариков высотой в фут и диаметром в два дюйма. Внутрь аккуратно помещался второй стальной цилиндр, оставлявший для воды пространство примерно в одну восьмую дюйма. «Это была весьма волнующая история, – вспоминал Фримен Дайсон, один из невольных очевидцев событий следующих месяцев. – Два джентльмена в тесной комнатке, оборудованной под лабораторию, почти без денег ставят прекрасный опыт, который ознаменовал начало полноценных количественных исследований феномена турбулентности»[190].

Оба исследователя помнили о своей научной задаче, решение которой вскоре будет вознаграждено традиционными аплодисментами и быстро предано забвению. Суинни и Голлаб намеревались подтвердить идею Ландау о возникновении турбулентности, и у них не было ни малейшего повода в ней сомневаться. К тому же было известно, что физики, занимавшиеся гидродинамикой, с доверием относятся к соображениям Ландау. Суинни и Голлаб, будучи физиками, тоже симпатизировали этой теории, потому что она соответствовала общей картине фазовых переходов. Ландау выработал достаточно эффективную схему для их изучения, основываясь на убеждении, что подобные явления должны подчиняться универсальным законам и что они не связаны со спецификой конкретных веществ. Когда Гарри Суинни изучал критическую точку конденсации углекислого газа, он, как и Ландау, был убежден, что его открытия можно будет применить к критической точке конденсации ксенона, и оказался прав. Действительно, почему бы турбулентности не быть устойчивым ансамблем сталкивающихся волн в движущейся жидкости?

Движение жидкости между вращающимися цилиндрами. Движение жидкости между двумя цилиндрами, образующее особый рисунок, дало Гарри Суинни и Джерри Голлабу возможность изучить, как именно возникает турбулентность. По мере того как скорость вращения цилиндра увеличивается, поведение жидкости становится все более сложным. Сначала в ней образуются характерные завитки, похожие на слои лент, а затем они покрываются рябью. Чтобы измерять изменения в скорости течения жидкости в момент появления каждой новой неустойчивости, физики использовали лазер.

Для того чтобы справиться с бурным движением жидкости, Суинни и Голлаб заготовили целый арсенал искусных методов, отточенных за годы изучения фазовых переходов при весьма непростых обстоятельствах. У них имелись такая методика исследований и такие измерительные приборы, о которых рядовой специалист в области гидродинамики не мог и мечтать. Для изучения кружащихся потоков они применяли лазер. Луч, светящий сквозь воду, преломлялся или рассеивался, что поддавалось измерению методом лазерной доплеровской интерферометрии. Полученную информацию хранили и обрабатывали с помощью компьютера, который тогда, в 1975 году, был большой редкостью на столах экспериментаторов.

Ландау отмечал, что по мере возрастания потока возникают новые частоты, одна за одной. «Мы знали об этом, – вспоминал позже Суинни, – и решили, что будем наблюдать за переходами, чтобы заметить, где именно появятся такие частоты. И мы наблюдали – в полной уверенности, что переход определен вполне ясно. Мы проходили фазовый переход в обе стороны, то увеличивая, то уменьшая скорость вращения цилиндра. Задача была очень четко поставлена»[191].

Отчитываясь о результатах проделанной работы, Суинни и Голлаб столкнулись с тем, что между сферой чистой физики и областью гидродинамики существовала некая, весьма живая и подвижная, граница[192]. Она, в частности, определяла, какой отдел Национального научного фонда должен финансировать исследования. К началу 1980-х годов эксперимент с течением Куэтта – Тейлора вновь вошел в область физики, однако в 1973 году его считали принадлежащим исключительно гидродинамике, а специалистам в этой сфере первые результаты, полученные двумя физиками в небольшой лаборатории, показались подозрительно ясными. Им просто не поверили. Ведь те, кто всю жизнь посвятил гидродинамике, совсем не привыкли к столь точным опытам, какие были приняты в физике фазовых переходов. Более того, с позиций гидродинамики уяснить теоретическую подоплеку опытов представлялось весьма сложным. Обратившись в очередной раз в Национальный научный фонд с просьбой о финансировании, Суинни и Голлаб получили отказ. Некоторые из экспертов просто не зачли их результаты, а другие посчитали, что в результатах отсутствует какая-либо новизна.

Но работа ни на минуту не прекращалась. «Налицо был отчетливо определяемый переход, – говорил Суинни, – и мы сочли это необыкновенной удачей. А затем вновь двинулись вперед, искать следующий»[193].

И вдруг последовательность, о которой писал Ландау, разрушилась. Эксперимент не подтвердил теорию[194]. При следующем переходе поток «перепрыгнул» к состоянию беспорядочности, не обнаружив сколько-нибудь заметных циклов: ни новых частот, ни постепенного увеличения беспорядочных фрагментов. «Все, что мы обнаружили, – это то, что он внезапно стал хаотичным». Несколько месяцев спустя на пороге лаборатории появился худощавый, обаятельный бельгиец.

Давид Рюэль любил повторять, что существует два типа физиков: ученые первого типа выросли, разбирая радиоприемники (до появления физики твердого тела можно было, уставившись на провода и светящиеся теплым светом вакуумные лампы, представлять себе потоки электронов), а те, кто принадлежал ко второму типу, любили возиться с химическими реактивами[195]. Сам Рюэль принадлежал как раз ко второму типу и всем игрушкам предпочитал наборы химика – даже не наборы в нынешнем смысле этого слова, а просто химикаты, взрывчатые и ядовитые, которыми его щедро снабжал местный аптекарь в его родной Северной Бельгии. Юный Рюэль смешивал их, взбалтывал, нагревал, кристаллизовал и иногда даже взрывал. Он родился в Генте в 1935 году, его мать работала тренером по гимнастике, отец занимал должность профессора лингвистики в университете. И хотя юноша сделал карьеру в весьма далеком от обыденности мире науки, его всегда привлекала опасная сторона природы, спрятавшей свои загадки в спорах губчатых грибов, селитре, зеленовато-желтой сере и древесном угле.

Математическая физика стала той областью, где Рюэль внес значительный вклад в открытие хаоса. К началу 1970-х годов он начал работать в Институте высших научных исследований – учебном заведении в пригороде Парижа, основанном по образцу Института перспективных исследований в Принстоне. У него уже появилась привычка, сохранившаяся на всю жизнь: время от времени он оставлял семью и работу, чтобы пару недель побродить с рюкзаком за спиной по нетронутым просторам Исландии или сельским районам Мексики. Чаще всего он не встречал никого. Когда же ему попадались люди, дарившие ему свое радушие и гостеприимство, и он разделял с ними скромную трапезу из маисовых лепешек, приготовленных без масла, мяса и овощей, ученый думал, что видит мир таким, каким тот был два тысячелетия назад. Вернувшись в институт, он снова с головой погружался в исследования. Коллеги замечали, как исхудало его лицо, как резко выступает линия бровей, как заострился подбородок. Рюэль слушал лекции Стива Смейла о «подкове» и хаотическом потенциале динамических систем. Он размышлял о турбулентности в жидкостях и классической схеме Ландау, подозревая, что все это каким-то образом соотносится, но в то же время и противоречит друг другу.

Ученый раньше никогда не работал с потоками жидкости, но это абсолютно не смущало его, как не смущало и его менее удачливых предшественников. «Новое открывают, как правило, непрофессионалы, – говорил он. – На самом деле не существует сложной и глубокой теории турбулентности. Все вопросы, которые мы можем задать на этот счет, имеют более общую природу, а потому доступны и людям, ранее этим не занимавшимся»[196]. Не составляло труда понять, почему турбулентность не поддавалась анализу, – поведение потоков жидкости описывали нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных, в большинстве своем не решаемые аналитическим путем. И все же Рюэль разработал весьма абстрактную альтернативу схеме Ландау, изложенную на языке Смейла, где пространство использовалось как податливый материал, который можно сжать, вытянуть и согнуть, образовав формы типа подковы. Работа была написана в Институте высших научных исследований совместно с приглашенным голландским математиком Флорисом Такенсом и опубликована ими в 1971 году[197]. В стиле статьи нельзя было ошибиться. Она являла собой чистую математику (физики, берегитесь!) и содержала определения, теоремы и доказательства, за которыми с неизбежностью следовало: «Допустим…»

«Утверждение (5·2.)· Допустим, что Χμ есть однопараметрическое семейство Сk-гладких векторных полей в гильбертовом пространстве Н, такое, что…»

И все же в заголовке публикации, которая называлась «О природе турбулентности», прослеживалась связь с реальным миром и чувствовалось нарочитое созвучие с названием знаменитой работы Ландау «К вопросу о турбулентности». Рюэль и Такенс явно желали выйти далеко за пределы математики, пытаясь предложить альтернативу традиционным взглядам на возникновение турбулентности. Они предположили, что источником всего сложного в турбулентности является не наложение частот, ведущих к появлению бесконечного множества независимых и перекрывающих друг друга движений жидкости, а всего лишь три отдельных движения. С точки зрения математики некоторые их логические построения казались довольно смутными, неоригинальными или попросту неверными либо же и тем, и другим, и третьим сразу – пятнадцать лет спустя мнения на сей счет еще расходились[198].

Тем не менее глубокая проницательность, комментарии, заметки на полях и вкрапления из физики сделали работу объектом внимания на долгие годы. Наиболее соблазнительным казался образ, который авторы именовали странным аттрактором. Это название было, как говорят психоаналитики, суггестивным, то есть самим своим звучанием рождало подсознательные ассоциации, что Рюэль ощутил позднее[199]. Термин «странный аттрактор» приобрел такую популярность у исследователей хаоса, что Такенс и Рюэль потом в подчеркнуто вежливых выражениях оспаривали авторство друг у друга. Правда заключалась в том, что ни тот ни другой не могли отчетливо припомнить, кто первый использовал термин. Такенс – высокий, румяный и неистовый норманн – временами ронял: «Вам когда-нибудь доводилось спрашивать у Господа, как он создал эту чертову Вселенную?.. Я ничего не помню… Творю, не запоминая подробностей этого процесса»[200]. На что Рюэль, главный из соавторов, мягко замечал: «Такенсу действительно довелось поработать в Институте высших научных исследований. Но разные люди работают по-разному. Некоторым следовало бы писать статьи в одиночку, чтобы затем единолично пожинать плоды успеха»[201].

Странный аттрактор обитает в фазовом пространстве – одном из удивительнейших изобретений современной науки. Фазовое пространство делает возможным превращение чисел в изображения, извлекая малейшую существенную информацию из движущихся систем, механических или жидкостных, и наглядно демонстрируя все их возможности. Физики уже имели дело с двумя простыми типами «аттракторов» – фиксированными точками и замкнутыми кривыми, описывающими поведение таких систем, которые достигли устойчивого состояния или непрерывно себя повторяют.

В фазовом пространстве все известные данные о динамической системе в каждый момент времени концентрируются в одной точке, которая и представляет собой данную систему в конкретное мгновение. В следующее мгновение система уже претерпит изменения, пусть даже совсем незначительные, и точка изменит свое местонахождение. Всю историю существования системы можно изобразить на графике, отслеживая, как точка движется по своей орбите в фазовом пространстве с течением времени.

Но как же все данные о сложнейшей системе могут быть представлены лишь одной точкой? Если система характеризуется двумя переменными, найти ответ не составляет труда, он напрямую вытекает из декартовой геометрии, преподаваемой в средней школе: одна из переменных располагается на горизонтальной оси х, а другая – на вертикальной оси у. Если же система представляет собой качающийся маятник, свободный от действия силы трения, то одна из переменных является его положением в пространстве, а другая – скоростью. Они непрерывно меняются, образуя линию из точек, которая изгибается петлей, вновь и вновь повторяющей саму себя. Та же система, но обладающая более высокой энергией, раскачивающаяся быстрее и сильнее, образует в фазовом пространстве петлю, схожую с первой, но бо́льшую по размерам.

Новый способ изучения маятника. Единственная точка в фазовом пространстве (справа)передает всю информацию о состоянии динамической системы в конкретный момент времени (слева). Для простого маятника достаточно двух чисел, представляющих его скорость и местоположение. В момент начала колебательных движений маятника его скорость равна нулю, а местоположение выражается отрицательным числом, поскольку маятник находится слева от центра (верхний ряд). Два числа определяют положение одной точки в двумерном фазовом пространстве (второй ряд). Скорость достигает максимума, когда маятник минует самую нижнюю точку (третий ряд). Скорость вновь снижается до нуля, а затем меняет знак при движении влево (четвертый ряд).

Впрочем, столкнувшись с одним из проявлений реальности – трением, – система начинает претерпевать изменения. Чтобы описать судьбу маятника, подверженного трению, не нужны уравнения движения: каждая его орбита должна заканчиваться в одном и том же месте – в центре фазового пространства, где и местоположение, и скорость равны нулю. Эта центральная фиксированная точка как бы притягивает колебания. Вместо того чтобы вечно чертить на графике петли, орбита маятника спиралью закручивается внутрь. Трение рассеивает энергию системы, что в фазовом пространстве выглядит как толчок к центру. Наблюдается движение из внешних зон с высокой энергией к внутренним зонам с низкой энергией. Аттрактор – простейший из возможных – подобен магниту величиной с булавочную головку, встроенному в лист резины.

Точки образуют траекторию, которая позволяет наглядно представить непрерывное поведение динамической системы в течение длительного периода времени. Повторяющаяся «петля» соответствует системе, которая всегда воспроизводит одно и то же свое состояние. Если повторяющееся поведение устойчиво, как у часов с маятником, система при незначительных помехах возвращается к прежней орбите движения. В фазовом пространстве траектории вблизи орбиты как бы вовлекаются в нее, а сама орбита является аттрактором. Аттрактор может являть собой одну-единственную точку (справа). В случае с маятником, непрерывно теряющим энергию на трение, все траектории имеют форму спирали, закручивающейся внутрь, по направлению к точке, в которой система устойчива, – в этом состоянии движения не наблюдается вообще.

Одним из преимуществ рассмотрения состояний системы как совокупности точек в пространстве является то, что в таком случае легче наблюдать происходящие изменения. Система, в которой переменные непрерывно увеличиваются и уменьшаются, превращается в движущуюся точку, похожую на муху, летающую по комнате. Если некоторые комбинации переменных никогда не возникают, ученый может просто представить, что эта часть комнаты находится вне зоны досягаемости и насекомое никогда туда не залетит. При периодическом поведении изучаемой системы, когда она снова и снова возвращается к одному и тому же состоянию, траектория полета мухи образует петлю и насекомое минует одну и ту же точку в пространстве множество раз. Своеобразные портреты физических систем в фазовом пространстве демонстрировали образцы движения, которые были недоступны наблюдению иным способом. Так фотография природного ландшафта в инфракрасных лучах открывает те мелочи и детали, которые существуют вне досягаемости нашего восприятия. При взгляде на фазовую картину ученый мог, призвав на помощь воображение, уяснить сущность самой системы: петля здесь соответствует периодичности там, конкретный изгиб воплощает определенное изменение, а пустота говорит о физической невероятности.

Даже при наличии двух измерений изображения в фазовом пространстве могли многим удивить. Кое-какие из них можно было построить в том числе на мониторах настольных компьютеров, превращая уравнения в красочные траектории. Некоторые физики начали создавать серии движущихся картинок и снимать на видеопленку, чтобы продемонстрировать их своим коллегам. Математики из Калифорнии публиковали книги, иллюстрированные множеством красно-сине-зеленых рисунков в стиле анимации, – «комиксы хаоса», как отзывались о них, не без яда, коллеги авторов[202]. Но пара измерений не охватывала всего богатства систем, которые хотели изучать физики, и ученые стремились ввести больше двух переменных, что, естественно, требовало увеличения числа измерений. Каждый фрагмент динамической системы, способный к независимому перемещению, является уже новой переменной, воплощая иную степень свободы, и для каждой такой степени требуется новое измерение в фазовом пространстве. Иначе нет уверенности, что одна-единственная точка содержит достаточно информации для описания состояния системы в каждый конкретный момент времени. Простые уравнения, изучавшиеся Робертом Мэем, задействовали одно измерение. Они позволяли обойтись единственным числом – значением температуры или численности популяции, – которое определяло местоположение точки на прямой, располагавшейся в одном измерении. Урезанная система Лоренца, описывавшая конвекцию в жидкостях, имела три фазовые координаты, но не потому, что жидкость двигалась в трех пространственных измерениях, а потому, что для описания состояния жидкости в каждый момент времени требовалось три вполне определенных числа.

Даже топологу с самой развитой фантазией нелегко представить себе пространства, обладающие четырьмя, пятью и более измерениями. Однако сложные системы имеют множество независимых переменных, поэтому математикам пришлось смириться с тем, что множество степеней свободы требует фазового пространства, где бесконечно много измерений. Так ничем не ограниченная природа дает о себе знать в бурных струях водопада или в непредсказуемости человеческого мозга. Но кто сумеет справиться с этим беспощадным и необоримым чудищем, образ которого Ландау использовал для того, чтобы выразить суть турбулентности, и которому присущи бесконечное число колебаний, бесконечное число степеней свободы, бесконечное количество измерений?

Физики имели вполне вескую причину относиться с неприязнью к модели, поведение которой в природе столь неясно. Используя нелинейные уравнения, описывающие движения жидкости, мощнейшие суперкомпьютеры мира не могли точно отследить турбулентный поток даже одного кубического сантиметра жидкости в течение более чем нескольких секунд. Конечно, виновата в этом больше природа, нежели Ландау, тем не менее предложенная советским ученым схема производила эффект «поглаживания против шерсти». Даже не имея сколько-нибудь солидных знаний, физик вполне мог заподозрить, что тут есть какой-то еще не открытый принцип. Подобное ощущение выразил словами великий теоретик квантовой физики Ричард Фейнман: «Меня всегда беспокоило, что, согласно физическим законам, как мы понимаем их сегодня, требуется бесконечное число логических операций в вычислительной машине, чтобы определить, какие процессы происходят в сколь угодно малой области пространства за сколь угодно малый промежуток времени. Как может все это уложиться в крохотном пространстве? Почему необходима бесконечная работа логики для понимания того, что произойдет на крохотном участке пространства-времени?»[203][204]

Как и многие из тех, кто занимался хаосом, Давид Рюэль подозревал, что видимые в турбулентном потоке объекты – перепутанные струи, спиральные водовороты, волшебные валы, появляющиеся и исчезающие, – должны отражать то, что объяснялось законами физики, но все еще принадлежало к сфере неоткрытого[205]. В его понимании рассеивание энергии в турбулентном потоке должно было вести к своеобразному сжатию фазового пространства, притягиванию к аттрактору. Бесспорно, аттрактор при этом не оставался неподвижной точкой, поскольку поток никогда не приходил в состояние покоя – энергия поступала в систему и уходила из нее. Каким еще мог быть аттрактор? Согласно догмату, существовал лишь один возможный тип: периодический аттрактор, или замкнутая кривая, орбита, притягивающая все близлежащие орбиты. Если маятник получает энергию от пружины и теряет ее из-за трения (то есть если маятник одновременно приводится в движение и тормозится), то устойчивая орбита может представлять собой замкнутую петлю в фазовом пространстве, отражающую, например, регулярные колебательные движения маятника старинных часов. Неважно, откуда именно начнет двигаться маятник, в конечном счете он придет именно к данной орбите. Но придет ли? При некоторых начальных условиях (они характеризуются минимумом энергии) маятник остановится. Таким образом, получается, что система в действительности имеет два аттрактора, один из которых является замкнутой петлей, а другой – фиксированной точкой. Каждый из аттракторов имеет собственный «бассейн притяжения» в фазовом пространстве. В целом это напоминает две речные долины, разграниченные водоразделом.

В краткосрочной перспективе каждая точка фазового пространства может означать возможное поведение динамической системы. В долгосрочной же перспективе единственными возможными моделями поведения становятся сами аттракторы. Все иные типы движения преходящи. По определению аттракторам присуще важнейшее качество – устойчивость. В реальной системе, где движущиеся элементы сталкиваются и колеблются из-за помех окружающей среды, движение стремится вернуться к аттрактору. Толчок способен ненадолго исказить траекторию, однако возникающие случайные движения быстро исчезают: даже если вдруг кошка заденет часы с маятником, минута не увеличится до шестидесяти двух секунд. Однако турбулентность в жидкостях – явление иного порядка, никогда не порождающее единственный ритм, исключающий все остальные. Известное свойство такого явления заключается в том, что одновременно наблюдается весь спектр возможных колебаний. Турбулентность можно сравнить с так называемым белым шумом или с помехами. Мог ли подобный феномен являться результатом простой детерминистской системы уравнений?

Рюэль и Такенс задались вопросом, обладает ли какой-либо иной тип аттрактора подходящим набором характеристик: устойчивостью, малым числом измерений, непериодичностью. Устойчивость означала достижение конечного состояния системы вопреки всем помехам в полном шумов мире. Малое число фазовых координат предполагало, что орбита в фазовом пространстве должна быть ограничена либо прямоугольником на плоскости, либо параллелепипедом в трехмерном пространстве и обладать лишь несколькими степенями свободы. Непериодичность подразумевала отсутствие повторений – ничего общего с монотонным тиканьем старых дедушкиных часов. С геометрической точки зрения вопрос казался чистой воды головоломкой. Какой вид должна иметь орбита, изображаемая в ограниченном пространстве, чтобы она никогда не повторяла и не пересекала саму себя? Ведь система, вернувшаяся в свое прежнее состояние, согласно принятой модели, должна повторять уже пройденный путь снова и снова. Чтобы воспроизвести каждый ритм, орбита должна являть собой бесконечно длинную линию на ограниченной площади. Другими словами, она должна стать фрактальной – хотя этого слова еще не существовало.

Следуя математической логике, Рюэль и Такенс провозгласили, что описанный феномен должен существовать. Хотя они никогда не видели и не изображали его, одного заявления оказалось довольно. Впоследствии, выступая с речью на пленарном заседании Международного конгресса математиков в Варшаве и пользуясь преимуществом высказать суждение задним числом, Рюэль заявил: «Научное сообщество весьма прохладно отнеслось к нашему предположению. В частности, упоминание о том, что непрерывный спектр будет ассоциироваться с незначительным числом „степеней свободы“, многие физики посчитали просто ересью»[206]. Но были и другие – горсточка, если уж быть точными, – которые почувствовали всю значимость вышедшей в 1971 году работы и продолжили развивать идеи, намеченные в ней.

На самом деле к 1971году в научной литературе уже имелся один небольшой набросок того невообразимого чудовища, которое пытались оживить Рюэль и Такенс. Эдвард Лоренц сделал его приложением к своей статье о детерминистском хаосе, вышедшей в 1963 году[207]. Этот образ представлял собой конструкцию из двух кривых – одна внутри другой – справа и пяти кривых слева. Лишь для схематичного изображения этих семи «петель» потребовалось пятьсот математических операций, выполненных компьютером. Точка, двигаясь вдоль указанной траектории в фазовом пространстве, иллюстрировала медленное хаотичное вращение потоков жидкости, что описывалось тремя уравнениями Лоренца для явления конвекции. Поскольку система характеризовалась тремя независимыми переменными, данный аттрактор лежал в трехмерном фазовом пространстве. И хотя изображен был лишь его фрагмент, Лоренц смог увидеть гораздо больше: нечто вроде двойной спирали, крыльев бабочки, сотканных с удивительным мастерством. Когда увеличение количества теплоты в системе Лоренца вызывало движение жидкости в одном направлении, точка находилась в правом «крыле», при остановке течения и его повороте точка перемещалась на другую сторону.

Первый странный аттрактор. В 1963 году Эдвард Лоренц смог вычислить только первые несколько петель аттрактора для своей простой системы уравнений. Однако он понял, что переплетение двух спиралеобразных «крыльев» должно иметь необычную структуру на бесконечно малых масштабах.

Аттрактор был устойчивым, непериодическим и имел малое число измерений. Он никогда не пересекал сам себя. Если бы подобное случилось и он возвратился бы в точку, которую уже миновал, движение в дальнейшем повторялось бы, образуя периодическую петлю. Но такого не происходило. В этом-то и заключалась странная прелесть аттрактора: являвшиеся взору петли и спирали казались бесконечно глубокими, никогда до конца не соединявшимися и не пересекавшимися. Тем не менее они оставались внутри участка пространства, ограниченного рамками параллелепипеда. Как такое стало возможным? Как может бесконечное множество траекторий лежать в ограниченном пространстве?

До того как изображения фракталов Мандельброта буквально наводнили научный мир, представить особенности построений подобных форм казалось весьма трудным. Сам Лоренц признавал, что в его собственном экспериментальном описании присутствовало «кажущееся противоречие». «Очень непросто слить две поверхности, если каждая содержит спираль и траектории не стыкуются», – сетовал ученый[208]. Однако в массе компьютерных вычислений он все же разглядел слабо просматривавшееся решение. Лоренц понял, что, когда спирали начинали сходиться, поверхности должны были разделяться, образуя отдельные слои на манер теста в слоеном пирожном. «Мы видим, что каждая поверхность состоит на самом деле из двух, так что, когда они сходятся, поверхностей становится уже четыре. Проследив за аналогичным процессом с другой петлей, мы замечаем, что теперь поверхностей уже восемь, и так далее. В итоге мы можем заключить, что налицо бесконечное множество поверхностей, каждая из которых находится чрезвычайно близко к одной из двух изначально сходящихся поверхностей». Неудивительно, что в 1963 году метеорологи оставили подобные рассуждения без внимания. Десятилетие спустя Рюэль, узнав о труде Лоренца, был ошеломлен и взбудоражен. Впоследствии он посетил Лоренца, однако вынес из той встречи чувство легкого разочарования[209]. Общие научные интересы исследователи обсуждали совсем недолго; с характерной для него робостью Лоренц постарался придать визиту светский характер: ученые с женами посетили художественный музей.

Пытаясь отыскать ключи к решению загадки, Рюэль и Такенс пошли двумя путями. Одним стала попытка дать теоретическое обоснование странным аттракторам. Являлся ли аттрактор Лоренца типичным? Возможны ли какие-то иные формы? Вторым путем, по которому пошли ученые, была экспериментальная деятельность. Она преследовала цель подтвердить или опровергнуть весьма далекое от математики убеждение, что странные аттракторы применимы к хаосу в природе.

В Японии, исследуя электронные схемы, имитировавшие колебание механических струн, но в ускоренном темпе, Ёсисукэ Уэда обнаружил последовательности невероятно прекрасных странных аттракторов. (И ему пришлось получить восточную версию прохладного отклика коллег, с которым в свое время столкнулся Рюэль: «Ваш результат есть не что иное, как вариант периодических колебаний. Нет никакой нужды разводить собственную концепцию устойчивых состояний»[210].) В Германии Отто Рёсслер, непрактикующий доктор медицины, пришедший к исследованию хаоса через химию и теоретическую биологию, предпринял необычную попытку, отодвинув математику на второй план, взглянуть на странные аттракторы сквозь призму философии. Его именем стали называть один из простейших аттракторов – узкую ленту со сгибом, которую изучали довольно широко в силу легкости ее построения. Однако ученый облек в зримую форму и аттракторы с большим числом измерений. «Представьте сосиску, внутри которой заключена другая сосиска, а внутри нее еще одна, и еще, – говорил он. – Выньте ее, сверните, сожмите и положите обратно»[211]. Действительно, сгибание и сжатие пространства оказались ключом к построению странных аттракторов и, возможно, даже к динамике порождавших их реальных систем. Рёсслер чувствовал, что эти формы олицетворяли принцип самоорганизации окружающего мира. Его воображению рисовалось нечто вроде ветроуказателя на аэродроме. «Закрытый с одного конца рукав с отверстием на другом конце, куда рвется ветер, – так описывал это исследователь. – Вдруг ветер оказался в ловушке. Его энергия, вопреки желанию, совершает нечто продуктивное, подобно дьяволу в средневековой истории. Принцип таков: природа делает что-то против своей воли и, запутавшись сама в себе, рождает красоту».

Создание изображений странных аттракторов вряд ли можно назвать обычным делом. Запутанные пути орбит вьются сквозь три и более измерений, образуя в пространстве темный клубок с внутренней структурой, невидимой извне. Чтобы представить подобную трехмерную «паутину» в виде плоских картин, ученые сначала применяли технику проекции. Рисунок являл собой тень, отбрасываемую аттрактором на поверхность. Однако странные аттракторы довольно сложны, так что проекция смазывает все детали и взору предстает путаница, которую почти невозможно расшифровать. Более эффективная техника заключается в построении так называемого отображения первого возвращения, или отображения Пуанкаре. Суть ее сводится к отделению «ломтика» запутанной сердцевины аттрактора и перенесению его в двумерное пространство, подобно тому как патологоанатом помещает срез ткани на предметное стекло микроскопа.

Отображение Пуанкаре лишает аттрактор одного измерения и превращает непрерывную линию в совокупность точек. Сводя аттрактор к отображению Пуанкаре, ученый по умолчанию считает, что сохранит самую суть движения. Он может вообразить, к примеру, что странный аттрактор вьется у него перед глазами, словно пчела, и его орбиты перемещаются вверх и вниз, влево и вправо, ближе и дальше от экрана компьютера – и каждый раз, когда орбита аттрактора пересекает плоскость экрана, она оставляет светящуюся точку в месте пересечения. Такие точки либо образуют похожее на кляксу пятно произвольной формы, либо начинают вычерчивать некий контур на экране.

Структура аттрактора. Странный аттрактор, изображенный в верхнем ряду (сначала представлена одна орбита, затем десять и сто), иллюстрирует хаотичное поведение ротора – маятника, совершающего полный круг и регулярно приводимого в движение притоком энергии. Через некоторое время, когда на рисунке появится тысяча орбит (ниже), аттрактор превратится в запутанный клубок. Чтобы можно было исследовать его внутреннее строение, компьютер делает поперечный срез аттрактора – так называемое сечение Пуанкаре (рисунок в рамке). Этот прием уменьшает число измерений с трех до двух. Каждый раз, когда траектория пересекает плоскость, она оставляет на ней точку. Постепенно возникает весьма детализированный образ. Показанный здесь пример состоит более чем из восьми тысяч точек, каждая из которых соответствует целой орбите, окружающей аттрактор. Фактически «отбираются пробы» системы через равные промежутки времени. Одни данные утрачиваются, зато другие выявляются во всей своей выпуклости.

Описанный выше процесс соответствует «отбору образцов» состояния системы, который ведется не постоянно, а лишь время от времени. В какой момент брать пробу, то есть из какой области странного аттрактора вырезать ломтик, – дело исследователя. Временной интервал, в котором содержится наибольшее количество информации, должен соответствовать некоему физическому свойству динамической системы. Например, отображение Пуанкаре может отражать скорость отвеса маятника каждый раз, когда тот проходит низшую точку. Или экспериментатор волен выбрать определенный регулярный промежуток времени, «замораживая» последовательные состояния во вспышках воображаемого света, исходящего от стробоскопа. В любом случае в получаемых изображениях в конце концов проявится изящная фрактальная структура, о которой догадывался Эдвард Лоренц.

Наиболее доступный для понимания и самый простой странный аттрактор был построен человеком, весьма далеким от загадок турбулентности и гидродинамики, – астрономом Мишелем Эно из обсерватории Ниццы на южном побережье Франции[212]. Бесспорно, в каком-то отношении астрономия дала толчок изучению динамических систем. Планеты, двигающиеся с точностью часового механизма, обеспечили триумф Ньютона и вдохновили Лапласа. Однако небесная механика значительно отличалась от земной: земные системы, теряющие энергию на трение, являются диссипативными, чего нельзя сказать об астрономических системах, считающихся консервативными, или гамильтоновыми. На самом деле в масштабе, близком к бесконечно малому, даже в астрономических системах наблюдается нечто вроде торможения. Оно происходит, когда звезды излучают энергию, а приливное трение несколько истощает кинетическую энергию движущихся по орбитам небесных тел. Однако для удобства в вычислениях астрономы пренебрегают рассеиванием, а без него фазовое пространство не будет складываться и сжиматься так, чтобы образовалось бесконечное множество фрактальных слоев. Странный аттрактор возникнуть не может. А может ли возникнуть хаос?

Не один астроном сделал карьеру, обойдя стороной динамические системы, но не таков был Эно. Он родился в Париже в 1931 году, всего на несколько лет позже Лоренца, и тоже представлял собой тот тип ученого, которого неумолимо влечет к математике. Ему нравилось решать небольшие конкретные вопросы, которые могли быть привязаны к определенным физическим проблемам, – по его собственному выражению, «не то, что делают современные математики». Когда компьютеры стали доступны даже любителям, подобная машина модели Heathkitпоявилась и у Эно. Собрав ее собственноручно, ученый наслаждался компьютерными забавами. Кстати, задолго до описываемых событий он исследовал особенно сложную проблему из области динамики. Она касалась шаровых звездных скоплений, в которых число светил доходит до миллиона. Это древнейшие и, возможно, наиболее интересные объекты ночного неба. Плотность их вызывает изумление. Как такое огромное количество звезд сосуществует в ограниченном объеме пространства и эволюционирует во времени, астрономы пытались выяснить в течение всего XX века.

С точки зрения динамики, моделирование шарового звездного скопления представляет собой «задачу многих тел». Задача двух тел очень простая, Ньютон ее полностью решил: каждое из пары тел, например Земля и Луна, описывает идеальный эллипс вокруг общего центра тяжести системы. Но добавьте хотя бы еще один обладающий тяготением объект – и все изменится. Задача трех тел уже более чем трудна – как показал Пуанкаре, в большинстве случаев она неразрешима. Можно просчитать орбиты для некоторого временно́го интервала, а с помощью мощных вычислительных машин их удается отследить и в течение более длительного периода, но потом возникают помехи. Эти уравнения не решаются аналитически, то есть долгосрочный прогноз поведения системы из трех тел сделать невозможно. Устойчива ли Солнечная система?[213] Конечно, если рассматривать ее в короткой перспективе, она выглядит устойчивой, но даже сегодня никто не уверен в том, что орбиты некоторых планет не перестанут быть гелиоцентрическими, заставив небесные тела навсегда покинуть Солнечную систему.

Система вроде шарового звездного скопления слишком запутанна, чтобы исследовать ее «в лоб», как задачу многих тел. Однако динамику скопления можно изучить, прибегнув к некоторым хитростям. Вполне допустимо, в частности, рассматривать единичные звезды, путешествующие в пространстве, в некотором усредненном гравитационном поле с определенным центром тяготения. Однако время от времени две звезды будут подходить друг к другу настолько близко, что их взаимодействие нужно будет рассматривать отдельно. Астрономы поняли, что шаровые скопления вообще не должны быть устойчивыми: внутри них обычно образуются так называемые бинарные звездные системы, в которых звезды парами перемещаются по небольшим компактным орбитам. Когда с подобной системой встречается третья звезда, одна из трех, как правило, получает резкий толчок. Со временем энергия, полученная ею благодаря такому взаимодействию, достигнет уровня, достаточного для того, чтобы звезда набрала скорость, позволяющую вырваться из скопления. Таким образом одно из тел покидает систему, а пространство скопления после этого слегка сжимается. Когда в 1960 году в Париже Эно выбрал эту задачу темой своей диссертации, он произвольно предположил, что шаровое звездное скопление, изменив свой масштаб, останется самоподобным. Произведя расчеты, ученый получил потрясающий результат: ядро скопления «сплющится», приобретая кинетическую энергию и стремясь к бесконечно плотному состоянию. Подобное трудно было вообразить. Да и данные исследования скоплений, полученные к тому времени, не подтверждали этот вывод. Однако теория Эно, впоследствии названная гравотермальным коллапсом, постепенно овладевала умами ученых.

Ободренный результатом и готовый к неожиданностям, весьма вероятным в научной работе, астроном занялся более легкими вопросами динамики звезд. Он попытался применить математический подход к давно существующим проблемам.

Посетив в 1962 году Принстонский университет, Эно впервые получил доступ к компьютеру и, подобно Лоренцу в Массачусетсом технологическом институте, использовавшему компьютер для метеорологических целей, начал моделировать орбиты звезд вокруг их центров тяжести. В рамках разумного упрощения галактические орбиты можно рассматривать как орбиты планет, но с одним лишь исключением: центром гравитации здесь является не точка, а трехмерный диск.

Эно пошел на компромисс с дифференциальными уравнениями. «Для большей свободы исследований, – говорил он, – забудем на мгновение, что проблема взята из астрономии»[214]. Хотя ученый не упомянул об этом, «свобода исследований» частично означала возможность использовать компьютер. Объем памяти его вычислительной машины, весьма тугодумной, был в тысячу раз меньше, чем у персональных компьютеров, появившихся двадцать пять лет спустя. Но, как и другие специалисты, позднее работавшие над проблемами хаоса, Эно полагал, что упрощенный подход себя полностью оправдает. Концентрируясь лишь на самой сути своей системы, он сделал открытия, которые можно было применить и к другим, более сложным системам. Спустя несколько лет расчет галактических орбит все еще считался «забавой теоретиков», тем не менее динамика звездных систем превратилась в объект скрупулезных и дорогостоящих исследований. К ней обратились в основном те, кого интересовали орбиты частиц в ускорителях и стабилизация плазмы в магнитном поле для запуска термоядерной реакции.

За период около двухсот миллионов лет звездные орбиты в галактиках, вместо того чтобы превратиться в идеальной формы эллипсы, обретают три измерения. Представить наглядно реально существующие трехмерные орбиты так же непросто, как и воображаемые конструкции в фазовом пространстве. Это побудило Эно прибегнуть к приему, аналогичному рассмотрению отображения Пуанкаре: ученый вообразил, что на одном конце галактики вертикально расположили плоский лист таким образом, чтобы каждая орбита, подобно лошади, минующей на скачках финишную черту, проходила сквозь него. Эно отмечал точку, в которой орбита пересекала плоскость, и прослеживал движение точки от одной орбиты к другой.

Эно отмечал точки вручную, но многие специалисты, применявшие подобную технику, уже работали с компьютером, наблюдая, как точки вспыхивают на экране, словно фонари, зажигающиеся один за другим с наступлением сумерек. Типичная орбита начиналась с точки в левом нижнем углу изображения, затем, при следующем обороте, точка смещалась на несколько дюймов вправо, новый оборот слегка отклонял ее вправо и вверх, и так далее. Поначалу распознать какую-либо форму в этой россыпи было трудно, однако, когда количество точек переваливало за десять-двенадцать, начинала вырисовываться кривая, напоминающая своими контурами очертания яйца. Последовательно появляющиеся точки фактически проходили эту кривую по кругу снова и снова, но, поскольку они никогда не появлялись на одном и том же месте дважды, со временем, когда количество их возрастало до сотни или тысячи, кривая очерчивалась четко.

Описанные орбиты нельзя назвать полностью регулярными, так как они никогда в точности не повторяются. Однако не будет ошибкой считать их предсказуемыми и далекими от хаотичных, поскольку точки никогда не возникают внутри области, ограниченной кривой, или вне ее. Вернувшись к развернутому трехмерному изображению, можно отметить, что кривые рисуют контур тора, или бублика, а отображение Эно – его поперечное сечение. До поры до времени ученый лишь наглядно изображал то, что его предшественники считали уже доказанным, – периодичность орбит. В обсерватории Копенгагена почти двадцать лет, с 1910 по 1930 год, астрономы тщательно наблюдали и просчитывали сотни орбит, однако их интересовали лишь периодичные[215]. «Как и другие ученые в то время, я был убежден, что все орбиты должны характеризоваться регулярностью», – вспоминал Эно[216]. Однако вместе со своим аспирантом в Принстоне Карлом Хейльсом он продолжал рассчитывать многочисленные орбиты, неуклонно увеличивая энергетический уровень своей абстрактной системы. И вскоре им открылось нечто совершенно новое.

Сначала яйцеобразная кривая стала изгибаться, принимая более сложные очертания и образуя уже восьмерку. Затем она разбилась на несколько отдельных форм, напоминавших петлю, – каждая орбита изгибалась петлей. Далее, на более высоких уровнях энергии, произошла еще одна внезапная метаморфоза. «Настала пора удивляться», – писали Эно и Хейльс[217]. Некоторые из орбит обнаружили такую нестабильность, что точки беспорядочно «скакали» по всему листу бумаги. В отдельных местах еще просматривались кривые, но кое-где точки уже не складывались в линии. Изображение впечатляло: оно было свидетельством полного беспорядка, смешанного с ясными остатками порядка. Все вместе рисовало контуры, наводившие астрономов на мысли о неких «островках» или «гряде островов». Эно и Хейльс пытались работать на двух разных компьютерах и попробовали два разных метода интегрирования, но результаты получались неизменными. Ученым оставалось только изучать их и размышлять. Основываясь на собственных числовых данных, Эно и Хейльс предположили наличие глубокой структуры в полученных изображениях. Они выдвинули гипотезу, согласно которой при увеличении будет появляться все больше и больше островков на все более мелких масштабах – и возможно, так будет продолжаться до бесконечности. Ощущалась острая необходимость в математическом доказательстве, «однако рассмотрение вопроса с точки зрения математики казалось не таким уж легким»[218].

Орбиты вокруг центра галактики. Пытаясь осмыслить траектории, описываемые звездами в пространстве галактики, Мишель Эно рассматривал пересечения орбит с плоскостью. Получавшиеся в итоге образы зависели от суммарной энергии в системе. Точки стабильной орбиты постепенно формировали непрерывную кривую, но на других уровнях энергии обнаруживалась сложная структура – смесь хаоса и упорядоченности, представленная зонами с разрозненными точками.

В итоге Эно занялся другими проблемами, однако четырнадцать лет спустя, узнав о странных аттракторах Давида Рюэля и Эдварда Лоренца, астроном вернулся к этой теме. В 1976 году он уже работал в обсерватории Ниццы, расположенной высоко над Средиземным морем, и там услышал рассказ заезжего физика об аттракторе Лоренца[219]. Гость, по его словам, пытался с помощью различных уловок прояснить изящную «микроструктуру» аттрактора, не добившись, впрочем, ощутимого успеха. Эно решил, что займется этим, хотя диссипативные системы и не входили в сферу его интересов («Иногда астрономы относятся к ним с опаской – уж слишком они беспорядочны»[220]).

И вновь ему показалось разумным сконцентрироваться только на геометрической сущности объекта исследования, абстрагируясь от его физического происхождения. Там, где Лоренц и другие ученые применяли дифференциальные уравнения, описывающие непрерывные изменения в пространстве и времени, Эно использовал разностные уравнения, которые можно было рассматривать во времени раздельно. По его глубокому убеждению, ключом к разгадке служили повторяющиеся операции растягивания и свертывания фазового пространства – те самые, что имитируют действия кондитера, который раскатывает тесто для пирожных, складывает его, затем, вновь раскатав, опять складывает, формируя таким образом хрупкую многослойную структуру. Изобразив овал на листе бумаги и решив растянуть его, Эно избрал для этой операции простую математическую функцию, согласно которой каждая точка овала смещалась в новое положение на фигуре, аркой поднимающейся над центром. Таким образом овал точка за точкой «отображался» на арку. Затем Эно начал вторую операцию – сжатие, которое сдвигало внутрь края арки, делая ее уже. Третье преобразование поворачивало фигуру набок таким образом, чтобы она укладывалась в первоначальный овал. Для простоты вычислений все три построения могли быть объединены в одной-единственной функции.

По духу преобразования Эно повторяли идею «подковы» Смейла. Вычисления, которых требовала вся эта процедура, отличались такой легкостью, что их можно было без труда выполнить на счетной машинке. Каждая точка имеет две координаты: х, обозначающую ее положение на горизонтальной оси, и у, задающую положение на оси вертикальной. Чтобы вычислить новое значение переменной х, необходимо было взять предыдущее значение у, прибавить к нему 1 и вычесть предыдущее значение x в квадрате, умноженное на 1,А для расчета нового значения у нужно было умножить предыдущее значение х на 0,То есть xновое = у + 1–1,4x^2; уновое = 0,3х.

Эно почти наугад выбрал начальное положение и, взяв калькулятор, стал откладывать новые точки, одну за другой, пока их количество не достигло нескольких тысяч. Затем с помощью компьютера IBM 7040 он быстро просчитал координаты пяти миллионов точек. То же мог сделать кто угодно, имея в своем распоряжении персональный компьютер с графическим дисплеем.

Сначала кажется, что точки беспорядочно «прыгают» по экрану, производя такой же эффект, как и в сечении Пуанкаре трехмерного аттрактора: движение туда-сюда по поверхности дисплея. Но достаточно быстро проглядывает отчетливый контур, искривленный словно плод банана. Чем дольше выполняется программа, тем больше появляется деталей. Кажется, что части рисунка имеют даже толщину. Однако в дальнейшем она распадается на две отчетливые линии, которые, в свою очередь, расходятся на четыре: две пары, в каждой кривые близки друг к другу, а между парами есть существенное расстояние. Увеличив изображение, заметим, что каждая из четырех линий включает в себя еще две – и так далее, до бесконечности. Как и аттрактор Лоренца, аттрактор Эно обнаруживает бесконечное членение, словно нескончаемая вереница матрешек, вложенных одна в другую.

Аттрактор Эно. Несложная комбинация складывания и растяжения породила аттрактор, легко просчитываемый, но тем не менее плохо понимаемый математиками. По мере появления тысяч и миллионов точек возникает все больше и больше деталей. То, что кажется одной линией, при увеличении оказывается двумя. Потом выясняется, что линий уже четыре. И все же невозможно предсказать, окажутся ли две последовательные точки рядом или далеко друг от друга.

Скрытая деталь – одни линии внутри других – в своей законченной форме может быть обнаружена в серии изображений, сделанных при возрастающем увеличении. Однако сверхъестественное воздействие странного аттрактора можно ощутить и по-иному, наблюдая зарождение состоящей из точек формы, возникающей словно призрак из тумана. Появляющиеся точки столь беспорядочно «разбегаются» по поверхности экрана, что присутствие в их множестве какой-либо структуры, не говоря уже о структуре столь запутанной и хрупкой, кажется невероятным. Любые две последовательно обнаруживаемые точки находятся произвольно далеко друг от друга, так же как любые две точки, которые в турбулентном потоке исходно располагались рядом. Задав какое угодно количество точек, невозможно предугадать, где появится следующая. Можно лишь предположить, что она будет находиться в пределах аттрактора.

Точки с такой степенью случайности «разбредаются» перед глазами, а узор кажется столь эфемерным, что о принадлежности наблюдаемой формы к аттракторам поневоле забываешь. Эти очертания – отнюдь не произвольная траектория, описываемая динамической системой: это траектория, к которой стремятся все остальные траектории. Именно поэтому выбор начальных условий не имеет абсолютно никакого значения. Пока начальная точка лежит вблизи аттрактора, следующие несколько точек будут необычайно быстро сходиться к нему.

Когда в 1974 году Давид Рюэль приехал к Голлабу и Суинни в их лабораторию в городском колледже в Нью-Йорке, обнаружилось, что теория и эксперимент у них всех связаны весьма слабо. Немного математики, довольно смелой, но сомнительной в техническом отношении. И цилиндр с турбулентной жидкостью, поведение которой не особо примечательно, но явно противоречит общепринятой теории. Ученые провели всю первую половину дня за обсуждением, а потом Суинни и Голлаб вместе с женами уехали в отпуск в Адирондакские горы, где у четы Голлаб был домик. Они не видели странный аттрактор собственными глазами и не постигли многое из того, что происходит на пороге турбулентности, но были убеждены, что Ландау ошибся, а Рюэль, кажется, прав.

Странный аттрактор, этот фрагмент мироздания, ставший зримым благодаря компьютеру, начинался как простая возможность. Он лишь отмечал собой ту сферу, куда не удалось проникнуть богатому воображению многих ученых XX века. Но вскоре, когда вычислительные машины сделали свое дело, специалисты осознали, что полученное изображение, словно лицо давно знакомого человека, мелькает везде: в мелодии турбулентных потоков, за флером подернувших небо облаков. Природа была обуздана. Казалось, беспорядок введен в русло, разложен на узоры, в которых подспудно угадывался общий мотив.

Прошли годы, и признание феномена странных аттракторов подготовило благодатную почву для революции в изучении хаоса, дав тем, кто занимался расчетами, ясную программу исследований. Ученые принялись искать странные аттракторы во всех явлениях природы, где ощущалась неупорядоченность. Многие утверждали, что погода на планете Земля управляется не чем иным, как странным аттрактором. Другие, сведя воедино миллионы цифр из сводок фондовых бирж и обработав их на компьютерах, вглядывались в результаты в надежде обнаружить аттрактор и там[221].

В середине 1970-х годов такие открытия еще принадлежали будущему. Тогда никто не увидел аттрактора в эксперименте и было совершенно неясно, как его обнаружить. В теории странный аттрактор наполнял математическим содержанием неизвестные ранее основные характеристики хаоса, в частности «сильную зависимость от начальных условий». «Перемешивание» было еще одним свойством, имеющим смысл, скажем, для конструктора реактивных двигателей, который интересуется оптимальной комбинацией топлива и кислорода. Однако никто не знал, как измерять такие характеристики, как привязать к ним числа. Странные аттракторы казались фрактальными, то есть их истинная размерность была дробной. Но никто не знал, как измерить ее или как использовать результаты подобных измерений для решения реальных инженерных задач.

Но самое главное – никто не мог сказать, приоткроют ли странные аттракторы завесу тайны над нелинейными системами. Все еще казалось, что, в отличие от систем линейных, легко решаемых и классифицируемых, нелинейные системы не поддаются классификации – не найти и двух похожих. Ученые уже подозревали наличие у них общих свойств, но когда дело доходило до замеров и вычислений, каждая нелинейная система оказывалась вещью в себе. Постижение одной совершенно ничего не давало для понимания другой. Аттрактор, подобный аттрактору Лоренца, раскрывал стабильность и скрытую структуру системы, которая при другом подходе казалась совершенно неструктурированной. Но каким образом эта двойная спираль могла помочь специалистам в изучении объектов, не имеющих к ней никакого отношения? Никто не знал.

На тот момент радостное возбуждение обгоняло чистую науку. Открыватели новых форм поступались строгостью научного стиля. Рюэль писал: «Я не упомянул об эстетическом воздействии странных аттракторов. Эти клубки кривых и рои точек порой вызывают в воображении пышные фейерверки или загадочные галактики, а порой напоминают причудливо-странное буйство растений. Перед нами огромное царство неоткрытых форм и неведомого совершенства»[222].

Глава 6

Универсальность

Повторение этих линий несет золото;

Построение этого круга на земле

Несет ураганы, бури, громы и молнии.

Кристофер Марло «Трагическая история доктора Фауста»

Новый старт в Лос-Аламосе. Ренормализационные группы. Исследование феномена цвета. Расцвет вычислительных экспериментов. Открытие Митчелла Фейгенбаума. Теория универсальности. Письма с отказами. Конференция в городке Комо. Облака и живопись.

В нескольких десятках метров вверх по течению от водопада кажется, будто плавный поток предугадывает скорое падение с огромной высоты: вода, содрогаясь, ускоряет свой бег и, словно крупные пульсирующие вены, в потоке проступают отдельные струи. Неподалеку от потока стоит Митчелл Фейгенбаум. Слегка вспотевший в своей куртке спортивного кроя и вельветовых штанах, он попыхивает сигаретой. Ученый вышел прогуляться с друзьями, но они ушли вперед, к тихим заводям вверх по течению. Вдруг Фейгенбаум начинает быстро вертеть головой, будто болельщик на турнире по теннису. «Можно сосредоточиться на чем угодно, на островке водяной пены, на любом объекте. Если достаточно быстро поворачивать голову, можно внезапно различить всю структуру поверхности и как бы почувствовать ее внутри себя… – Он делает очередную затяжку. – Впрочем, любой, кто понимает в математике, при взгляде на бурную воду, или на облака, клубящиеся одно над другим, или на море во время шторма чувствует, что на самом деле не знает ровным счетом ничего»[223].

Порядок среди хаоса. Так звучит старейший речевой штамп из языка науки. Идея скрытого единства и общей формы, лежащих в основе природных явлений, занимала многих и на протяжении всей своей несчастливой истории вселяла надежды в чудаков и псевдоученых. Когда в 1974 году Фейгенбаум впервые появился в Национальной лаборатории Лос-Аламоса, в год своего тридцатилетия, он знал: если физики собираются заняться сейчас этим вопросом, им, конечно, понадобится некая практическая основа, способ воплощения идей в вычислениях[224]. Но как подступиться к этой проблеме, было отнюдь не очевидно.

Фейгенбаума пригласил на работу Питер Каррутерс, спокойный, добродушный с виду ученый-физик, прибывший в 1973 году из Корнелла, чтобы возглавить теоретический отдел. Первым делом он уволил полдюжины старших научных сотрудников (Лос-Аламос не обеспечивает свой персонал должностями на постоянной основе, как это бывает в университетах) и заменил их молодыми, подававшими надежды учеными, которых сам же и выбрал. В качестве научного руководителя Каррутерс был весьма амбициозен, но по собственному опыту знал, что настоящую науку нельзя спланировать наперед.

«Если бы вы создали комитет в какой-нибудь лаборатории или где-нибудь в Вашингтоне и заявили: „Турбулентность стоит нам поперек дороги, нам необходимо объяснить ее, так как недостаточное понимание сводит на нет шансы на прогресс во многих областях“, тогда, конечно, вы набрали бы большую команду, получили бы в пользование мощный компьютер, начали бы запускать большие программы и при этом ни к чему не пришли бы. Вместо всего этого у нас есть этот способный парень, сидящий тихо – вернее, общающийся с людьми, но преимущественно работающий сам по себе»[225]. Каррутерс и Фейгенбаум обсуждали феномен турбулентности, но со временем даже шеф перестал понимать, куда его подопечного заводят исследования. «Мне казалось, что он решил свернуть дело и обратиться к другим проблемам, но я не понимал, что на самом деле эти другие проблемы были все той же проблемой турбулентности. Казалось, что именно в этот аспект нелинейного поведения систем уперлось множество разных областей науки. Сейчас уже никто не стал бы утверждать, что верной предпосылкой для изучения этой проблемы является подготовка в области физики элементарных частиц, квантовой теории поля и понимание того, что в последней есть структуры, известные как „ренормализационные группы“. Никто не подозревал, что на самом деле для этого необходимо владеть общей теорией стохастических процессов и фрактальными структурами. Митчелл знал это все. Он предпринял верные действия в нужное время, более того – сделал свою работу первоклассно. Никаких частностей. Было найдено решение для всей проблемы».

Приехав в Лос-Аламос, Фейгенбаум был глубоко убежден, что науке, в русле которой он работал, не удалось проникнуть в сложнейшую область нелинейных проблем. И несмотря на то, что как физик он еще ничего не сделал, он накопил необычный интеллектуальный багаж. Фейгенбаум знал и применял наиболее сложные методы математического анализа и новую технологию вычислений, ставившую в тупик большинство его коллег. При этом ему удалось не утратить веру в некоторые романтические идеи XVIII века, казавшиеся далекими от науки. Он надеялся создать дисциплину, которая стала бы абсолютно новой, и начал с того, что, отбросив в сторону мысли о сложности реального мира, обратился к самым простым нелинейным уравнениям, какие только мог найти.

Тайны Вселенной впервые заявили о себе четырехлетнему Митчеллу Фейгенбауму после войны, посредством радиоприемника Silvertone в гостиной его родителей в районе Флэтбуш в Бруклине[226]. Митчелла ошеломляла одна мысль о том, что музыка звучит без всяких видимых причин. Это было совсем не то же самое, что граммофон. Уж в граммофонах-то Митчелл разбирался! Бабушка разрешала ему запускать проигрыватель на все семьдесят восемь оборотов.

Отец Митчелла, химик по образованию, работал в управлении нью-йоркского порта, а затем перешел в компанию Clairol. Мать преподавала в городской муниципальной школе. Сначала Митчелл хотел выучиться на инженера-электрика – в Бруклине они зарабатывали неплохо. Но затем понял, что предмет его интереса, радио, относится скорее к области физики. Фейгенбаум принадлежал к тому поколению ученых, которое выросло в окраинных районах Нью-Йорка и достигло больших высот, пройдя через известные муниципальные средние школы (в данном случае школу Сэмюэла Дж. Тилдена), а затем и через городской колледж.

Вырасти умным человеком в Бруклине было в каком-то смысле вопросом искусного лавирования между миром интеллекта и обыденностью. Мальчик рос невероятно общительным, поэтому, как ему казалось, в детстве его почти не обижали. Однако что-то щелкнуло внутри него, когда он осознал, что может и хочет учиться, и он стал все больше и больше отдаляться от друзей. Обычные разговоры его уже не интересовали. Правда, во время последнего года обучения в колледже юноша спохватился, что юность проходит мимо него. Митчелл сделал сознательную попытку восстановить контакт с окружающими. Он тихо сидел в кафетерии, прислушиваясь к болтовне студентов о бритье и еде, и постепенно заново постиг почти всю науку общения с людьми.

Он окончил колледж в 1964 году и продолжил образование в Массачусетсом технологическом институте, где в 1970 году защитил диссертацию по физике элементарных частиц. Затем он провел четыре бесплодных года в Корнеллском университете и в Политехническом институте Вирджинии. Бесплодными они были в смысле стабильной публикации работ на общепринятые темы, что представляло немалую важность для молодого университетского ученого: от постдоков ожидали в основном написания статей. Время от времени руководитель интересовался у Фейгенбаума, как продвигаются дела с той или иной проблемой, и слышал в ответ: «А, это! Здесь мне все понятно»[227].

Только что перебравшийся в Лос-Аламос Каррутерс – ученый, способный на многое, – гордился своим умением отыскивать таланты. Он искал даже не интеллект, а какое-то творческое начало, подобное секрету некой потаенной железы, и всегда вспоминал случай с Кеннетом Вильсоном, еще одним застенчивым физиком из Корнелла, который, как всем казалось, не сделал абсолютно ничего нового. Между тем каждый, кому удавалось разговорить Вильсона, убеждался, что тот видит физику насквозь. Но когда встал неизбежный вопрос о заключении бессрочного контракта с Вильсоном, это вызвало немалые дебаты. Тех, кто поставил на его скрытый интеллектуальный потенциал, оказалось большинство. Контракт заключили – и последовал взрыв: то была не одна работа, а целый поток публикаций, который буквально хлынул из-под пера Вильсона. Среди них оказалась и та, что принесла ему в 1982 году Нобелевскую премию.

Вклад Вильсона в физику, наряду с работами двух других исследователей, Лео Каданова и Майкла Фишера, стал важнейшей предпосылкой теории хаоса. Каждый из троих, работая самостоятельно, по-своему представлял происходящее при фазовых переходах. Они изучали поведение вещества вблизи точки, где оно переходит из одного состояния в другое: из жидкого в газообразное, из немагнитного в магнитное. Фазовые переходы – своеобразные границы, разделяющие две области существования материи, – в математическом плане характеризуются как в высшей степени нелинейные феномены. Ровное и предсказуемое поведение вещества в одной из фаз обычно мало что дает для понимания переходов в целом. Емкость с водой на плите нагревается вполне стабильно до тех пор, пока не дойдет до точки кипения. Потом изменение температуры замедляется и на уровне молекулярного взаимодействия жидкости и газа происходит нечто весьма интересное.

Когда Каданов занимался этим вопросом в 1960-х годах, фазовые переходы были для ученых интеллектуальной загадкой[228]. Представьте себе процесс намагничивания металлического бруска: по мере того как брусок переходит в магнитное состояние, он должен как бы определиться со своей ориентацией. Это свободный выбор, но его должна повторить каждая крошечная частица металла. Но как?

В процессе выбора атомы металла должны каким-то образом обмениваться информацией друг с другом. С точки зрения Каданова, подобный обмен информацией наиболее наглядно может быть описан на языке масштабов. В сущности, он предположил, что металл разделен на небольшие ячейки, каждая из которых сообщается со своими ближайшими соседками, причем подобное сообщение можно описать так же, как и взаимодействие любого атома с близлежащими. Отсюда вытекает полезность идеи изменения масштаба. Удобнее всего рассматривать металл как фракталоподобную модель, состоящую из ячеек различных размеров.

Теперь для полного воцарения идеи масштабирования требовались математический аппарат и детальное исследование реальных систем. Каданов чувствовал, что взялся за нелегкое дело, зато открыл мир самодостаточности и изумительной красоты, частично рожденной универсальностью природных законов. Идея Каданова стала основой для понимания самого поразительного факта о критических явлениях, а именно: поведение таких, казалось бы, не связанных друг с другом феноменов, как кипение жидкостей и намагничивание металлов, подчиняется одним и тем же правилам.

Затем Кеннет Вильсон проделал немалую работу, связавшую все экспериментальные факты воедино в рамках теории ренормализационной группы. Он обеспечил физиков эффективным методом для вычисления характеристик реальных систем. Метод перенормировки, появившийся в физике в 1940-х годах как раздел квантовой теории, сделал возможным расчеты взаимодействия электронов и протонов. Главной трудностью таких вычислений (как, впрочем, и тех, которые занимали Каданова и Вильсона) являлась необходимость воспринимать некоторые величины как бесконечные – занятие суетное и малоприятное. Понятие перенормировки, введенное Ричардом Фейнманом, Джулианом Швингером, Фрименом Дайсоном и другими физиками, позволяло освободиться от бесконечностей.

Лишь намного позже, в 1960-х годах, Вильсон докопался до причин успеха идеи перенормировки. Как и Каданов, он размышлял над принципами масштабирования. Определенные характеристики – такие, например, как масса частицы – всегда считались постоянными, как и масса любого предмета, встречающегося нам в повседневной жизни. Принцип перенормировки быстро стал популярен благодаря тому, что трактовал величины вроде массы не как постоянные. Масса и подобные ей характеристики в процессе перенормировки варьируются как в сторону уменьшения, так и в сторону увеличения в зависимости от масштаба, в котором их рассматривают. Эта идея, казавшаяся полной нелепостью, была точным аналогом рассуждений Мандельброта о геометрических формах и береговой линии Великобритании (о том, что их длину невозможно измерить вне зависимости от масштаба). Здесь присутствовала определенная доля относительности. Местоположение наблюдателя – близко ли он, далеко ли, на берегу моря или на космическом спутнике – влияло на результат. Мандельброт также заметил, что перемены, наблюдаемые при переходе от одного масштаба к другому, не произвольны, а подчиняются определенным закономерностям. Изменчивость общепринятых мер массы или длины говорила о том, что фиксированной остается некая величина иного типа. В случае с фракталами такой величиной была фрактальная размерность – инвариант, который можно рассчитать и использовать в качестве инструмента для дальнейших вычислений. Допущение, что масса может варьироваться в зависимости от масштаба, означало, что математики могут различить феномен подобия невзирая на масштаб явления.

Таким образом, когда возникает необходимость в трудоемких вычислениях, ренормализационные группы Вильсона предлагают иной маршрут следования в дебрях сложных проблем. До этого единственным способом изучения в высшей степени нелинейных процессов являлась так называемая теория возмущений. Для простоты вычислений нужно было предположить, что нелинейная проблема близка к определенной линейной задаче, которая может быть решена, и отстоит от нее лишь на расстояние небольшого «возмущения». Разрешив линейную задачу, мы должны прибегнуть к сложному и хитрому набору операций с оставшейся частью, раскрываемой в так называемую диаграмму Фейнмана. Чем большая точность вычислений нам нужна, тем больше таких громоздких диаграмм необходимо построить. Если повезет, расчеты приведут нас к решению, но удача – увы! – имеет привычку ускользать всякий раз, когда вопрос особенно интересен. Фейгенбаум, как и любой молодой ученый, занимавшийся в 1960-х годах физикой элементарных частиц, долгими часами строил вышеупомянутые диаграммы. В конечном счете он бросил это занятие, убедившись, что теория возмущений скучна, однобока и мало что объясняет. Зато он проникся симпатией к ренормализационным группам Вильсона. Допуская самоподобие, они позволяли последовательно справиться со сложностью.

На практике данная теория была не слишком доступной: чтобы выбрать верный способ вычислений и уловить самоподобие, требовалось немало изобретательности. Впрочем, теория довольно хорошо работала, и часто ее было достаточно для того, чтобы подвигнуть физиков, включая Фейгенбаума, попробовать применить ее к проблеме турбулентности. В конце концов, самоподобие выглядит характерной особенностью турбулентности с ее флуктуациями-на-флуктуациях и завихрениями-на-завихрениях. Но о пороге турбулентности, о таинственном моменте, когда упорядоченная система превращается в хаотичную, теория Вильсона как будто ничего не говорила. В частности, не находилось доказательств тому, что этот переход подчиняется закономерностям масштабирования.

Еще в аспирантуре Массачусетского технологического института Фейгенбаум приобрел полезный навык, к которому прибегал затем на протяжении многих лет. Однажды он прогуливался с друзьями близ водохранилища Линкольна в Бостоне. В то время он вырабатывал привычку гулять по четыре-пять часов, что позволяло ему настроиться на разнообразные впечатления и мысли, свободно приходящие в голову. В тот раз он покинул приятелей и шел один. Миновав группу людей, устроивших в парке пикник, и отдаляясь от них, Митчелл часто оглядывался: прислушивался к звукам голосов, наблюдал жестикуляцию при разговорах, движения рук во время еды. Внезапно он ощутил, что наблюдаемая им картинка пересекла некую границу различимости: фигуры стали слишком крошечными, их действия и движения – бессмысленными, произвольными и случайными. До него доносились слабые, потерявшие всякий смысл звуки.

Непрестанное движение и непонятная суета жизни…[229] Фейгенбаум вспомнил слова Густава Малера. Они выражали те чувства, которые композитор попытался воплотить в третьей части своей Второй симфонии. Словно движения танцующих пар в залитом светом зале, в который вглядываешься из ночной темноты, стоя на расстоянии, откуда музыки уже не слышно… В этом случае может показаться, что жизнь совсем не имеет смысла. Фейгенбаум слушал Малера и вчитывался в Гёте, обуреваемый высокими романтическими порывами. Конечно, именно «Фаустом» Гёте он наслаждался больше всего, впитывая сочетание самых вдохновенных идей об устройстве мира с самыми интеллектуальными. Не будь он настроен столь романтически, пожалуй, он оставил бы без внимания испытанное им на прогулке смятение. В конце концов, почему бы объектам, рассматриваемым с больших расстояний, не потерять свой смысл? Физические законы предлагали весьма тривиальное объяснение их сжатия. Однако при более глубоком раздумье связь между сокращением размеров и потерей объектом своего смысла казалась уже не столь очевидной. Почему вещи, уменьшаясь, становятся непостижимыми?

Фейгенбаум вполне серьезно попытался осмыслить этот факт с позиций теоретической физики. Он задался вопросом, что можно сказать о механизме восприятия человеческого мозга. Предположим, наблюдая за поведением людей, мы делаем о нем определенные выводы. Как человеческий мозг рассортирует огромное количество информации, доступное органам чувств? Ясно (или почти ясно), что в мозгу не содержится прямых копий окружающего мира. Там не существует «собрания» форм и идей, с которыми можно сравнить воспринимаемые образы. Информация хранится внутри нас весьма пластичным образом, что делает возможными совершенно фантастические сопоставления и скачки воображения. В ней присутствует доля хаоса. Мозг кажется куда более гибким, чем наводящая в нем порядок классическая физика.

В то же время Фейгенбаум размышлял о феномене цвета. Некоторые дебаты по этому поводу в начале XIX века были вызваны разногласиями последователей Ньютона в Англии и Гёте в Германии. Сторонникам ньютоновой физики идеи Гёте представлялись околонаучным бредом. Великий немец отказался от рассмотрения цветности как постоянной характеристики, измеряемой с помощью спектрометра и фиксируемой, словно пришпиленная к картону бабочка; по утверждению Гёте, цвет зависит от восприятия. «Слегка склоняясь то в одну, то в другую сторону, природа колеблется в предписанных ей пределах, – отмечал он, – и таким образом появляются все многообразные состояния явлений, которые представлены нам во времени и пространстве»[230].

Пробным камнем теории Ньютона стал его эксперимент с призмой, которая расщепляет пучок белого света на радугу цветов, распределенных по всему видимому спектру. Ньютон понял, что именно эти чистые цвета должны являться простейшими компонентами, при смешивании которых получается белый цвет. Далее, следуя внезапному прозрению, он предположил, что цвета соответствуют определенным частотам. По его представлениям, их порождали некие колеблющиеся частицы – или корпускулы, как их тогда называли, – воспроизводящие цвета пропорционально скорости колебаний. В эпоху Ньютона подобную идею подтверждало настолько мало доказательств, что она казалась одновременно и неоправданной, и блестящей. Что есть красное? Для физика наших дней это электромагнитное излучение с длиной волны от 620 до 8оо нанометров. Он не сомневается, что к настоящему времени верность соображений Ньютона была доказана тысячи раз, тогда как трактат Гёте о феномене цвета благополучно почил в бозе. Когда Фейгенбаум занялся поисками этой книги, он обнаружил, что копия, хранившаяся в библиотеке Гарварда, пропала.

Все же отыскав работу, Митчелл выяснил, что на самом деле Гёте, изучая цвет, провел ряд необычных экспериментов. Начал он, как и Ньютон, с обыкновенной призмы. Ньютон держал призму перед источником света, проецируя расщепляющийся пучок на белую поверхность; Гёте же, приложив призму к глазу, посмотрел сквозь нее и не увидел никакого цвета. Ни радуги, ни отдельных оттенков. Разглядывание сквозь призму белоснежной поверхности или ясного голубого неба давало тот же результат – полное единообразие.

Но если на белой поверхности появлялось едва заметное пятнышко или небо застилали облака, Гёте видел цветовую вспышку. Это дало ему повод заключить, что источником цвета является «чередование света и тени». Он продолжил исследовать, как люди воспринимают тени, отбрасываемые предметами, которые окрашены в разные цвета. В серии тщательно поставленных опытов использовались свечи и карандаши, зеркала и цветное стекло, свет Луны и Солнца, кристаллы, жидкости и цветные диски. Например, зажигая свечу перед листом белой бумаги в сумерках, экспериментатор держал в руках карандаш. Тень, отбрасываемая карандашом, имела чистый голубой цвет. Почему? Бумага белого цвета воспринимается как белая и в угасающем дневном свете, и в теплом мерцании свечи. Каким образом тень разделяет белое на зоны голубого и красновато-желтого? Цвет, доказывал Гёте, представляет собой «степень темноты, близкую к тени». Переведя это на современный язык, можно сказать, что источник цвета есть краевые условия и особенности.

Там, где Ньютон был редукционистом, Гёте придерживался холизма. Ньютон разбил цвет на составляющие и нашел самое основное физическое объяснение этому феномену. Гёте же, наслаждаясь видами цветущих садов и изучая живописные полотна, искал всеобъемлющее, окончательное толкование интересующего его явления. Ньютон подогнал свою теорию цвета под математическую схему, характерную для всей физики, а Гёте, к счастью или к несчастью, чувствовал к математике отвращение.

Фейгенбаум убедился в том, что идеи Гёте о явлении цветности верны. Эти идеи напомнили ему популярную среди некоторых психологов точку зрения, которая различает суровую реальность и субъективно-изменчивое ее восприятие. Цвета, воспринимаемые человеком, изменяются от случая к случаю и от человека к человеку, в чем несложно убедиться. Но, в понимании Фейгенбаума, в идеях Гёте, эмпирических и весьма определенных, таилось гораздо больше истинной научности. Вновь и вновь экспериментатор подчеркивал повторяемость своих опытов, так как для него именно восприятие цвета являлось всеобщим и объективным. Какие научные свидетельства, не зависящие от нашего восприятия, существуют для определимого и реального красного?

Фейгенбаум задался вопросом, какого рода математический формализм должен соответствовать человеческому восприятию, особенно тем его видам, которые отсеивают суетное многообразие полученного опыта, обнаруживая универсальные свойства. Красное не обязательно является светом определенной частоты, как представлялось последователям Ньютона; это территория хаотичного мира, границы которой не так-то просто описать. И все же наш ум находит красное с устойчивым и проверенным постоянством. Таковы были мысли молодого ученого-физика, далекие, казалось бы, от проблем турбулентности в жидкостях. Но все же для того, чтобы постичь, как человеческий мозг разбирается в хаосе восприятия, прежде нужно понять, как беспорядок способен породить универсальность.

Начав в Лос-Аламосе размышлять над феноменом нелинейности, Фейгенбаум понял, что из своего обучения он, в сущности, не вынес ничего полезного. Решить систему нелинейных дифференциальных уравнений, не придерживаясь примеров из учебника, было невозможно. Метод возмущений с его последовательными корректировками поддающейся решению задачи, которая, как предполагалось, близка к реальной проблеме, выглядел довольно глупым. Ознакомившись с рядом руководств по нелинейным потокам и колебаниям, ученый сделал вывод, что сколько-нибудь разумному физику они мало чем помогут. Имея в своем распоряжении лишь карандаш и бумагу для вычислений, Фейгенбаум решил начать с аналога простого уравнения, рассмотренного в свое время Робертом Мэем применительно к популяционной биологии.

С таким уравнением – его можно записать как у = r(х−х^2) – ученики средней школы знакомятся в курсе алгебры при построении параболы. Каждое значение xдает новое значение у, а полученная в результате кривая выражает связь между x и у в определенном диапазоне значений. Если значение x(численность популяции в текущем году) мало, то значение у (численность популяции в следующем году) также будет невелико, но больше, чем х. Кривая круто поднимается вверх. Если значение хнаходится в середине диапазона, то значение у велико. Но парабола выравнивается близ своей вершины и начинает снижаться так, что если значение хвелико, то значение у вновь мало. Именно это и является эквивалентом скачков численности популяции в экологическом моделировании, которые предотвращают ничем не ограниченный рост, не происходящий в реальности.

Для Мэя, а затем и для Фейгенбаума главное заключалось в том, чтобы произвести это простое вычисление не один раз, а повторять его бесконечно, как в «петле обратной связи». Итоги одного подсчета служили исходными данными для следующего. Для графического представления результатов парабола оказывалась незаменимой. Надо было выбрать начальную точку на оси х, провести перпендикуляр вверх до пересечения с параболой, найти соответствующее значение на оси у и повторить вычисления уже с новым значением. Результат сначала будет «скакать» от одной точки параболы к другой, а потом, вероятно, установится на уровне устойчивого равновесия, где значения х и у равны, то есть численность популяции останется неизменной.

Казалось, нельзя было найти ничего более далекого от сложных расчетов теоретической физики. Вместо единовременного решения запутанной системы одна и та же простая операция повторялась вновь и вновь. Ставящий подобные опыты с числами будет наблюдать, подобно химику, который следит за ходом реакции, бурление внутри мензурки. Результат являл собой ряд чисел, не всегда достигавший в итоге устойчивого значения: он мог завершиться скачками значения в некотором интервале или, как разъяснял Мэй своим коллегам-биологам, изучающим популяции, ряд мог продолжать изменяться совершенно хаотичным образом настолько долго, насколько хватит терпения за ним наблюдать. Поведение числового ряда зависело от выбранного значения параметра.

Выполняя расчетную часть своих исследований, которую едва ли можно было назвать экспериментом, Фейгенбаум одновременно пытался анализировать нелинейные функции с более традиционных, теоретических позиций. Но даже тогда он не смог увидеть всю полноту возможностей, что открывали уравнения. Тем не менее ученый понял, что возможности эти весьма сложны и анализ их окажется довольно трудоемким. Он также знал, что три математика из Лос-Аламоса – Николас Метрополиc Пол Стейн и Майрон Стейн – изучали в 1971году похожие отображения, и теперь Пол Стейн предупредил Фейгенбаума, что они в самом деле пугающе сложны. Если анализ результатов решения простейшего уравнения оказался столь трудным, чего же было ожидать от гораздо более запутанных формул, которыми ученые могли бы описывать реальные системы? И Фейгенбаум отложил проблему в долгий ящик.

Этот эпизод из краткой летописи хаоса, история, заварившаяся вокруг одного-единственного, безобидного, на первый взгляд, уравнения, показывает, какими разными глазами разные ученые смотрят на одну и ту же проблему[231]. Для биологов это уравнение несло свой смысл, заключающийся в том, что простые системы способны на сложное поведение. Для математиков Метрополиса и Стейнов вопрос заключался в создании совокупности топологических моделей вне всякой связи счисленными результатами[232]. Они начинали процедуру «обратной связи» в определенной точке и наблюдали, как следующие одно за другим значения «прыгают» по параболе с одного места на другое. Ученые записывали, на какую сторону параболы – правую или левую – попадала очередная точка, получая таким образом последовательности из букв Π и Л. Образец № 1 – Π[233]; образец № 2 – ПЛП; образец № 193 – ПЛЛЛЛЛППЛЛ. Математику подобные опыты могли поведать много интересного – казалось, что они всегда воспроизводят одну и ту же специальную последовательность, но физику они представлялись утомительными и довольно туманными.

В то время никто не догадывался, что еще в 1964 году Лоренц рассматривал то же уравнение, пытаясь разрешить один вопрос, касавшийся климата. Вопрос этот был столь глубок, что почти никому прежде не приходил в голову. Никто не задумывался, а существует ли климат, можно ли вывести долгосрочные средние значения погоды на земном шаре?[234] Тогда, как и сейчас, большинство метеорологов считали, что ответ очевиден: конечно, любая поддающаяся измерению величина – неважно, какие колебания она демонстрирует, – должна иметь некое среднее. Если же вдуматься, все далеко не так очевидно. Лоренц указывал, что средняя погода на Земле в течение последних двенадцати тысяч лет заметно отличалась от средних климатических условий предыдущих двенадцати тысяч лет, когда почти вся Северная Америка лежала под ледяным покровом. Значило ли это, что в силу каких-то физических причин произошел переход от одного климата к другому? Или упомянутые временные отрезки были периодами отклонений от стабильных долгосрочных погодных условий? А может, система, подобная погоде, никогда не сходится к среднему?

Лоренцу не давал покоя еще один вопрос. Допустим, мы можем записать полный набор уравнений, управляющих погодой на земном шаре. Допустим, нам ведомы законы самого Господа Бога. Можем ли мы использовать эти уравнения для расчета среднестатистического уровня температур или осадков? Если уравнения линейные – конечно можем. Но они нелинейны.

И поскольку Господь Бог не рассказал нам, какие использовал уравнения, Лоренц вынужден был изучить квадратичное разностное уравнение.

Как и Мэй, для начала Лоренц выяснил, что происходит, если задавать в уравнении разные значения параметра. При низких значениях числовой ряд достигал устойчивой фиксированной точки, то есть система производила модель климата в самом тривиальном из возможных смыслов: погода никогда не изменялась. Умеренный рост значения параметра провоцировал колебания между двумя точками, но и в этом случае система также сходилась к простому среднему. Но за определенной чертой Лоренц увидел проявления хаоса. Поскольку ученый занимался проблемой климата, его интересовало не только то, приведет ли обратная связь к периодическому поведению, – он хотел знать среднее значение полученного результата. И Лоренц выяснил, что среднее тоже подвержено колебаниям. Даже при незначительном варьировании параметра оно могло изменяться довольно существенно. Аналогично и земной климат мог никогда не знать прочного равновесия.

Как математический труд статья Лоренца о климате была неудачной – автор ничего не доказал в общепринятом смысле слова. Как физическое исследование она также не выдерживала критики, потому что не объясняла, почему такая простая модель позволяет сделать выводы о климате земного шара. Однако Лоренц был уверен в том, что хотел сказать. «Автор чувствует, что подобное сходство не простая случайность. Нам известно, что разностное уравнение охватывает многое если не в физике, то уж точно в математике, описывая переходы от одного режима к другому и фактически весь феномен нестабильности». Даже двадцать лет спустя никто не мог понять, какие интуитивные ощущения подвигли Лоренца на публикацию такого отчаянно смелого утверждения в шведском метеорологическом журнале Tellus. («Tellus!Да его же никто не читает!» – с горечью восклицали физики.) Лоренц стоял на пороге глубочайшего проникновения в особенности хаотических систем – слишком глубокого, чтобы его сущность можно было передать на языке метеорологии.

Продолжая изучать изменчивые лики динамических систем, Лоренц осознал, что эти системы, чуть более сложные, чем квадратичная, способны внезапно обнаруживать иные типы структур. Внутри отдельно взятой системы нередко таилось не одно устойчивое решение. Если экспериментатор наблюдал лишь один тип поведения на протяжении долгого времени, это не означало, что системе в равной мере не присущ совершенно иной тип поведения. Подобные системы именуют нетранзитивными; они могут находиться или в одном, или в другом состоянии равновесия, но никогда в обоих сразу, и лишь толчок извне способен заставить систему изменить свое состояние. Если искать примеры в обыденной реальности, часы с маятником являются как раз нетранзитивной системой. Энергия поступает в нее постоянно от подвеса или от батареи через механизм регулятора хода и с тем же постоянством уходит из-за потерь на трение. Очевидным состоянием равновесия являются устойчивые колебательные движения. Если кто-то, проходя мимо, толкнет часы, скорость колебаний маятника от кратковременного толчка увеличится или уменьшится, но он быстро вернется в состояние равновесия. Наряду с ним часы имеют и другое равновесное состояние (второе решение для уравнений их движения), когда маятник висит неподвижно. Менее тривиальной нетранзитивной системой, которой, возможно, свойственно несколько четко обозначенных и совершенно различных вариантов поведения, является климат.

Ученым, изучающим климат и использующим компьютерные программы для моделирования долгосрочного поведения атмосферы и гидросферы Земли, уже несколько лет назад стало известно, что их модели способны демонстрировать как минимум одно существенно иное состояние равновесия. Ни в одну из минувших геологических эпох этот альтернативный сценарий не был реализован, но он мог бы стать еще одним верным решением системы уравнений, управляющих земной погодой. Некоторые специалисты называют его климатом Белой Земли – планеты, континенты которой погребены под снегами, а океаны скованы льдом[235]. Ледовая корка отражала бы около 70 % солнечных лучей и оставалась бы чрезвычайно холодной. Нижний слой атмосферы – тропосфера – был бы гораздо тоньше. Штормы, проносившиеся над замерзшей поверхностью, уступали бы по силе тем бурям, что мы наблюдаем сейчас. В общем, подобный климат гораздо менее располагал бы к появлению и развитию той жизни, которую мы знаем сейчас. Компьютерные модели настолько часто приходят к состоянию Белой Земли, что ученые сами удивляются, почему оно никогда не наступало. Вероятно, это лишь дело случая.

Для того чтобы вся Земля оделась во льды, необходим мощный толчок извне. Но Лоренц описал еще один тип поведения, названный им квазинетранзитивностью. В течение длительного времени такая система ведет себя примерно одинаково, случайные изменения остаются в определенных границах; затем, без какой бы то ни было причины, система резко меняет свое поведение, все еще колеблясь, но обнаруживая уже другое среднее. Создатели компьютерных моделей прекрасно знают об открытии Лоренца, но стараются любой ценой избежать квазинетранзитивности, поскольку она слишком непредсказуема. Их естественная предвзятость заключается в том, чтобы строить модели, тяготеющие к тому равновесию, которое мы наблюдаем каждый день в реальной жизни. Значительные перемены в погодных условиях ученые склонны объяснять внешними причинами, например изменением орбиты обращающейся вокруг Солнца планеты. И все же не нужно много фантазии, чтобы увидеть в квазинетранзитивности вполне убедительные объяснения того, почему в истории Земли случались ледниковые периоды, наступавшие через странные, нерегулярные интервалы времени. Если это объяснение действительно верно, нет нужды доискиваться до физических предпосылок оледенения. Ледниковый период может быть побочным продуктом хаоса.

Как коллекционер огнестрельного оружия в эпоху автоматов с тоской вспоминает кольт сорок пятого калибра, так и в глубине души современного ученого таится легкая ностальгия по карманному калькулятору модели HP-65. За несколько лет полного господства этому вычислительному устройству удалось навсегда изменить привычки многих исследователей. Для Фейгенбаума же счетная машинка перекинула мостик от карандаша и бумаги к компьютеру, не сразу оцененному по достоинству учеными.

Он еще ничего не знал о Лоренце, но летом 1975 года на встрече в Аспене, штат Колорадо, услышал рассуждения Стива Смейла о некоторых математических свойствах тех самых квадратичных разностных уравнений[236]. Смейл считал, что имеются некоторые интересные и пока не разрешенные вопросы о том, в какой именно момент случается переход модели от периодического к хаотическому состоянию. Как всегда, Смейл отличался отменным чутьем на действительно стоящие проблемы. Фейгенбаум решил взглянуть на уравнение еще раз. Вооружившись калькулятором, он применил сочетание аналитической алгебры и численных методов, чтобы обозреть свою модель и главным образом пограничную зону между хаосом и стабильностью.

В поисках аналогий – но только лишь аналогий – Фейгенбаум мог обратиться к той таинственной границе, что отделяет плавное течение жидкости от турбулентного. Именно к этому участку Роберт Мэй пытался привлечь внимание биологов, которые не замечали, что популяции животных переживают не одни лишь упорядоченные циклы. На пути к хаосу в указанной зоне возникает целый каскад удвоения периодов: расщепление двух на четыре, четырех – на восемь и так далее, представляющее собой весьма удивительную картину. Именно в точках бифуркации некоторое изменение плодовитости особей могло привести к смене четырехгодичного цикла популяции непарного шелкопряда восьмигодичным. Фейгенбаум решил начать с подсчета точных значений параметра, порождавших расщепления.

В конце концов в тот август к открытию ученого привела, как ни странно, неспешность вычислений с помощью калькулятора. Казалось, расчеты точного значения параметра для каждого удвоения периодов занимают целую вечность, хотя на самом деле – считаные минуты. Однако чем выше поднимался Фейгенбаум по цепочке циклов, тем больше времени требовали операции с числами. Имей ученый мощный компьютер и печатающее устройство, он, пожалуй, не заметил бы никакой закономерности, но ему приходилось записывать результаты вручную и, пока калькулятор работал, размышлять над ними. Чтобы сэкономить время, он просто-напросто пытался угадать, каким будет следующее значение.

И вдруг Фейгенбаум увидел, что гадать уже незачем. В системе пряталась неожиданная упорядоченность: числам была присуща геометрическая сходимость, словно телеграфные столбы сходятся в точку на горизонте на рисунке в перспективе. Если вы знаете, какими хотите изобразить любые два столба, вы знаете и остальное: отношение второго к первому будет таким же, как отношение третьего ко второму и так далее. Удвоения периодов не просто ускорялись, а ускорялись с постоянным коэффициентом.

Почему так происходило? Обычно появление геометрической сходимости предполагает, что в определенном месте некий объект повторяет сам себя в различных масштабах. Но если внутри изучаемой системы и таилась подобная масштабируемая модель, ее еще никто не заметил. Рассчитав коэффициент сходимости с наибольшей точностью, какая могла быть достигнута с имевшимся у него калькулятором (три цифры после запятой), Фейгенбаум получил следующий результат: 4,669. Имел ли этот коэффициент какой-либо математический смысл? Фейгенбаум сделал то, что на его месте сделал бы любой ученый, интересующийся числами: он провел остаток дня, пытаясь подогнать получившийся результат под известные постоянные: π, е и другие, но это ни к чему его не привело.

Удивительно, но позже Роберт Мэй понял, что он тоже наблюдал подобную геометрическую сходимость, однако забыл о ней столь же быстро, сколь мимолетно она промелькнула перед его глазами[237]. С точки зрения эколога Мэя, это был не более чем специфический вычислительный эффект. В системах реального мира – популяциях животных и даже некоторых экономических моделях – любые четкие закономерности неизбежно исчезали в шумах. Та самая неупорядоченность, которая до сих пор служила ученому путеводной нитью, заставила его остановиться в критически важной точке. Мэй был взволнован вопиющим поведением уравнения. Никогда бы ему не пришло в голову, что числовые тонкости окажутся столь важными.

Но Фейгенбаум прекрасно понимал, к чему привели его вычисления, поскольку геометрическая сходимость указывала на присутствие в уравнении какого-то явления, связанного с масштабом, а Митчелл в полной мере сознавал существенность масштаба, от которого, по сути, зависела вся теория перенормировки. В явно неуправляемой системе масштабируемость свидетельствовала о том, что определенное качество сохраняется, в то время как все остальные претерпевают изменения. Итак, за турбулентной поверхностью уравнения скрывалась упорядоченность. Но где именно? Куда идти дальше, сказать было сложно.

Лето быстро сменяется осенью, которая сильно чувствуется в разреженном воздухе Лос-Аламоса. Уже подходил к концу октябрь, когда Фейгенбауму пришла в голову странная мысль. Он знал, что Николас Метрополис, Пол Стейн и Майрон Стейн, рассматривая среди прочих описанное выше уравнение, выяснили, что определенное поведение повторяется при переходе от одного типа функции к другому. Обнаруживались те же сочетания знаков – П и Л, причем в том же порядке[238]. Одна из исследованных ранее функций включала синус, из-за чего тщательно разработанный Фейгенбаумом подход к изучению параболы оказался неподходящим. Ему пришлось начать заново; вновь используя свой НР-65, он стал рассчитывать удвоения периодов для функции xt+1 = r sin πxt. Расчет тригонометрической функции значительно замедлял вычислительную процедуру, и Фейгенбауму пришла в голову мысль использовать тот же прием, что и для более простого уравнения. Посмотрев на числа, он понял, что они снова сходятся геометрически. Оставалось лишь вычислить коэффициент сходимости для нового уравнения. И вновь, задав наибольшую возможную точность, он получил результат с тремя цифрами после запятой: 4,669.

То же число! Невероятно, но данная тригонометрическая функция не просто обнаруживала последовательную геометрическую регулярность. Она обнаруживала в точности такую же регулярность, как и гораздо более простая функция. Ни математика, ни физика не могли объяснить, каким образом два столь различных по форме уравнения приводили к одинаковому результату.

Фейгенбаум связался с Полом Стейном, но тот не поверил в подобное совпадение, посчитав доказательства недостаточными, – в конце концов, точность калькулятора оставляла желать лучшего. Несмотря на это, Фейгенбаум позвонил родителям в Нью-Джерси и сообщил, что столкнулся в своих исследованиях с чем-то весьма глубоким. Его решение, объявил он матери, скоро сделает его, Фейгенбаума, знаменитым. Затем он приступил к изучению других функций – всех, которые, по его мнению, также проходили через последовательность разветвлений на пути к хаосу. Вычисления давали неизменный итог: 4,669.

Фейгенбаум имел дело с цифрами всю свою жизнь. Еще подростком он научился рассчитывать логарифмы и значения синусов, которые все остальные искали в таблицах. Вместе с тем он даже не представлял, как использовать в исследованиях иное счетное устройство, кроме карманного калькулятора. В этом Митчелл был типичным физиком и математиком, которые презирали механистическое мышление, свойственное работе с компьютером. И вот час компьютера пробил. Фейгенбаум обратился к коллеге с просьбой научить его программированию на Фортране и уже к вечеру для каждой из множества взятых им функций подсчитал свою постоянную с точностью до пяти цифр после запятой: 4,Проштудировав ночью правила вычислений с двойной точностью, на следующий день Фейгенбаум получил значение 4,Этого было достаточно, чтобы убедить Стейна, но самого Митчелла все еще одолевали сомнения. Он планировал найти какую-то упорядоченность – это и значит «понять» с точки зрения математики, – однако с самого начала ученый знал, что разные типы уравнений, подобно разным физическим системам, ведут себя по-разному, проявляют свои характерные особенности. Фейгенбаум хорошо знал и квадратичные, и тригонометрические уравнения, с математической точки зрения вполне тривиальные. И все же в этих разных уравнениях содержалось нечто такое, что из раза в раз рождало одно-единственное число. Фейгенбаум определенно нащупал что-то: возможно, просто шутку мироздания, а возможно – новый закон природы.

Представьте себе такую ситуацию: доисторический зоолог решил, что некоторые объекты тяжелее остальных и обладают неким абстрактным качеством, которое он назвал весом. И вот он хочет эту идею научно исследовать. На самом деле наш экспериментатор никогда еще не измерял вес, но он думает, что у него есть некоторое представление, как это сделать. Он смотрит на огромных змей и крошечных змеек, на больших медведей и маленьких медвежат и догадывается, что вес животного, должно быть, связан каким-то образом с его размером. Построив весы, он начинает взвешивать змей. К его удивлению, все змеи весят одинаково. С медведями та же история, и это его уже пугает. Но что удивительнее всего – косолапые весят столько же, сколько змеи, – 4,6692016090! Ясно одно: вес является вовсе не тем, что предполагал зоолог. Вся идея требует переосмысления.

Струящиеся ручьи, качающиеся маятники, электронные осцилляторы и множество других физических систем испытывают переход на пути к хаосу. Хотя такие переходы весьма сложны для анализа, механизмы функционирования систем изучены довольно хорошо. Физики знают все уравнения, которые описывают эти системы, но перебросить мостик от уравнений к пониманию глобального долгосрочного поведения объектов не представляется возможным. К сожалению, уравнения для жидкостей и даже маятников являются куда большим испытанием, нежели простое одномерное логическое отображение. Открытие Фейгенбаума подсказывало, что дело не в уравнениях: с появлением порядка вид уравнения терял свою значимость и независимо от того, квадратичное оно или тригонометрическое, результат получался один и тот же. «Традиция физики такова, что мы обособляем механизмы явления, а затем исследуем их по отдельности, – пояснял Фейгенбаум. – Но все разваливается. Мы знаем верные уравнения, но они нам не помогут. Суммировав все микроскопические фрагменты, мы выясним, что не можем распространить их на длительный период, потому что не они важны в интересующей нас проблеме. И это коренным образом меняет смысл выражения „знать что-либо“»[239].

И хотя связь между вычислениями и физикой казалась весьма проблематичной, Фейгенбаум понял, что нужно искать новый способ расчетов сложных нелинейных проблем. До сих пор все доступные методы зависели от особенностей функций. Если функция была синусом, то и тщательно выполненные Фейгенбаумом расчеты тоже были синусовыми. Его открытие некой универсальности означало, что ни один из этих методов не подходит. Регулярность никоим образом не касалась синусов, не имела ничего общего с параболами или с другими отдельно взятыми функциями. Но почему? Это был шок! Природа, на мгновение отдернув занавес, позволила украдкой взглянуть на неожиданную упорядоченность. Но что еще пряталось за покровом тайны?

Озарение явилось Фейгенбауму в образе двух небольших волнистых форм и еще одной покрупнее. И ничего больше. Лишь яркое и четкое изображение, словно врезавшееся в сознание. Верхушка айсберга, отголосок мыслительных процессов, происходивших где-то на уровне подсознания; он был связан с масштабированием и указывал ученому верный путь.

Фейгенбаум изучал аттракторы. Устойчивое равновесие, о котором говорили его графики, было фиксированной точкой, притягивавшей, в свою очередь, другие. Не имело значения, какова начальная «популяция», – она все равно неуклонно приближалась к аттрактору. Затем, с первым раздвоением периодов, аттрактор, подобно делящейся клетке, раздваивался. Первоначально две эти точки находились совсем рядом, но по мере роста значения параметра они отдалялись друг от друга. Затем происходило следующее расщепление периодов – и каждая точка аттрактора вновь начинала делиться. Число – инвариант, полученный Фейгенбаумом, – позволило ему предугадывать, когда именно это произойдет. Ученый обнаружил, что может прогнозировать точное значение каждой точки этого сложнейшего аттрактора – двух, четырех, восьми точек… Он мог прогнозировать действительную численность, которая достигается в популяциях во время ежегодных колебаний. Кроме того, здесь наблюдалась геометрическая сходимость: все числа также подчинялись закону масштаба.

Хаос под микроскопом. Митчелл Фейгенбаум сосредоточился на незатейливых функциях, раз за разом с помощью простого уравнения вычисляя значение одной величины в зависимости от другой. В случае с популяциями животных функция могла выражать соотношение между численностью в текущем году и в следующем. Одним из способов наглядного представления таких функций является построение графика, где исходные данные отмечаются на горизонтальной оси, а конечные – на вертикальной. Для каждого значения χ существует лишь одно значение у, и эта зависимость представлена на графике жирной линией. Затем, чтобы изобразить долгосрочное поведение системы, Фейгенбаум вычертил траекторию, начинавшуюся с произвольно взятого значения х. Поскольку каждое значение у вновь подставлялось в ту же функцию в качестве новой исходной величины, ученый мог применить своего рода ухищрение: траектория должна была как бы отражаться от прямой, проведенной под углом в 45 градусов, где значения χ и у равны. Для эколога наиболее очевидным типом функции, отображающей рост популяции, будет линейная – мальтузианская схема устойчивого и ничем не ограниченного увеличения численности с фиксированным ежегодным приростом (вверху слева). Более реалистичные функции представляют собой дугу, сокращающую популяцию, если та становится слишком большой. Здесь изображено так называемое логистическое отображение, идеальная парабола, заданная функцией у = гх(1 – х), где параметр r меняется от О до 4, определяя крутизну параболы. Но, как выяснил Фейгенбаум, конкретный вид функции, формирующей дугу, не имел значения. Действительно важным было наличие у нее «горба». Поведение тем не менее существенно зависело от крутизны кривой – от степени нелинейности, или, как выражался Роберт Мэй, «подъемов и спадов» (то есть от способности живущей в естественных условиях популяции к увеличению числа составляющих ее особей). Слишком пологая парабола означала вымирание: любое начальное значение численности в итоге падало до нуля (средний ряд, слева). Увеличение степени крутизны порождало устойчивое равновесие – ситуацию, понятную для эколога, который придерживается традиционных взглядов. Точка равновесия, притягивающая все траектории, являлась одномерным аттрактором[240] (средний ряд, справа). После определенной точки происходила бифуркация, порождающая колеблющуюся популяцию с периодом 2 (внизу слева). Затем опять происходили удвоения периода, так что в конце концов траектория вообще отказывалась «успокаиваться» (внизу справа). Когда Фейгенбаум попытался создать новую теорию, подобные изображения послужили ему отправной точкой. Он начал размышлять в терминах рекурсии: функции от функций, функции от функций от функций и так далее; отображения с двумя «горбами», потом с четырьмя…

Фейгенбаум занимался изучением давно забытой пограничной области между физикой и математикой. Какой из двух дисциплин принадлежит его работа, определить было нелегко. Его труд не принадлежал математике, поскольку ничего не доказывал. Конечно, ученый оперировал числами, но математик относится к ним так же, как банкир – к мешкам со звонкой монетой. Номинально эти металлические кругляши – предмет труда финансиста, но они мелковаты и возни с ними не оберешься. Идеи – вот настоящая валюта математики! Изыскания Фейгенбаума относились скорее к области физики, причем, как ни странно, физики экспериментальной.

Не мезоны и кварки, а числа и функции являлись объектом внимания ученого. Они тоже имели траектории и орбиты. Ему приходилось исследовать их поведение. Ему требовалось – как станет модно говорить в новой науке – развить интуицию. Его личным ускорителем частиц и камерой Вильсона стал компьютер. Одновременно с теорией он создавал и методологию. Обычно пользователь формулирует задачу, программирует ее, вводит в вычислительную машину и ждет решения – одного для каждой конкретной проблемы. Фейгенбаум и те исследователи хаоса, которые шли по его стопам, нуждались в большем. Им требовалось повторить проделанное Лоренцем – создать миниатюрные вселенные и наблюдать за их эволюцией. Затем, меняя то или иное свойство, исследователи могли проследить, как поменяются пути развития. В конечном счете они убедились, что крошечные изменения определенных качеств могут повлечь за собой значительные метаморфозы поведения системы в целом.

Фейгенбаум быстро выяснил, что компьютеры Лос-Аламоса мало подходят для вычислений, которые он задумал. Несмотря на огромные ресурсы лаборатории, гораздо более обширные, нежели в большинстве университетов, лишь несколько терминалов могли воспроизводить графики и изображения, да и те находились в отделе вооружения. Фейгенбаум намеревался наносить определенные числа в виде точек на своеобразную карту и вынужден был прибегнуть к наиболее простому из возможных методов: он использовал длинные рулоны распечаток, где просматривались линии, составленные из чередующихся пробелов, звездочек и знаков сложения. Официальная политика лаборатории заключалась в том, что один большой компьютер лучше нескольких менее мощных. Это было следствие курса «одна проблема – одно решение». Маломощные машины покупать не рекомендовалось; покупка компьютера любым подразделением должна была соответствовать жестким государственным руководствам и требовала формального утверждения. Лишь гораздо позже, благодаря финансовой помощи теоретического отдела, Фейгенбаум получил в личное пользование вычислительную машину стоимостью 20 ооо долларов. Тогда он смог видоизменять свои уравнения и мелькавшие на экране картины, перестраивать их, играя на компьютере, словно на музыкальном инструменте. Но пока что единственные терминалы, за которыми удавалось всерьез работать с графикой, находились в строго охраняемых зонах, как говорили в лаборатории – «за забором». Фейгенбауму приходилось использовать терминал, соединенный телефонными кабелями с центральным компьютером. Имея дело с таким устройством, оценить истинную мощность машины на другом конце кабеля весьма сложно – даже решение простейших задач занимало целые минуты. Чтобы отредактировать лишь одну строчку программы, приходилось, нажав клавишу «Возврат», ждать под непрерывный гул терминала, пока центральный компьютер обслужит других пользователей.

Вычисляя, Фейгенбаум непрерывно размышлял. Какая еще неизвестная математика могла породить наблюдаемые им масштабируемые закономерности? Он понял: нечто в этих функциях должно быть повторяющимся, самовоспроизводящимся. Поведением исследуемой системы руководило поведение другой системы, скрытой внутри нее. Волнистый контур, открывшийся ученому в миг озарения, кое-что прояснял в том, как функция с помощью изменения масштаба могла быть приведена в соответствие с другой функцией. Фейгенбаум применил теорию ренормализационной группы, прибегнув к масштабированию, чтобы избавиться от бесконечности и получить количественные оценки. Весной 1976 года его жизнь обрела безумный ритм, какого он прежде не знал. Словно погрузившись в транс, Фейгенбаум с неистовством писал программы, что-то черкал карандашом на бумаге и вновь программировал. Он даже не обращался за помощью в компьютерный отдел: чтобы сделать телефонный звонок, ему надо было отсоединиться от компьютера, а подсоединение обратно было затеей весьма рискованной. Митчелл не прерывался более чем на пять минут, иначе компьютер автоматически отключил бы его линию. Хотя временами машина все же подводила ученого, повергая его в состояние, близкое к шоку. Так, без перерыва, он работал больше двух месяцев. Его рабочий день длился двадцать два часа. Когда он ложился спать, напряжение не покидало его, поднимая ровно через сто двадцать минут и заставляя продолжать думать с того же места, где он остановился. Силы его поддерживал лишь кофе. (Даже в более здоровые и мирные времена Фейгенбаум существовал исключительно на полусырых бифштексах, кофе и красном вине. Друзья подшучивали, что он получает витамины из сигарет[241].)

Конец этому положил врач, прописав ученому валиум в скромных дозах и усиленный отдых. Но к тому времени Фейгенбаум уже создал универсальную теорию.

Универсальность провела границу между прекрасным и полезным. Математиков, которые перешли определенную черту, мало волнует пригодность их теорий для вычислений, физики же, миновав некую точку, нуждаются в числах. Универсальность вселяла надежду на то, что, решив легкую задачу, физики смогут ответить на гораздо более сложные вопросы, поскольку решения будут идентичными. Встроив свое открытие в рамки метода ренормализационной группы, Фейгенбаум придал теории такой облик, что физики могли признать ее в качестве почти стандартного инструмента вычислений.

Но то, что делало новую теорию полезной, одновременно делало ее и весьма сомнительной для физиков. Универсальность означала, что различные системы ведут себя одинаково. Безусловно, Фейгенбаум лишь изучал простые функции. Впрочем, он придерживался того мнения, что его теория отражает естественный закон, который относится ко всем системам, испытывающим переход от упорядоченного состояния к турбулентному. Все знали, что турбулентность представляет собой непрерывный спектр различных частот, но откуда они появлялись, оставалось загадкой. И вдруг удалось увидеть их последовательно появляющимися друг за другом![242] Физический смысл заключался в том, что системы реального мира вели себя точно так же и их поведение можно было измерить. Универсальность Фейгенбаума была не только качественной, но и количественной характеристикой, не только структурной, но и метрической. Она распространялась не только на схемы поведения, но и на точные числа. И это вызывало у физиков доверие.

Спустя годы Фейгенбаум продолжал хранить в ящике стола письма с вежливыми отказами в публикации его статей. Тогда он уже в полной мере достиг нужного ему признания; работа, написанная в Лос-Аламосе, принесла ему награды и премии, которые, в свою очередь, означали престиж и деньги[243]. Но ученый все еще терзался тем, что редакторы главных научных журналов в течение двух долгих лет отказывали ему в публикации. Трудно поверить, что причиной отказа послужила невероятная оригинальность и неожиданность открытия. Современная наука с ее огромными потоками информации и беспристрастной системой рецензирования не должна быть вопросом вкуса. Тем не менее один из редакторов, вернувших Фейгенбауму его рукопись, позже подтвердил, что в самом деле отверг работу, ставшую поворотным пунктом в развитии этой области науки. При этом он продолжал настаивать, что статья не вполне отвечала профилю издания, каковым являлась прикладная математика. Между тем, несмотря на отсутствие публикаций, открытие Фейгенбаума вызвало широкий резонанс среди математиков и физиков. Важнейшие пункты его теории стали известны из лекций и препринтов, как это и сегодня чаще всего случается в современном научном мире. Фейгенбаум рассказывал о своих исследованиях на конференциях, и поначалу считаные просьбы предоставить копии статей позже превратились в сотни запросов.

Сегодняшняя экономика в значительной степени зависит от эффективности теорий рынка. Предполагается, что знания циркулируют свободно. По общему мнению, принимающие важные решения люди имеют доступ примерно к одной и той же совокупности данных. Бесспорно, без некоторых пробелов в знаниях или использования неких скрытых сведений дело не обходится. Но, так или иначе, ученые считают единожды обнародованную информацию известной везде. У историков науки на этот счет есть собственная концепция: каждое новое открытие, каждая новая идея сразу же причисляется к общему достоянию научного мира. Любой прорыв и любое озарение основаны на прошлом знании. Наука растет словно дом, кирпичик за кирпичиком. С практической точки зрения можно считать, что научный прогресс движется поступательно и линейно.

Подобный взгляд на науку лучше всего работает, когда все ожидают решения четко обозначенной проблемы в совершенно определенной области. В частности, открытие молекулярной структуры ДНК было правильно принято всеми. Но история распространения новых идей далеко не всегда столь безоблачна. Когда в недрах различных дисциплин возникли странные гипотезы о нелинейности, поток мысли уже проложил себе русла, не предусмотренные стандартной логикой историков. История науки о хаосе – это не только история новых теорий и неожиданных открытий, но и история запоздалого постижения забытых истин. Многие детали головоломки, замеченные еще Пуанкаре, Максвеллом, даже Эйнштейном, были отброшены и забыты. Новые элементы оказались доступны пониманию немногих. Относящееся к математике восприняли представители этой науки, физики извлекли что-то свое, а новое в метеорологии не заметил вообще никто. То, каким образом новые идеи распространяются, стало столь же важным, как и то, каким образом они появляются.

Каждый ученый обязан своим профессиональным рождением личному созвездию интеллектуальных предшественников. Каждый странствует в своем мире идей, и эти миры так или иначе ограничены. Знания несовершенны. Ученые подвержены влиянию традиций тех наук, которым они служат, или образования. Научный мир может быть удивительно консервативным. Историю в новое русло направляет отнюдь не собрание ученых мужей, а горсточка индивидов – носителей особого восприятия, особых целей.

Впоследствии оформился общий взгляд на то, чьи новации и чья роль важнее всего. Однако и тут не обошлось без ревизионизма. В самый разгар становления новой науки, особенно в конце 1970-х годов, вы не нашли бы двух физиков или двух математиков, одинаково воспринимавших феномен хаоса. Тот, кто привык к классическим системам без трения или диссипации, называл себя последователем русских ученых Колмогорова и Арнольда. Математик, изучающий классические динамические системы, считал своими предшественниками Пуанкаре и Биркгофа, Левинсона и Смейла. Позже основная масса математиков включала в созвездие предтеч Смейла, Гукенхеймера и Рюэля, а также плеяду занимавшихся вычислениями исследователей из Лос-Аламоса: Улама, Метрополиса, Стейна. Физик-теоретик выше всего ставил Рюэля, Лоренца, Рёсслера и Йорка, биолог – Смейла, Гукенхеймера, Мэя и Йорка. Число подобных комбинаций бесконечно; например, ученый, работающий с материалами, – геолог или сейсмолог – признавал прямое влияние идей Мандельброта, а физик-теоретик и имени такого, возможно, не слышал.

Роль Фейгенбаума стала отдельным предметом ожесточенных споров. Много позже, когда он был на гребне славы, некоторые физики начали ссылаться на других ученых, работавших над тем же вопросом приблизительно в то же время. Некоторые обвиняли Фейгенбаума в том, что он сосредоточился на слишком узком фрагменте широчайшего спектра хаотичного поведения. Как сказал бы физик, «фейгенбаумологию» явно переоценили; разумеется, это прекрасная работа, но не настолько поворотная, как, например, работа Йорка[244]. В 1984 году Фейгенбаума пригласили выступить на Нобелевском семинаре в Швеции, где разгорелись жаркие дискуссии. Бенуа Мандельброт сделал полемически ориентированный доклад, о котором позже вспоминали как о «лекции против Фейгенбаума». Откопав где-то работу об удвоении периодов, написанную двадцать один год назад финским математиком Мирбергом, он переименовал последовательности Фейгенбаума в «последовательности Мирберга».

Но, как бы то ни было, именно Фейгенбаум открыл универсальность и создал теорию, ставшую точкой опоры для новой дисциплины. Не имея возможности опубликовать столь поразительные и контринтуитивные результаты, он включил их в доклад на конференции в Нью-Гэмпшире в августе 1976 года, рассказывал о своей работе на международном заседании математиков в Лос-Аламосе в сентябре, беседовал о ней на встречах в Университете Брауна в ноябре. Как само открытие, так и сопутствующая ему теория вызывали удивление, недоверие, восторг. Чем больше ученые размышляли о явлении нелинейности, тем сильнее ощущали истинную власть универсальности Фейгенбаума. Один из них сформулировал это просто: «Это открытие стало для нас одновременно и радостным, и шокирующим. В нелинейных системах присутствовали структуры, которые, если рассматривать их правильно, всегда являются одинаковыми»[245]. Некоторые физики позаимствовали как саму идею, так и методы Фейгенбаума. Всего лишь просто экспериментируя с отображениями, они чувствовали, как мороз пробегает по коже. Используя простейшие счетные машинки, они могли испытать то же изумление и удовлетворение, которое Фейгенбаум чувствовал в Лос-Аламосе. Эти специалисты совершенствовали теорию. Прослушав доклад Фейгенбаума в Принстоне, в Институте перспективных исследований, Предраг Свитанович, специалист по физике элементарных частиц, помог ему упростить теорию и расширить ее универсальность, но сделал вид, что занимается этим лишь для развлечения, – стеснялся посвятить коллег в свою работу[246].

Большинство математиков тоже весьма сдержанно отнеслись к новой теории, главным образом потому, что Фейгенбаум пренебрег точными доказательствами. Действительно, их не существовало вплоть до 1979 года, когда появилась работа Оскара Лэнфорда III. Фейгенбаум часто вспоминал о своем выступлении перед именитой аудиторией, собравшейся в сентябре в Лос-Аламосе[247]. Не успел он начать, как выдающийся математик Марк Кац, поднявшись, спросил: «Вы намерены предложить нам численные результаты или все же доказательство?» «Больше, чем первое, но меньше, чем второе», – ответил Фейгенбаум. «И подобное разумный человек называет доказательством?»[248]

Фейгенбаум предложил подождать вердикта слушателей. Когда доклад подошел к концу, ученый поинтересовался мнением Каца. Тот, сардонически упирая на звук «р», произнес: «Да, пожалуй, это действительно доказательство р-р-разумного человека, а детали можно оставить строгим математикам».

Движение уже началось. Открытие универсальности лишь подтолкнуло его. Летом 1977 года двое физиков, Джозеф Форд и Джулио Казати, организовали первую конференцию, посвященную новой науке – хаосу[249]. Она проходила в Италии, на живописной вилле в маленьком городке Комо, находящемся на южной стороне одноименного озера, удивительного прозрачно-голубого вместилища талых альпийских снегов. Туда приехали около ста человек – преимущественно физики, но попадались и представители других дисциплин.

«Митч, разглядев универсальность, выяснил, как она масштабируется, и расчистил путь к хаосу, привлекающий каждого уже на уровне интуиции, – заметил Форд. – Впервые у нас появилась четкая модель, понять которую сможет каждый. И это была та вещь, время которой определенно настало. Практически всюду, начиная от астрономии и заканчивая зоологией, ученые занимались подобными исследованиями, направляли свои статьи в узкоспециальные журналы и даже не догадывались, что многие вокруг делают то же самое. Каждый думал, что он одинок, каждый в своей области слыл чудаком. Исчерпав все привычные, простые вопросы, они перешли к явлению куда более сложному. Когда же эти люди обнаружили, что у них есть соратники, то испытали чувство бесконечной благодарности»[250].

Прошло несколько лет. Фейгенбаум обитал в скромном жилище: в одной из комнат стояла кровать, в другой располагался компьютер, а в третьей помещалась аудиоаппаратура с тремя динамиками, на которой он слушал свою богатую коллекцию немецких музыкальных записей. Предприняв попытку обставить дом, во время путешествия в Италию ученый разорился на мраморный кофейный столик, но дорогая вещица не пережила пересылки по почте – Фейгенбаум получил лишь обломки. Вдоль стен были навалены горы книг и бумаг. Откидывая со лба прядь длинных волос – теперь уже каштаново-седых, – Митчелл быстро говорил: «В двадцатых годах произошло нечто ужасное. Почему-то физики споткнулись на описании окружающего их мира, которое было по сути верным – ведь квантовая механика в некотором смысле принципиально верна. Она объясняет, как сделать компьютер из грязи, она учит нас манипулировать Вселенной, получать химические препараты, пластик, да все что угодно. Мы знаем, как с ее помощью вести расчеты. Словом, квантовая механика – великолепная теория, за исключением того, что на определенном уровне она теряет всякий смысл.

Из цепочки образов выпадает звено. Задаваясь вопросом, каково на самом деле значение уравнений, что представляет собой картина мира в соответствии с данной теорией, мы получаем ответ, который не совпадает с нашим ощущением действительности. Мы, оказывается, не должны мыслить о движущейся частице как об имеющей траекторию – подобное представление недопустимо. Чем больше задаешь непростых вопросов – как выглядит мир в зеркале этой теории? – тем дальше она кажется от наших обычных представлений. Мы запутываемся в противоречиях. Возможно, мир на самом деле именно такой. Но мы не можем быть уверены, что нет иного способа свести воедино всю известную нам информацию – способа, который бы не требовал столь радикального ухода от интуитивного миропонимания.

Основы физики требуют для познания Вселенной разъединять ее на фрагменты и рассматривать их отдельно до тех пор, пока не вскроется нечто основополагающее. После чего мы заключаем, что непонятное нам – всего лишь мелочи, детали. Физики полагают, что имеется небольшое число принципов, которые мы можем уяснить, наблюдая объекты в их „чистом“ состоянии. Затем мы собираем детали в более сложную конструкцию, если намереваемся решить более запутанные проблемы. Если можем это сделать.

В конце концов, для постижения всего этого стоит переключить передачу. Нужно переосмыслить свое представление о происходящем. Можно попытаться построить на компьютере модель жидкостной системы. Это уже становится возможным. Но все усилия окажутся напрасными, поскольку происходящее на самом деле не имеет ничего общего с жидкостью или конкретным уравнением. Речь идет об общем описании того, что имеет место в разнообразных системах, работающих как бы сами по себе. Нужно подойти к вопросу с другой стороны.

Когда вы смотрите на эту комнату – здесь навален хлам, тут сидит человек, за ним двери, – предполагается, что вы вооружитесь основными законами квантовой механики и найдете волновые функции, чтобы все это описать. Однако на самом деле это неосуществимо. Может быть, это под силу Богу, но не существует такого аналитического подхода, который позволит постигнуть данную проблему.

Вопрос о том, что происходит с облаками, уже не относится к чисто академическим. Люди очень хотят это знать, а следовательно, найдутся деньги на исследования. Проблема, о которой мы говорим, принадлежит преимущественно к сфере физики, и это проблема того же рода. Если мы наблюдаем какое-либо сложное явление, то делаем это так: охватываем как можно больше точек, чтобы определить местоположение облаков, температуру воздуха, скорость ветра и тому подобные вещи, затем вводим все полученные данные в самую мощную машину, которая нам только доступна, и пытаемся выяснить, что произойдет в дальнейшем. Но все эти действия далеки от реальной жизни».

Погасив окурок и прикурив следующую сигарету, Фейгенбаум продолжил: «Необходимо поискать иные способы. Нужно найти масштабируемые структуры, осознать соотносимость больших и малых фрагментов. Взгляните на турбулентность в жидкостях и другие сложные системы, в которых хаос проявляется постоянно, подобно некоему закономерному процессу. На определенном уровне еще не важно, каков масштаб этого процесса – охватывает ли он пространство размером с горошину или с баскетбольный мяч. Не имеет значения, где именно он происходит, даже более того – какова его продолжительность. Единственное, что может быть в известной степени универсальным, – масштабируемые явления.

В некотором смысле искусство представляет собой способ восприятия мира человеком. Очевидно, что никому не известны все детали окружающей нас реальности. Но художникам удалось осознать, что по-настоящему важны не так уж много вещей, а затем приглядеться к ним. Так что художники способны проделать часть моих исследований за меня. Взглянув на ранние работы Ван Гога, можно заметить, что на них изображено немыслимое количество деталей, в них содержится огромный объем информации. Ему определенно было известно, каково минимальное количество деталей, которое требуется вместить в картину. Обратите внимание на то, как изображали линию горизонта голландские мастера графики начала XVII века. Крошечные коровки и деревца кажутся вполне реальными, и если вы присмотритесь получше, то заметите, что деревья имеют листья, а среди них скрыты еще и небольшие веточки. Между мягко прорисованными деталями и теми, у которых контуры более четкие, существует некое взаимодействие. Их комбинация так или иначе влечет за собой верное восприятие. Если обратиться к изображению бурных вод Рёйсдалом и Тёрнером, то становится понятно, что такое можно сделать итерационным способом. Сначала выполняется фон, затем поверху накладывается определенное количество краски, а дальше написанное подвергается изменениям. Для этих художников турбулентные жидкости всегда обладают свойством масштабируемости.

Что я на самом деле хочу знать – это как описать облака. Но я не начинал бы с выяснения того, какова плотность здесь, а какова рядом, то есть со сбора всей детальной информации. Думаю, это было бы неверно. Человек, как и художник, воспринимает явления совсем не так. Даже рассмотрение дифференциальных уравнений не решает эту проблему.

Удивительное обещание мира состоит в том, что он заключает в себе прекрасные, пленительные, зачаровывающие явления, и благодаря своей профессии мы способны понять их»[251].

Фейгенбаум положил сигарету в пепельницу. От пепельницы потянулся дымок, сначала тонким столбиком, а потом – с оглядкой на универсальность – прихотливыми завитками, устремившимися к потолку.

Глава 7

Экспериментатор

Это переживание ни с чем не сравнимо. Для ученого не может быть ничего лучше осознания, что свершившееся в его мыслях в точности соответствует чему-то происходящему в природе. Каждый раз, когда такое случается, это потрясает. Ученый поражен, что построения его разума могут существовать в реальности. Это огромный шок и великая радость.

Лео Каданов

“Гелий в маленькой коробочке”. “Зыбко вздымалась массивная зыбь вещества”. Поток и форма в природе. Изящный триумф Альберта Либхабера. Опыт соединяется с теорией. От одного измерения ко многим.

«Стареет Альберт», – говорили в Высшей нормальной школе, учебном заведении, возглавляющем, наряду с Политехнической школой, иерархию образовательных учреждений Франции[252]. Гадали, уж не возраст ли Альберта Либхабера дает о себе знать. Либхабер сделал себе имя в физике низких температур, изучая квантовое поведение сверхтекучего гелия при температурах чуть выше абсолютного нуля. Это принесло ему престиж и надежную позицию на факультете. Теперь же, в 1977 году, он тратил свое время и университетские ресурсы на, казалось бы, тривиальный эксперимент. Либхабер и сам был обеспокоен. Опасаясь испортить карьеру любому аспиранту, если тот будет работать с ним, он заручился поддержкой опытного инженера. Либхабер, сын польских евреев и внук раввина, родился в Париже за пять лет до того, как в город вошли гитлеровские войска. Подобно Бенуа Мандельброту, во время войны он скрывался в сельской местности, отдельно от родителей, которых мог выдать характерный акцент. Им удалось выжить; остальные родственники погибли от рук нацистов[253]. Судьба распорядилась так, что самого Либхабера спасло покровительство шефа местной секретной петеновской полиции, человека, чьи пламенные ультраправые убеждения сочетались со столь же пламенным антирасизмом. Уже после войны десятилетний мальчик отплатил услугой за услугу: он дал показания комиссии по военным преступлениям, хотя едва ли в полной мере осознавал происходящее, и это спасло его покровителя.

Либхабер, чья незаурядность никогда не подвергалась сомнению, быстро достиг успехов в мире французской академической науки. Иногда коллеги считали его немного сумасшедшим: еврей-мистик в стане рационалистов, сторонник де Голля, затесавшийся в ряды прокоммунистически настроенного большинства. Его вера в теорию о решающей роли выдающейся личности в истории, одержимость творчеством Гёте и страсть к старым фолиантам не раз служили предметом для шуток. Коллекция Либхабера включала сотни оригинальных научных изданий, причем некоторые из них датировались XVII веком. Для ученого это не были исторические диковинки – из своего собрания он черпал свежие идеи о природе реальности, той, которую он исследовал с помощью лазеров и высокотехнологичных криогенных установок. В своем ассистенте, французском инженере Жане Море, который принимался за работу, только если она ему нравилась, ученый обрел родственную душу. Либхабер полагал, что помощник находит его проект занятным (этот эвфемизм нередко заменяет ироничным галлам определения «интригующий», «захватывающий» или «глубокий»). В 1977 году они приступили к опыту, призванному, по замыслу исследователей, разъяснить природу порога турбулентности.

Как экспериментатор Либхабер был известен своей приверженностью к традициям XIX века: острый ум, ловкие руки, торжество изобретательности над грубой силой. Ему не нравились громоздкое лабораторное оборудование и чересчур сложные вычисления. Его представление о качественном опыте походило на идею хорошего доказательства в математике: изящество ценилось столь же высоко, как и суть полученного результата. Но все же, по мнению некоторых коллег, в своем эксперименте с порогом турбулентности ученый зашел слишком далеко: плод его трудов оказался настолько крошечным, что свободно помещался в спичечном коробке, в котором его и таскал иногда Либхабер, словно шедевр концептуального искусства. Он называл его «гелием в маленькой коробочке»[254]. Главная деталь экспериментальной установки – ячейка из нержавеющей стали с отточенными краями и тончайшими стенками – была и того меньше, размером с лимонное зернышко. В нее подавался жидкий гелий, охлажденный до температуры примерно в четыре градуса выше абсолютного нуля – теплый по сравнению с прошлыми экспериментами со сверхтекучестью.

Лаборатория Либхабера занимала второй этаж здания физического факультета Высшей нормальной школы в Париже[255]. Всего несколько сотен футов отделяло ее от того места, где когда-то работал Луи Пастер. Как и во всякой хорошей физической лаборатории, где можно провести практически любой эксперимент, там царил вечный кавардак: на полу и на столах громоздились банки с краской, повсюду валялись инструменты, куски металла и пластика необычной формы и непонятного назначения. Но даже среди этого беспорядка прибор с крохотной жидкостной камерой выглядел весьма впечатляюще: внизу, под ячейкой из нержавеющей стали, лежала пластина чистейшей меди, сверху – другая, сапфировая. Эти материалы были выбраны ученым в силу их теплопроводности. В опыте задействовались миниатюрные электронагревательные спирали и тефлоновые прокладки. Жидкий гелий тек вниз из резервуара, представлявшего собой куб со стороной в полдюйма. Все вместе располагалось в небольшом контейнере, внутри которого поддерживался высочайший вакуум. Сам контейнер, в свою очередь, был погружен в емкость с жидким азотом, что помогало стабилизировать температуру.

Либхабера всегда беспокоили вибрации. В ход эксперимента, как и в поведение реальных нелинейных систем, постоянно вмешивались шумы, которые затрудняли измерения и искажали данные. В чувствительном потоке – а ученый постарался сделать его максимально восприимчивым – помехи быстро создавали возмущения в нелинейном течении, вызывая переход от одного типа поведения к другому. Но нелинейность способна как стабилизировать систему, так и расстроить ее; нелинейная «обратная связь» регулирует движение, делая его более устойчивым, а в линейной системе эффект возмущений фиксирован. В условиях нелинейности возмущения могут подпитывать сами себя до тех пор, пока не затухнут и система автоматически не возвратится в устойчивое состояние. Либхабер считал, что нелинейность используется биологическими системами для защиты от помех: переносящие энергию белки, волновые электрические импульсы в сердце, нервная система – все они сохраняют гибкость в мире шумов. Ученый надеялся, что, какая бы структура ни скрывалась внутри потока жидкости, она окажется достаточно стойкой, чтобы ее можно было заметить в ходе эксперимента.

Либхабер задумал возбудить конвекцию в жидком гелии: сделать так, чтобы нижняя пластина оказалась теплее верхней. Эксперимент в точности повторял опыт, описанный в свое время Эдвардом Лоренцем, – классическую схему, известную как модель конвекции Рэлея – Бенара. Но Либхабер тогда еще не знал о Лоренце. Не имел он понятия и о теории Митчелла Фейгенбаума. В 1977 году Фейгенбаум отправился в лекционное турне, и его открытие заставляло говорить о нем повсюду, где ученые знали, как его интерпретировать. Однако, насколько могло судить большинство физиков, опыты Фейгенбаума и открытые им закономерности не обнаруживали очевидной связи с реальными системами. Эти открытия были сделаны с помощью вычислительной машины. Физические же системы были бесконечно сложнее. В отсутствие дополнительных доказательств самое большее, что можно было сказать, – это что Фейгенбаум открыл математическую аналогию, похожую на зарождение турбулентности.

Либхабер знал про опыты американских и французских ученых, которые существенно ослабили позиции теории Ландау о пороге турбулентности, продемонстрировав, что та возникает не в результате непрерывного наложения различных частот, а при внезапном переходе. Джерри Голлаб, Гарри Суинни и другие исследователи, проведя эксперименты с потоком жидкости во вращающемся цилиндре, выявили необходимость в новой теории, однако им не удалось разглядеть переход к хаосу во всех деталях. Либхабер понимал, что в лабораторных условиях четкий образ порога турбулентности еще не был получен, и надеялся, что частичка жидкости в сконструированной им ячейке даст более ясную картину этого явления.

«Гелий в маленькой коробочке». Искусный эксперимент Альберта Либхабера: в самом сердце системы располагалась тщательно сконструированная прямоугольная ячейка с жидким гелием внутри; крошечные сапфировые болометры измеряли температуру жидкости. Миниатюрная ячейка была помещена в контейнер, призванный защитить ее от посторонних шумов и вибраций и обеспечить точность замеров при нагревании.

Наукой движет специализация. Исследователи гидродинамики, следуя своим представлениям, совершенно справедливо усомнились в высоком уровне точности, который, по утверждению Суинни и Голлаба, был достигнут ими при работе с течением Куэтта – Тейлора. Со своей стороны математики справедливо возмущались Рюэлем. Он нарушил правила, выдвинув амбициозную физическую теорию под видом доказательного математического утверждения, и сделал это так, что отделить предположения от доказательств стало весьма нелегко. Математик, который отказывается принять идею, пока она не будет облечена в традиционную форму теоремы и доказательства, играет по правилам, предписанным его дисциплиной и ставящим заслон на пути подтасовки. Редактор журнала, отвергающий новые идеи, изложенные непривычным стилем, способен навлечь на себя обвинение в защите кастовых интересов авторитетных коллег, тем не менее он также выполняет роль защитного фильтра в обществе, которое не без оснований остерегается неизведанного. Сам Либхабер замечал, что «наука – оружие против нелепости»[256]. Когда коллеги называли его мистиком, характеристика эта далеко не всегда звучала лестно.

Осторожный и дисциплинированный экспериментатор, известный своей точностью в постановке опытов, он обладал чутьем на такое абстрактное, расплывчатое, призрачное явление, как поток. Поток воплощает в себе образ и изменения, движение и форму. Физик, думающий о системе дифференциальных уравнений, назовет их математическое движение потоком. Идея потока восходит еще к Платону, предполагая, что изменения в системах отражают некую реальность, не зависящую от конкретного момента. Либхабер принял мысль Платона о том, что Вселенная полна скрытых форм. «Но мы ведь знаем, что это на самом деле так! Вы же видели листья на деревьях.

Разве вы не поражаетесь тому, что число характерных для них форм ограниченно? Вы можете легко изобразить в общих чертах любой лист. Было бы интересно понять это явление. Или вот другие формы. Например в эксперименте вы наблюдаете, как одна жидкость проникает в другую. – Рабочий стол самого Либхабера был усыпан изображениями подобных опытов, мощных фрактальных разливов жидкости. – А сейчас, включив газ на кухне, вы видите, что пламя принимает ту же универсальную, весьма распространенную форму. Для меня не имеет значения, пламя ли это, или жидкости одна внутри другой, или твердый растущий кристалл. Все, что меня интересует, – это сама форма. В науке еще с восемнадцатого века витали мысли о том, что ученые проходят мимо эволюции формы в пространстве и времени. Думая о потоке, можно представлять его по-разному – как некий поток в экономике или как течение истории. Сначала это течение может быть ламинарным, потом разветвляющимся до более сложного состояния, когда, вероятно, появятся колебания. А потом оно становится хаотичным»[257].

Универсальность форм, подобие сквозь масштабы, повторение и пересечение потоков – все это находилось за пределами стандартного математического подхода, но осознать этот факт было весьма непросто. Научные вопросы формулируются на доступном языке науки, а в XX веке либхаберовское ощущение потока лучше всего было выражено языком поэзии. Например, Уоллес Стивенc, опережая физиков в сверхъестественном видении мира, так описал поток, повторяющий себя в непрестанных изменениях:

Сияющая бликами река, что струится,

Не выбирая дважды один и тот же путь,

То там протекая, то здесь

И всегда на одном оставаясь месте.

Поэзия Стивенса часто передает буйство воздуха и воды. Она также проникнута убеждением, что порядок незримо присутствует в природе:

В воздухе, где нет теней,

Неосязаемое знание разлито повсюду[258].

Когда в 1970-х годах Либхабер и другие экспериментаторы начали изучать движение жидкостей, они делали это так, как если бы восприняли поэтический намек на неощутимое знание. Они подозревали наличие связи между движением и определенной универсальной формой, собирая информацию единственно возможным путем – фиксируя результаты опытов и накапливая их в компьютере. Потом они искали такие способы организации данных, которые позволили бы обнаружить универсальные формы и описать их в терминах движения. Эти ученые были убеждены, что динамические образы, подобные пламени, и органические структуры, такие как листья, обязаны своей формой некоему еще не исследованному сплетению сил. Этим экспериментаторам, которые неустанно пытались уловить хаос, удалось отказаться от представления о реальности как замершей и неподвижной. Они подошли в своих представлениях совсем близко к тому, что Стивене выразил фразой «Зыбко вздымалась массивная зыбь вещества» (хотя даже Либхабер не заходил настолько далеко, чтобы описывать это таким образом)[259]:

То была сила славы, осенявшая вены,

Пока все рождалось, двигалось и исчезало,

Возможно, вдали – превращенье иль пустота,

Зримые превращения летней ночи,

Вытяжка серебра, обретавшая форму,

Но вдруг отринувшая себя самое[260].

Для Либхабера не Стивенc, а Гёте служил источником магического вдохновения. Когда Фейгенбаум рылся в библиотеке Гарварда в поисках «К теории цвета» Гёте, Либхаберу уже удалось пополнить свою коллекцию оригинальным изданием еще более малоизвестного трактата «Опыт о метаморфозе растений».

Он представлял собой коварную атаку на физиков, которых, по мнению Гёте, волновали исключительно статичные процессы, а не жизненные силы и течения, породившие те формы, что мы видим постоянно. Эта часть наследия Гёте – по мнению историков литературы, весьма незначительная – вызвала к жизни псевдонаучные течения в Германии и Швейцарии, поддерживаемые такими философами, как Рудольф Штайнер и Теодор Швенк. Этими людьми Либхабер тоже восхищался, насколько вообще мог восхищаться ученый-физик.

«Чувствительный хаос» – Das sensible Chaos – так определил Швенк соотношение между силой и формой. Это выражение стало названием странной книжицы, повествовавшей прежде всего о воде. Она увидела свет в 1965 году и позднее несколько раз переиздавалась. Английское издание предваряло восторженное предисловие Жак-Ива Кусто, а также рекомендации журналов WaterResourcesBulletin и Journal oftheInstituteofWaterEngineers. Небольшая претензия на научность лишь вредила работе Швенка, в которой, по сути, не было ничего от математики. И все же наблюдения автора можно было назвать безупречными. Он описал множество естественных форм водного течения, увиденных глазами художника. Он собрал фотографии, сделал десятки точных зарисовок, какие делает специалист по клеточной биологии, изучая фрагменты клетки в микроскоп. Швенк отличался непредубежденностью и даже наивностью, какими мог бы гордиться сам Гёте.

Его книга – гимн потокам. Великие реки, подобные Миссисипи, или лагуна Аркашон во Франции образуют огромные изгибы на пути к морю. В самом море извивается Гольфстрим, формируя петли течений, направленные на восток и запад. По выражению Швенка, это гигантская теплая река, которая «сама строит собственные берега из холодных вод»[261]. Когда поток исчезает или становится невидимым, его следы все равно остаются. Потоки воздуха оставляют отметки-волны на песке пустынь. Убывающий прилив вычерчивает на полосе прибоя сеть, похожую на сплетение вен. Швенк не верил в совпадения. Он верил в универсальные принципы, но еще более – в некий дух природы, что делало его прозу тревожно антропоморфной. Его «архетипический принцип» звучит так: поток «стремится к воплощению, не считаясь с окружающей материей»[262].

Внутри потоков – он это знал – существуют второстепенные течения. Вода, которая движется вниз по извилистой реке, образует вторичные потоки. Эти потоки закручиваются вокруг речной оси, устремляются сначала к одному берегу, затем вниз, ко дну, далее поперек реки к другому берегу, потом к речной поверхности, как если бы частица металась по поверхности бублика. Любая частичка воды в реке оставляет след, подобный струне, который переплетается с другими такими же струнами. Швенк обладал топологическим видением таких рисунков: «Образ сплетенных в спираль „нитей“ точен лишь в отношении реального движения. О них говорят многие, однако на самом деле это не отдельные нити, но целые поверхности, пространственно сплетенные и следующие по течению одна за другой»[263]. Автор книги разглядел внутри потоков соревнующиеся ритмы, догоняющие одна другую волны, делящиеся поверхности и пограничные слои. Он видел вихри, водовороты, целые ряды их, воспринимая происходящее как «вращение» одной поверхности над другой. Он подошел так близко к физической концепции турбулентности, как только мог подойти философ. Его художественные убеждения предполагали всеобщность. По Швенку, водовороты означали нестабильность, которая, в свою очередь, знаменовала борьбу потока с «архетипичной» противоположностью внутри него. В представлении Швенка такие процессы, как кружение вихрей, рост папоротников, возникновение складок в горных цепях, образование полых органов животных, следуют одним путем. Они не имеют ничего общего с конкретной средой или с конкретными особенностями. Что бы чему ни противостояло: быстрое – медленному, теплое – холодному, плотное – разреженному, свежее – засоленному, вязкое – жидкому, кислотное – щелочному, – на границе различий расцветает жизнь[264].

Петляющие и закручивающиеся потоки. Теодор Швенк описал течение естественных потоков как «нити» со сложными вторичными потоками. «На самом деле это не отдельные нити, – писал он, – но целые поверхности, пространственно сплетенные…»

Последняя была вотчиной Дарси Вентворта Томпсона. Этот выдающийся натуралист в 1917 году отмечал: «Может случиться, что все законы энергии, все свойства вещества и вся коллоидная химия окажутся столь же бесполезны для объяснения тела, сколь бессильны они в постижении души. Что касается меня, я так не думаю»[265]. Дарси Томпсон привнес в изучение жизни математику – то самое, чего, к сожалению, недоставало Швенку, который строил свои доказательства на аналогиях. Его работа, одухотворенная, образная, энциклопедичная, свелась в конечном счете к выявлению подобия форм. Исследование Дарси Томпсона «О росте и форме» в какой-то мере близко по духу к работе Швенка, его методологии. Современный читатель спросит: стоит ли доверять детальным изображениям падающих капель жидкости, где видны висячие волнистые «усики», придающие каплям удивительное сходство с живыми медузами? Что это, простое совпадение? Если две формы так похожи, стоит ли искать причины этого подобия?

Падающие капли. Дарси Вентворт Томпсон продемонстрировал висячие нити, которые можно увидеть и у попавшей в воду капельки чернил (слева), и у медузы (справа). «Чрезвычайно любопытный результат… показывает, как чувствительны… эти капли к физическим условиям. Используя все время один и тот же желатин и варьируя лишь плотность жидкости в пределах тысячных долей, мы получаем целый ряд конфигураций – от обычной висящей капли до капли с рубчатой поверхностью…»

Дарси Томпсон, безусловно, является наиболее уважаемым биологом из всех, кто когда-либо работал в пограничных областях традиционной науки. Революция в биологии XX века, очевидцем которой он был, совсем не затронула его. Отвергая химию и неверно понимая теорию клетки, он не мог предвидеть быстрое развитие генетики. Его работы даже в его время казались чересчур классическими и литературными, слишком прекрасными, чтобы заслуживать доверия ученых. Биологам наших дней нет нужды читать эти книги, но каким-то образом сочинения Томпсона все же приковали к себе внимание крупных ученых. Питер Медавар назвал его книгу «прекраснейшей в истории науки литературной работой, какая только была написана на английском языке»[266]. Стивен Джей Гулд именно там искал подтверждения собственной крепнущей убежденности, что природа взаимоувязывает формы вещей. Кроме Дарси Томпсона, мало кому из современных биологов приходило в голову искать неопровержимое единство живых организмов. Как выразился Гулд, «очень немногих интересовало, можно ли свести все известные объекты к одной системе производящих сил. И лишь некоторые осознали всю важность доказательства единства для научного изучения органических форм»[267].

Приверженец классицизма, полиглот, математик, зоолог Томпсон пытался рассматривать жизнь как целое, в то время как его коллеги в биологии с большой пользой для себя начинали применять методы, заключавшиеся в разъединении организмов на составляющие функциональные части. Редукционизм торжествовал повсюду, от теории эволюции до медицины, и особенно в молекулярной биологии. Как еще постигнуть живую клетку, если не путем изучения ее мембран и ядра, а более всего белков, ферментов, хромосом и пар оснований? Лишь исследовав внутреннее строение пазух, сетчатки, нервов, тканей мозга, биология заинтересовалась формой черепа. Дарси Томпсон не принимал такого подхода. Долгие годы он оставался последним из великих ученых, направивших свою риторическую энергию на последовательное обсуждение феномена причины, особенно различия между конечной и действенной (или физической) причиной. Конечная причина основана на предназначении или замысле: колесо круглое, поскольку именно такая форма делает возможным передвижение. Физическая причина имеет механическую природу: Земля круглая, так как гравитационные силы стягивают вращающуюся жидкость – и та образует сфероид. Однако не всегда различие столь очевидно. Стакан имеет округлую форму не только потому, что благодаря ей он удобно ложится в руку, – стакан естественным образом принимает подобную форму при изготовлении на гончарном круге или выдувании из стекла.

В науке, как правило, превалируют физические причины. Действительно, когда астрономия и физика вышли на свет из тени религии, телеологические аргументы, аргументы «от замысла» (например, «Земля такова, какова она есть, чтобы человечество могло делать то, что делает») были выброшены за ненадобностью. Однако в рамках биологии Дарвин твердо установил, что телеологии принадлежит главная роль при рассмотрении причины. Биологическая вселенная, может, и не создана по замыслу Творца, но облик ее формируется естественным отбором, который действует не на уровне генов или эмбрионов, а на уровне «конечного продукта». Таким образом, объяснение формы организма или функции отдельного органа потребностями адаптации всегда заостряет внимание на причине – именно конечной, а не физической. Везде, где торжествует дарвиновское мышление, понятие «конечной причины» остается в науке. Современный антрополог, размышляя о каннибализме или ритуальных жертвоприношениях, стремится – правильно или нет – задать вопрос об их цели. Дарси Томпсон, знакомый с таким подходом, настоятельно просил биологов помнить также и о физической причине, рассматривая механизм и телеологию в единстве. Он посвятил себя изучению математической и физической природы сил, которые созидают жизнь. Однако адаптационная теория не сдавала позиций, и подобные идеи казались неуместными. Изучение того, как древесный лист в ходе естественного отбора сделался эффективным приемником солнечной энергии, превратилось в разностороннюю и весьма плодотворную проблему. Лишь намного позже некоторые ученые начали задумываться над тем, что осталось неразгаданным: при всем возможном многообразии существует не так уж много форм листьев, а очертания листа отнюдь не предопределены его назначением.

Математика, доступная Дарси Томпсону, не позволяла доказать то, что ему хотелось. Самое большее, что он мог, – это рисовать. Ученый изображал, в частности, черепа родственных видов животных в сетке координат, демонстрируя, что элементарное геометрическое преобразование превращает один объект в другой. Очертания простых организмов, столь обманчиво схожих со струями жидкости, брызгами и другими порождениями водного потока, он объяснял физическими причинами – действием гравитации и поверхностного натяжения, которые, однако, не могли проделать приписываемую им созидательную работу. Почему же тогда Альберт Либхабер, начиная свои опыты с жидкостью, думал о работе Томпсона «О росте и форме»?

Представления Дарси Томпсона о тех силах, которые придают форму живым объектам, ближе чего угодно еще в биологии подводили к рассмотрению динамических систем. Он мыслил жизнь такой, какая она есть: всегда пребывающей в движении, постоянно реагирующей на ритмы – «скрытые в глубине ритмы роста», которые порождают, по его мнению, универсальные формы[268]. Ученый считал, что исследует не материальные формы вещей, а их динамику – «интерпретацию изменения энергии на языке силы»[269]. Томпсон достаточно ориентировался в математике, чтобы понять: каталогизация форм ничего не доказывает. Но также он был в большой степени поэтом, чтобы поверить, что ни случайность, ни цель не объясняют поразительную универсальность форм, выявленных им за долгие годы наблюдения природы. Объяснение скрывалось в физических законах, которые регулируют силы и рост непостижимым для человеческого разума образом. Снова Платон! За конкретными видимыми формами вещества должны лежать некие призрачные очертания, невидимые лекала. Формы в движении.

Либхабер выбрал для своего эксперимента жидкий гелий, имевший чрезвычайно малую вязкость, благодаря чему вращение жидкости начиналось при малейшем толчке. Аналогичный опыт с текучей средой средней вязкости, вроде воды или воздуха, требовал бы гораздо большей емкости. Низкая вязкость позволяла ученому сделать конструкцию более чувствительной к нагреванию. Для инициирования конвекции в ячейке, размеры которой измерялись миллиметрами, между температурами верхней и нижней поверхностей требовалась разница лишь в тысячную долю градуса. Именно поэтому экспериментатор сделал ячейку столь крошечной; в объеме покрупней, где жидкий гелий мог бы вращаться в большем пространстве, аналогичные движения жидкости потребовали бы еще меньшего нагрева. Так, в ячейке, у которой каждая сторона была бы в десять раз больше, то есть в тысячу раз большей по объему (размером с крупную виноградину), конвекция начиналась бы уже при разнице температур в одну миллионную долю градуса. Подобными ничтожнейшими температурными вариациями нельзя было бы управлять.

Обдумывая ход эксперимента и используемую конструкцию, Либхабер и его помощник стремились исключить любое проявление беспорядочности. Они сделали все возможное, чтобы выделить то самое движение, которое собирались изучать. Перемещение жидкости, начиная от плавного ее течения и заканчивая турбулентностью, представляется как движение в пространстве. Его сложность – это сложность пространственная, его волнения и водовороты – пространственный хаос. Но Либхабер искал такие ритмы, которые проявили бы себя как изменения во времени. Время являлось и полем для опыта, и мерилом. Либхабер как бы «сплющил» пространство почти до одномерной точки и довел до крайнего предела технику, использованную его предшественниками в экспериментах с жидкостью. Все знали, что вращение жидкости в замкнутом объеме – конвекция Рэлея – Бенара в прямоугольной емкости или течение Куэтта – Тейлора в цилиндре – гораздо проще измерить, чем поведение ничем не стесненного потока, например океанских волн или воздушных течений. В открытом потоке пограничная поверхность остается свободной, во много раз увеличивая сложность поведения системы.

Поскольку конвекция в прямоугольном сосуде порождает валики жидкости, похожие формой на хот-дог или, как в данном случае, скорее на семена кунжута, Либхабер сконструировал свою ячейку так, чтобы хватило места для двух валов. Жидкий гелий должен был подняться в центре, а затем, образовав левый и правый валики, спуститься вниз по стенкам ячейки. Предполагалось, что, поскольку процесс пойдет в замкнутом пространстве, колебания будут ограниченными. Четкие линии и взвешенные пропорции обещали устранить любые помехи. Словом, Либхабер «заморозил» пространство так, чтобы можно было играть со временем.

Как только процесс будет запущен и жидкий гелий начнет вращаться внутри ячейки, помещенной в вакуумный контейнер внутри емкости с азотом, экспериментатору нужно будет каким-то образом наблюдать за происходящим. Поэтому Либхабер встроил два микроскопических температурных датчика в верхнюю сапфировую пластину, покрывавшую ячейку. Графопостроитель непрерывно фиксировал их показания. Таким образом ученый контролировал температуру в двух точках на верхней поверхности жидкости. Это было настолько чувствительное и изящное устройство, что, по замечанию одного из физиков, Либхаберу удалось обмануть природу[270].

Эксперименты с миниатюрным сверхточным шедевром заняли два года, но, по признанию создателя, для его полотна то была самая подходящая кисть, достаточно удобная и не громоздкая. Он наконец увидел все. Проводя свой опыт днем и ночью, час за часом, Либхабер обнаружил на пороге турбулентности более запутанное поведение, чем мог себе представить. Появился целый каскад удвоений периодов. Либхабер ограничил и изолировал движение жидкости, поднимающейся при нагревании. Было установлено, что процесс начинается с первой бифуркации. Движение запускается сразу же, как только нижняя пластина из чистой меди нагревается достаточно, чтобы вывести жидкость из состояния покоя. При температуре на несколько градусов выше абсолютного нуля для этого требовалась лишь одна тысячная доля градуса. Жидкость на дне ячейки, нагреваясь, расширяется и становится легче прохладной жидкости на поверхности. Чтобы дать теплым нижним слоям вещества подняться, верхние, более холодные, должны «утонуть» – опуститься вниз. В процессе такого перемещения в жидкости образуются два вращающихся «цилиндра». Как только скорость вращения стабилизируется, в системе устанавливается динамическое равновесие. Тепловая энергия постоянно переходит в энергию движения, а затем, через трение, обратно в теплоту, которая рассеивается через прохладную верхнюю пластину.

До этого момента Либхабер воспроизводил настолько широко известный в гидродинамике опыт, что к нему уже относились с пренебрежением. «Это была классическая физика, – замечал ученый, – что, к несчастью, означало: старо, а значит, неинтересно»[271]. Он рассматривал точно такой же поток, какой смоделировал Лоренц на базе системы из трех уравнений. Однако реальный опыт – проводившийся с реальной жидкостью, в ячейке, сконструированной инженером, в лаборатории, куда проникают вибрации с забитых транспортом улиц Парижа, – делал сбор данных проблемой куда более сложной, чем генерирование чисел с помощью компьютера.

Либхабер, как и другие подобные ему экспериментаторы, для записи показаний температурных датчиков, встроенных в пластину над ячейкой, использовал простой графопостроитель. В состоянии равновесия, после первой бифуркации, температура в любой точке оставалась более или менее постоянной – и перо чертило прямую линию. С увеличением нагрева обнаруживалась бо́льшая нестабильность. В каждом витке появлялся узел, который равномерно двигался взад и вперед, и такое его перемещение выявляло колебания температуры между двумя значениями – верхним и нижним. В этот период перо графопостроителя чертило на бумаге волнистую линию.

По одной непрерывно меняющейся и дрожащей от помех линии температур выяснить точное время появления новых бифуркаций или установить их природу невозможно. График образует беспорядочные подъемы и спады, которые кажутся почти такими же случайными, как и кривые продаж переживающего лихорадку фондового рынка. Либхабер проанализировал полученные данные, построив на их основе спектральные диаграммы. Он намеревался выявить главные частоты, скрытые в меняющихся значениях температуры. Создание спектральной диаграммы на основе экспериментальных данных похоже на построение графика звуковых частот, составляющих сложные аккорды симфонии. Внизу такого графика всегда проходит сбивчивая, дрожащая линия – фон, экспериментальные шумы. Главные тона проявляются как вертикальные пики: чем громче звук, тем выше пик. Сходным образом, если данные воспроизводят доминантную частоту, например, ритм пульсирует раз в секунду, эта частота тоже будет выглядеть на спектральной диаграмме как пик.

В эксперименте Либхабера период первой появившейся волны составлял около двух секунд, а следующая бифуркация привела к некоторым изменениям. Вал в жидкости продолжал колебаться, температура, показываемая болометром, продолжала расти и падать с определенной цикличностью, но на нечетных циклах стала чуть выше, чем была раньше, а на четных – чуть ниже. Фактически предельное значение температуры расщепилось, образовав два различных максимума и два минимума. Вычерчиваемая графопостроителем линия, весьма сложная для интерпретации, фиксировала как бы одно колебание поверх другого, своего рода «метаколебание». На спектральной диаграмме описанный эффект выглядел четче. Прежняя частота еще в значительной мере присутствовала, ведь температура, как и раньше, увеличивалась каждые две секунды. Однако теперь появилась новая частота – ровно вдвое меньше прежней, поскольку в системе проявился некий повторяющийся каждые четыре секунды компонент[272]. По мере того как происходили новые и новые бифуркации, стало возможно различить необычайно устойчивый рисунок: новые частоты были вдвое меньше предыдущих. Диаграмма с четвертыми, восьмыми и шестнадцатыми долями уже напоминала забор, в котором чередовались высокие и низкие рейки.

Человек, ищущий в беспорядочной информации скрытые формы, должен проделать один и тот же опыт десятки и сотни раз, прежде чем начнут проясняться закономерности в поведении крошечной ячейки. Когда Либхабер и его помощник постепенно увеличивали температуру и система переходила от одного состояния равновесия к другому, порой наблюдались весьма специфичные явления. Иногда появлялись промежуточные частоты, плавно скользившие по спектральной диаграмме и вскоре исчезавшие. Иногда изменялась наблюдаемая геометрия – и вместо двух валиков жидкости появлялось три. И как в такой ситуации понять, что же на самом деле происходит внутри маленькой стальной ячейки?

Два способа наблюдения бифуркаций. Когда в опыте, подобном тому, который поставил Либхабер, наблюдаются устойчивые колебания, их образ в фазовом пространстве представляет собой петлю, повторяющую саму себя через равные промежутки времени (вверху слева). Экспериментатор, строящий спектральную диаграмму, увидит тогда один высокий пик для данной частоты (внизу слева). После бифуркации удвоения периода система уже дважды образует петлю, прежде чем повторит сама себя (вверху в центре), а ученый видит еще и новый пик, соответствующий половине прежней частоты, или удвоенному прежнему периоду (внизу в центре). Новые удвоения периодов наделяют спектральную диаграмму все большим и большим числом пиков (справа).

Знай тогда Либхабер об открытии Фейгенбаумом универсальности, он бы точно представлял, где искать нужные бифуркации и как их называть. К 1979 году все больше математиков и сведущих в математике физиков обращали внимание на новую теорию Фейгенбаума, но в массе своей ученые, знакомые с трудностями изучения реальных физических систем, считали, что у них есть веские основания воздерживаться от каких-либо определенных суждений на сей счет. В одномерных системах вроде тех, которые исследовали Мэй и Фейгенбаум, сложность – это одно, но в двух-, трех– или четырехмерных системах реальных механизмов, конструируемых инженерами, – совсем другое. Для ее описания требуются не просто разностные, а громоздкие дифференциальные уравнения. Более того, еще одна пропасть отделяла низкоразмерные системы от систем жидкостных потоков, которые физики рассматривали как системы с потенциально бесконечным числом измерений. Даже ячейка Либхабера, столь искусно сработанная, содержала, по сути, несметное число частиц жидкости, и каждая из них обладала как минимум возможностью двигаться независимо. А значит, при определенных обстоятельствах любая частица могла стать источником нового изгиба или вихря.

«Никто и не помышлял, что нужное нам основное движение в подобной системе упрощается и описывается отображениями», – признался Пьер Хоэнберг из лабораторий AT amp;T Bellв Нью-Джерси[273]. Он входил в число тех немногих физиков, которые доверяли как новой теории, так и связанным с ней экспериментам. «Фейгенбаум, может быть, и мечтал о таком, но не высказывал своих мечтаний вслух. Его работа была посвящена отображениям. Почему они должны интересовать физиков? Забава, не более того… Пока шли игры с отображениями, все казалось слишком далеким от того, что мы действительно стремились понять. Но когда теория подтвердилась на практике, она нас не на шутку взволновала. Самое удивительное заключается в том, что, исследуя по-настоящему интересные системы, все равно можно в деталях понять их поведение при помощи модели с малым числом степеней свободы».

В конце концов, именно Хоэнберг познакомил экспериментатора и теоретика. Летом 1979 года он организовал семинар в Аспене, на котором побывал и Либхабер. (Четырьмя годами ранее, на такой же летней встрече, Фейгенбаум слушал доклад Стива Смейла о числе – всего лишь числе, – которое возникло, когда математик наблюдал переход к хаосу в определенном уравнении.) Когда Либхабер описал свои опыты с жидким гелием, Хоэнберг взял их на заметку. По пути домой он заглянул в Нью-Мексико повидаться с Фейгенбаумом. Вскоре после этого Фейгенбаум посетил Либхабера в Париже. Ученые стояли посреди беспорядочно разбросанных деталей и инструментов в лаборатории Либхабера, и тот с гордостью продемонстрировал свою миниатюрную ячейку, дав Фейгенбауму возможность разъяснить последний вариант своей теории[274]. Затем они вместе бродили по Парижу в поисках хорошей кофейни, и позже Либхабер вспоминал, как был удивлен, увидев столь молодого и, как он выразился, «живого» ученого-теоретика.

Реальные данные, подтверждающие теорию. Спектральные диаграммы Либхабера наглядно показали точный рисунок удвоения периодов, ранее предсказанный теоретически. Всплески новых частот отчетливо выделялись на фоне экспериментальных шумов. Теория масштабирования Фейгенбаума предсказывала не только когда и где появятся новые частоты, но также и насколько высокими будут пики.

Переход от отображений к реальным потокам жидкости казался настолько значительным достижением, что даже самые щепетильные ученые восприняли его как чудо. Каким образом природа смогла сочетать крайнюю сложность с предельной простотой, не понимал никто. Джерри Голлаб предложил «рассматривать это не как обычную связь между теорией и опытом, а как некое волшебство»[275]. И это волшебство в течение нескольких лет повторялось снова и снова в огромном бестиарии лабораторных систем: в увеличенных в размерах ячейках с водой и ртутью, электронных осцилляторах, лазерах и даже в химических реакциях[276]. Теоретики, восприняв методы Фейгенбаума, обнаружили и иные математические пути к хаосу, родственные удвоению периодов, – перемежаемость и квазипериодичность, которые тоже доказали свою универсальность как в теории, так и в опытах.

Открытия ученых помогли начаться эре компьютерных экспериментов. Физики обнаружили, что вычислительные машины воспроизводят изображения, аналогичные тем, что наблюдаются в реальных опытах, только в миллионы раз быстрее и куда надежнее. Многим еще более убедительной, нежели результаты Либхабера, казалась жидкостная модель Вальтера Франческини из Университета Модены (Италия) – система из пяти дифференциальных уравнений, генерировавшая аттракторы и удвоение периодов[277]. Хотя Франческини ничего не знал о Фейгенбауме, его сложная модель с большим числом измерений выдавала те же постоянные, которые Фейгенбаум вычислил с помощью своих одномерных отображений. В 1980 году группа европейских ученых выработала довольно убедительное математическое объяснение феномена: диссипация «опорожняет» сложную систему, устраняя множество противодействующих движений и фактически преобразуя поведение множества измерений в одно[278].

Тем не менее поиски странного аттрактора не в компьютерных, а в реальных экспериментах с жидкостью еще не увенчались успехом, так что исследователи вроде Гарри Суинни не оставляли своих трудов и в 1980-х годах. Когда наконец цель была достигнута, некоторые новоиспеченные компьютерные эксперты постарались преуменьшить значение полученных результатов, объявив их лишь приблизительным и предсказуемым подражанием тем великолепным детальным картинам, которые уже были созданы графическими терминалами. В компьютерном эксперименте, когда генерируются тысячи или миллионы точек, характерные узоры сами собой приобретают более или менее ясные очертания. В лаборатории же, как и в реальном мире, нужную информацию необходимо отделять от шумов. В компьютерном эксперименте данные льются как из рога изобилия, а в лаборатории приходится сражаться за каждую каплю.

Однако новые теории Фейгенбаума и других исследователей не привлекли бы внимания столь широкого круга ученых, будь они подкреплены одними только компьютерными экспериментами. Модификации, компромиссы и аппроксимации, необходимые для того, чтобы адаптировать под компьютерные возможности системы нелинейных уравнений, казались слишком сомнительными. В процессе моделирования пространство «разбивали» на огромное, но всегда казавшееся недостаточным число фрагментов, а сама компьютерная модель представлялась лишь совокупностью правил, выбранных программистами. В отличие от такой модели, реальная жидкость, даже в крохотной ячейке миллиметровых размеров, обладает несомненной способностью к совершенно свободному, ничем не сдерживаемому движению, составляющему основу естественного беспорядка. Она может удивить.

В эпоху виртуальных построений, когда суперкомпьютеры создают модели потоков в любых системах, начиная от реактивных турбин и заканчивая сердечными клапанами, забываешь, как легко природа может поставить экспериментатора в тупик. Фактически ни один компьютер сегодня не в состоянии полностью имитировать даже такую несложную систему, как ячейка с жидким гелием Либхабера. Всякий раз, когда опытный физик изучает компьютерную модель, он вынужден задаваться вопросом, какая часть действительности не учтена и какие проблемы это сулит. Либхабер любил повторять, что не рискнул бы пуститься в дорогу на виртуальном самолете – кто знает, какой детали в нем недостает? Более того, он замечал, что компьютерные модели помогают строить интуитивные догадки или совершенствовать вычисления, но не становятся источником подлинных открытий. Во всяком случае, так звучало кредо истинного экспериментатора. Опыт Либхабера казался столь безукоризненным, а научные цели – столь абстрактными, что находились физики, относившие его работу больше к философии или к математике, нежели к физике. Экспериментатор, в свою очередь, полагал, что в его дисциплине господствуют редукционистские стандарты, отдающие пальму первенства изучению свойств атомов.

«Физик спросит: как может данный атом, появившись здесь, обосноваться там? Какова чувствительность к воздействию на поверхность? Можно ли написать гамильтониан системы? Если я отвечу, что меня интересует лишь сама форма, ее математика и эволюция, бифуркация, переход к другой форме, возвращение к рассматриваемой, он заявит, будто я занимаюсь не физикой, а математикой. Даже сегодня я слышу такие утверждения. Что я могу сказать на это? Да, конечно, я занимаюсь математикой, но она имеет прямое отношение к тому, что происходит вокруг нас, и это тоже проявление природы»[279].

Обнаруженные Либхабером закономерности действительно были абстрактными, математическими и ничего не проясняли в свойствах жидкого гелия, меди или в поведении атомов при температуре, близкой к абсолютному нулю. Но именно об обнаружении таких закономерностей мечтали мистически настроенные предшественники Либхабера. Эти закономерности узаконили эксперименты, которыми вскоре займутся многие ученые – от химиков до инженеров-электронщиков – в поисках новых элементов движения. Закономерности обнаружились, когда Либхабер, увеличив температуру, сумел выделить первое удвоение периодов, а затем еще одно, и еще. Согласно новой теории, бифуркации должны были воспроизводить геометрию с точным масштабированием, что и обнаружил Либхабер. Универсальные константы Фейгенбаума с этого мгновения превращались из математического идеала в физическую реальность, которую можно было измерить и воспроизвести. Либхабер долго вспоминал потом свои ощущения в тот сверхъестественный миг, когда он наблюдал одну бифуркацию за другой и понял, что перед ним бесконечный каскад изменений с богатейшей структурой. Это было, как он выразился, занятно.

Глава 8

Образы хаоса

Что еще, как не хаос, взывает к внутренним силам, Дабы придать форму единственному листку…

Конрад Эйкен

Комплексная плоскость. Сюрприз метода Ньютона. Множество Мандельброта: нити и спирали. Искусство и коммерция встречаются с наукой. Фрактальные границы бассейнов. “Игра хаоса”.

Математик Майкл Барнсли встретил Митчелла Фейгенбаума на конференции на Корсике в 1979 году[280]. Барнсли, недавний выпускник Оксфорда, только-только познакомился с понятием универсальности, удвоением периодов и бесконечным каскадом бифуркаций. «Отличная идея, – подумал он. – И конечно, все набросятся на нее, чтобы отхватить кусочек». Себе Барнсли тоже присмотрел кусочек, не замеченный еще ни одним из конкурентов.

Откуда происходили эти циклы: 2, 4, 8, 16, – эти последовательности Фейгенбаума? Появлялись ли они, будто по мановению волшебной палочки, из математической пустоты или содержали в себе намек на нечто более глубокое? Барнсли интуитивно чувствовал, что они часть какого-то невероятного фрактального объекта, ускользавшего до сих пор из поля зрения ученых.

Для проверки идеи уже имелся математический аппарат – комплексная плоскость. На этой плоскости числа от минус бесконечности до плюс бесконечности, то есть все действительные числа, лежат вдоль линии, которая тянется с запада на восток, а ноль располагается в середине. Но данная линия – лишь экватор мира, простирающегося до бесконечности на север и на юг. Каждое число состоит из двух частей: действительной, соответствующей долготе, и мнимой, соответствующей широте. Эти комплексные числа условно записываются следующим образом: 2 + 3i, где ί обозначает мнимую часть. Обе части сообщают каждому числу уникальное местоположение на двумерной плоскости. Первоначальная линия действительных чисел, таким образом, является лишь частным случаем – совокупностью чисел, мнимая часть которых равна нулю. Находясь в комплексной плоскости, рассматривать только действительные числа (точки экватора) – значит ограничивать свое поле зрения случайными пересечениями форм, которые могут открыть нечто новое, если посмотреть на них в двух измерениях. Так полагал Барнсли.

Понятия «действительный» и «мнимый» в отношении чисел возникли в те времена, когда обычные числа казались более «настоящими», чем новый «гибрид». Сейчас любой ученый сознает, что названия эти произвольны: и действительные, и мнимые числа являются «настоящими» или «воображаемыми» в той же степени, что и любые другие числа[281]. Прежде мнимые числа использовались для заполнения умозрительного вакуума, порождаемого вопросом: чему равен квадратный корень из отрицательного числа? Люди договорились обозначать квадратный корень из −1 через i, квадратный корень из −4 – через 2i и так далее. После этого оставалось совсем немного, чтобы понять, что сочетание действительных и мнимых чисел позволяет производить новые типы вычислений с полиномиальными уравнениями. Комплексные числа можно складывать, умножать, делить, усреднять, раскладывать на множители, интегрировать[282]. Словом, почти каждое вычисление с действительными числами удается проделать и с комплексными. Итак, Барнсли начал переводить функции Фейгенбаума в комплексную плоскость, и тут он заметил очертания удивительного семейства форм. Они относились, по-видимому, к тем динамическим идеям, которые интересовали физиков-экспериментаторов, и одновременно были поразительными математическими конструкциями.

В конце концов Барнсли понял, что циклы в последовательностях Фейгенбаума возникают не на пустом месте. Они попадают на вещественную прямую с комплексной плоскости, где, если приглядеться, существует целое «созвездие» циклов всех порядков. Там всегда присутствуют циклы с периодами два, три, четыре, ускользавшие из виду до тех пор, пока они не достигнут вещественной прямой. Вернувшись с Корсики в Технологический институт Джорджии, Барнсли написал статью и отправил ее в журнал Communications in Mathematical Physics в надежде на публикацию. Редактор, коим оказался Давид Рюэль, огорчил его: Барнсли, сам того не зная, повторил открытие пятидесятилетней давности, которое сделал один французский математик. «Рюэль отфутболил мою работу, сопроводив ее припиской: „Майкл, здесь речь идет о множествах Жюлиа“», – вспоминал позже Барнсли[283].

Рюэль также посоветовал математику связаться с Мандельбротом.

Джон Хаббард, американский математик, обожавший модные смелые рубашки, уже три года преподавал начала математического анализа первокурсникам в университете Орсе во Франции[284]. Среди прочих привычных тем в учебный план входило рассмотрение метода Ньютона – классической схемы решения уравнений путем последовательных приближений. Хаббарда, впрочем, привычные темы немного утомляли, и однажды он решил, что преподнесет вопрос в такой форме, которая заставит студентов поразмыслить.

Метод Ньютона известен давно. Он не отличался новизной даже тогда, когда был «изобретен» самим Ньютоном. Древние греки применяли один из вариантов этого метода для извлечения квадратных корней. Решение начинается с догадки, которая приводит к более точной догадке, – и процесс последовательных итераций устремляется к ответу, подобно тому как динамическая система стремится обрести устойчивое состояние. Процесс идет достаточно быстро, и количество верных цифр после запятой, как правило, удваивается с каждым шагом. Конечно, сейчас квадратные корни вычисляют более аналитическими методами, как и все корни квадратных уравнений – тех, в которых неизвестное χ возводится в степень не выше второй. Но метод Ньютона является действенным и для полиномиальных уравнений более высоких степеней, которые не могут быть решены аналитически. Он прекрасно подходит для множества компьютерных алгоритмов – ведь итерационные процедуры, как никакие другие, могут быть успешно выполнены на вычислительной машине. Одним маленьким недостатком этого метода можно считать лишь то, что уравнения обычно имеют более одного корня, особенно если искать их также среди комплексных чисел. Какое именно решение будет найдено с помощью метода итераций, зависит от первоначальной догадки. На практике студенты не испытывают по этому поводу больших затруднений. Обычно у вас есть какое-то представление, с чего начать, а если выбранная стартовая точка приводит к неверному решению, то вы просто начинаете с какой-нибудь другой точки.

Возникает вопрос: каким именно путем метод Ньютона приводит к корням квадратного уравнения на комплексной плоскости? Рассуждая геометрически, на этот вопрос можно ответить так: метод позволяет отыскать тот из двух корней, который ближе к первоначальной догадке. Именно это Хаббард и объяснил своим студентам, когда однажды ему задали такой вопрос. «Уравнения, скажем, третьей степени решаются сложнее, – заметил он. – Я подумаю над этим и расскажу вам через неделю»[285].

Он по-прежнему полагал, что наибольшую трудность для студентов будет представлять итерационный процесс, но никак не выбор начальной догадки[286]. Однако чем больше Хаббард размышлял на эту тему, тем менее определенным казалось то, что же следует считать разумной догадкой или к чему на самом деле приводит метод Ньютона. Очевидным геометрическим решением было бы разделение плоскости на три равных сектора, похожих на куски пирога, в каждом из которых находилось бы по одному корню. Однако, как выяснил Хаббард, идея не срабатывала: около границ секторов происходили весьма странные вещи. Кроме того, выяснилось, что он далеко не первый математик, споткнувшийся на этом неожиданно сложном вопросе. Так, в 1879 году Артур Кейли уже пытался перейти от вполне понятных уравнений второй степени к пугающе сложным уравнениям третьей степени. Но столетие спустя Хаббард имел в своем распоряжении то, чего недоставало Кейли.

Хаббард относился к числу тех математиков, которые, уважая точность, презирали всяческие догадки, аппроксимации и полуправду, основанную скорее на интуиции, нежели на доказательстве. Даже спустя двадцать лет после появления в литературе упоминания об аттракторе Лоренца он продолжал настаивать на том, что фактически никто не знает, есть ли в соответствующей системе странный аттрактор, или нет. Это представлялось ему лишь недоказанным предположением, а знакомая двойная спираль, по его утверждению, была не доказательством, а не более чем свидетельством, нарисованным компьютером.

Но сейчас, вопреки себе, Хаббард все-таки обратился к компьютеру, чтобы выполнить то, что общепринятые методы обошли стороной. Компьютер не доказал бы ничего, но, по крайней мере, мог бы кое-что прояснить, чтобы математик понял, что именно ему предстоит доказать. Итак, Хаббард начал экспериментировать, рассматривая метод Ньютона не как средство решения задач, а как саму задачу. Он взял в качестве примера простейшее кубическое уравнение х^3−1 = 0, при решении которого требуется найти кубический корень из единицы. В случае с действительными числами решение вполне тривиально – единица. Однако данный многочлен имеет также два комплексных корня: −½ + i√3/2 и −½ − i√3/2. Нанесенные на комплексную плоскость, эти три корня образуют равносторонний треугольник, одна вершина которого находится на трех часах, другая – на семи и третья – на одиннадцати. Вопрос заключается в том, чтобы выбрать в качестве начальной точки произвольное комплексное число и увидеть, какое именно из этих трех решений даст вычисление по методу Ньютона. Это все равно что рассматривать данный метод как динамическую систему, а три решения – как три аттрактора. Или представить комплексную плоскость в виде гладкой поверхности, спускающейся к трем углублениям. Мраморный шарик, начав скатываться с любой точки на плоскости, приведет в одну из долин. Но в какую?

Хаббард приступил к рассмотрению бесконечного числа точек, составляющих плоскость. Его компьютер переходил от точки к точке, применял метод Ньютона к каждой из них и раскрашивал ее в зависимости от результата. Те начальные точки, которые вели к первому решению, были отмечены синим, точки, генерировавшие второе решение, – красным, а те, что давали третий результат, – зеленым. Математик заметил, что в самом грубом приближении динамика метода Ньютона действительно делила плоскость на три сектора. Как правило, точки, близкие к определенному решению, быстро вели прямо к нему. Тем не менее систематическое компьютерное исследование выявило сложную скрытую организацию, недоступную математикам прошлого, которым под силу было лишь изучить несколько точек тут и там. В то время как некоторые начальные точки быстро приводили к одному из корней, другие словно «прыгали» рядом с ним совершенно произвольно, пока не приближались наконец к решению. Иногда казалось, что точка может стать началом периодического цикла, который будет повторяться бесконечно, не достигая ни одного из трех возможных корней.

Когда Хаббард запустил компьютер, намереваясь более детально исследовать пространство, начала вырисовываться картина, которая сбила с толку и преподавателя, и его студентов. Например, вместо аккуратного «гребня» между синей и красной долинами математик увидел пятна зеленого цвета, соединенные словно бусины ожерелья. Это выглядело так, будто шарик, попавший в ловушку на стыке двух соседних долин, остановился в третьей, самой отдаленной. Граница между двумя цветами никогда не формировалась полностью, и при увеличении линия между зеленым пятном и синей областью включала в себя вкрапления красного цвета[287]. И так повторялось снова и снова. Линия границы в конце концов открыла Хаббарду особое свойство, которое показалось бы весьма странным даже человеку, знакомому с жуткими фракталами Мандельброта: ни одна из точек не разделяет только два цвета. Где бы два цвета ни старались соединиться, там всегда появляется третий, порождая целые ряды самоподобных проникновений. Непостижимо, но каждую пограничную точку окаймляли зоны всех трех цветов.

Бесконечно сложные границы. Когда пирог разделен на три части, все эти части соприкасаются разом только в одной точке, а границы между любыми двумя из них выглядят простыми. Но многие процессы в абстрактной математике и физике реального мира создают невообразимо сложные границы. На представленном слева вверху рисунке метод Ньютона, примененный для нахождения кубического корня из −1, делит плоскость на три равные части, одна из которых закрашена белым. Все белые точки «притягиваются» к корню, лежащему в самой большой белой части; все черные точки «притягиваются» к одному из двух других корней. У границы есть особое свойство: каждая точка на ней граничит со всеми тремя частями. И, как показывают рисунки справа и внизу, при увеличении фрагменты этой границы обнаруживают фрактальную структуру, повторяющую основной рисунок во все меньшем и меньшем масштабе.

Хаббард начал изучать обнаруженные сложные формы и обдумывать значение этого открытия для математики. В результате его работа, а также исследования коллег ознаменовали собой новую попытку разрешить проблемы динамических систем. Ученому стало ясно, что изображения, построенные с помощью метода Ньютона, принадлежат целому семейству еще не открытых изображений, отражающих действия сил в реальном мире. Майкл Барнсли столкнулся с другими фрагментами такого же рода, а Бенуа Мандельброт, как вскоре поняли и Хаббард, и Барнсли, обнаружил прародителя всех этих форм.

Множество Мандельброта, как любят повторять его почитатели, является наиболее сложным объектом во всей математике[288]. Чтобы увидеть его полностью – круги, усыпанные колючими шипами, спирали и нити, завивающиеся наружу и кругом, с выпуклыми пестрыми молекулами, висящими, словно виноградины на личной лозе Господа Бога, – не хватит и вечности. Если разглядывать это множество в цвете на подходящем экране, оно кажется более фрактальным, нежели сами фракталы, настолько оно сложно устроено при любом масштабировании. Построение каталога различных составляющих элементов или числовое описание очертаний этого множества потребует бесконечного количества данных. Однако, как это ни парадоксально, для передачи по линии связи его полного описания хватит нескольких десятков строчек кода: в короткой компьютерной программе содержится достаточно информации, чтобы воспроизвести все множество целиком. Догадавшиеся первыми, каким образом в нем смешиваются сложность и простота, были застигнуты врасплох – как и сам Мандельброт. Для широкой публики множество Мандельброта превратилось в эмблему хаоса. Оно замелькало на глянцевых обложках сборников тезисов конференций и инженерных ежеквартальных журналов и сделалось украшением выставки компьютерного искусства, показанной во многих странах в 1985–1986 годах. Его красота ощущалась сразу. Гораздо труднее было уловить математический смысл. Ученые долго вникали в его суть.

Много различных фрактальных изображений можно получить с помощью итераций в комплексной плоскости, но множество Мандельброта – единственное и неповторимое. Смутное и призрачное, оно начало вырисовываться, когда ученый попытался сделать какие-то общие выводы о классе фигур, известных как множества Жюлиа. Множества эти были открыты и изучены еще во время Первой мировой войны французскими математиками Гастоном Жюлиа и Пьером Фату, работавшими без каких бы то ни было компьютерных изображений. Мандельброт познакомился с их скромными рисунками и прочитал их работу, уже канувшую в безвестность, когда ему было двадцать лет. Именно множества Жюлиа во всем разнообразии обличий оказались тем, что поставило в тупик Барнсли. Некоторые из множеств Жюлиа похожи на круги, проколотые и деформированные во многих местах, что придает им фрактальную структуру, другие разбиты на зоны, а некоторые представляют собой россыпь пылинок. Для их описания не подходят ни обычные слова, ни понятия евклидовой геометрии. Французский математик Адриан Дуади заметил: «Получив непредсказуемо многоликие образы множеств Жюлиа, мы видим, что одни выглядят словно пухлое облако, другие представляют собой тощий куст ежевики, третьи похожи на искорки, плывущие в воздухе после фейерверка. Один объект напоминает кролика, и многие имеют хвосты, как у морских коньков»[289].

В 1979 году Мандельброт понял, что может создать в пределах комплексной плоскости один образ, который послужит своего рода каталогом множеств Жюлиа, ориентиром для каждого из них[290]. Тогда он изучал итерационные решения квадратных и тригонометрических уравнений (последние включали функции синуса и косинуса). Даже построив всю свою интеллектуальную карьеру вокруг гипотезы, что простота порождает сложность, он отнюдь не сразу осознал, насколько необычным был объект, возникший на экранах его компьютеров в IBM и Гарварде. Он пытался добиться от программистов большей детальности изображения, и они бросили силы на то, чтобы эффективно перераспределить загруженную память и получить новые интерполяции точек на машине IBM с ее черно-белым дисплеем низкого разрешения. Вдобавок ко всему им приходилось следить за тем, чтобы не попасть в известную компьютерщикам ловушку артефактов, возникающих из-за сбоя в работе машины и исчезающих при изменении программы, что еще больше осложняло дело.

Примеры множеств Жюлиа.

Мандельброт обратился к простейшему отображению, запрограммировать которое не составляло труда. На грубо набросанной координатной сетке, где программа делала лишь несколько итераций, возникли первые контуры дисков. Некоторые проделанные вручную расчеты показали, что с математической точки зрения те вполне реальны и не являются некими вычислительными странностями. Справа и слева от главных дисков появлялись другие неясные очертания. Как позже вспоминал сам Мандельброт, воображение нарисовало ему нечто большее – целую иерархию форм, где от атомов, словно ростки, отпочковываются все новые и новые атомы, и так до бесконечности. А там, где система пересекала действительную ось, ее уменьшающиеся с каждым разом диски подчинялись определенному масштабированию с геометрической регулярностью, которую ученые, занимающиеся динамическими системами, определяют сейчас как последовательность бифуркаций Фейгенбаума.

Эти исследования подтолкнули Мандельброта к продолжению работы и совершенствованию первых черновых изображений. Вскоре он обнаружил некие включения, собиравшиеся по краям дисков и «плававшие» в близлежащем пространстве. Продолжая рассчитывать мельчайшие детали, Мандельброт вдруг почувствовал, что удача покинула его: вместо того чтобы становиться четче, картины делались лишь все более запутанными[291]. Тогда он направился обратно в исследовательский центр IBM в Уэстчестере в надежде попытать удачи на компьютерах корпорации в частном порядке, чего не мог позволить себе в Гарварде. К удивлению Мандельброта, нарастание путаницы в изображениях говорило о чем-то реальном. Отростки и завитки медленно отделились от основного островка, и возникла кажущаяся однородной граница, которая распадалась на цепочку спиралей, напоминавших хвосты морского конька. Иррациональное породило нечто рациональное.

Множество Мандельброта являет собой набор точек, и каждая точка комплексной плоскости – иными словами, каждое комплексное число – или входит в это множество, или находится за его пределами. Определить границы множества можно путем проверки каждой точки с помощью простого итерационного процесса. Для этого необходимо, выбрав комплексное число, возвести его в квадрат, прибавить результат к первоначальному числу, итог вновь возвести в квадрат, вновь прибавить результат к первоначальному числу – и так далее, снова и снова. Если полученное число стремится к бесконечности, значит, точка не входит в множество Мандельброта. Если же итог имеет предел (может быть «пойман» какой-нибудь из повторяющихся петель или хаотично блуждать), то в таком случае точка принадлежит множеству.

Множество Мандельброта.

Повторение процедуры неопределенное число раз и постоянная проверка того, бесконечен ли ее результат, напоминает процессы обратной связи в повседневной жизни. Представьте, что вы настраиваете в аудитории микрофон, усилители и динамики. Вас беспокоит, не возникнут ли пронзительные завывания при обратной связи. Если микрофон «услышит» достаточно громкий сигнал, усиленный динамиками звук достигнет его и породит бесконечные, еще более громкие отклики. С другой стороны, если звуки слабы, они просто затухнут. Чтобы построить модель процесса обратной связи, необходимо выбрать начальное число, умножить его само на себя, затем вновь умножить получившееся число само на себя, и так далее. Мы обнаружим, что большие числа быстро приведут к бесконечности: го, гоо, 10 000… Маленькие же числа устремятся к нулю: 1/2, 1/4, 1/16… Чтобы построить геометрическое изображение, определим совокупность численных значений, при подстановке которых данное уравнение не стремится к бесконечности. Рассмотрим точки на прямой от нуля и больше. Если точка ведет к визгу в микрофоне из-за эффекта обратной связи, закрасим ее белым цветом, а остальные точки – черным. Вскоре у нас появится изображение в виде линии, черной от нуля до единицы.

Появление множества Мандельброта. В первых нечетких распечатках с компьютера, сделанных Бенуа Мандельбротом, структура проявилась в своих основных очертаниях, которые становились тем детальнее, чем точнее производились компьютерные вычисления. Были ли похожие на артефакты плавающие «молекулы» изолированными островками? Или же они были прикреплены к основному объекту некими нитями, слишком тонкими, чтобы быть увиденными? Ответы на эти вопросы были неизвестны.

При исследовании одномерного процесса нет необходимости прибегать к эксперименту. Достаточно просто установить, что числа больше единицы уходят на бесконечность, а остальные – нет. Но чтобы понять, как выглядит форма, порожденная итерационным процессом на комплексной плоскости, в двух измерениях, знать уравнение, как правило, недостаточно. В отличие от традиционных геометрических форм, таких как окружности, эллипсы и параболы, множество Мандельброта не допускает никаких упрощений. Определить, какая форма возникает из конкретного уравнения, удается только методом проб и ошибок. Именно он привел исследователей к неизведанным землям скорее путем Магеллана, чем дорогой Евклида.

Такое объединение вселенной форм с миром чисел говорило о разрыве с прошлым. Новые геометрии всегда начинаются с того, что кто-нибудь пересматривает базовый постулат. Предположим, говорит ученый, что пространство не плоское, а определенным образом искривлено, – и в результате получается странная пародия на Евклида, которая стала основой общей теории относительности. Допустим, что пространство может иметь четыре измерения, пять или даже шесть. Вообразим, что число, выражающее измерение, может представлять собой дробь. Представим, что геометрические объекты можно закручивать, растягивать, завязывать узлами. Или, как сейчас, предположим, что формы можно определить не решением определенного уравнения, а итерированием его с помощью петли обратной связи.

Жюлиа, Фату, Хаббард, Барнсли, Мандельброт – все эти математики изменили правила создания геометрических форм. Декартов и евклидов методы превращения уравнений в кривые знакомы каждому, кто изучал геометрию в средней школе или находил точку на карте по двум координатам. В стандартной геометрии мы берем уравнение и находим множество чисел, которые ему удовлетворяют. Например, решение уравнения вроде х^2 + у^2 = 1образуют фигуру, в данном случае – окружность. Другим простым уравнениям соответствуют иные фигуры: эллипсы, параболы, гиперболы (эти фигуры получаются в качестве конических сечений) и даже более сложные формы, порождаемые дифференциальными уравнениями в фазовом пространстве. Но когда геометр начинает итерировать уравнение, вместо того чтобы решать его, последнее преобразуется из описания в процесс, из статического объекта в динамический. Подставив исходное число в уравнение, мы получим новое число, которое, в свою очередь, даст еще один результат, и так далее. Соответствующие им точки перепрыгивают с места на место. Точка наносится на график не тогда, когда она удовлетворяет уравнению, а тогда, когда она порождает определенный тип поведения. При этом один может представлять собой устойчивое состояние, другой – сводиться к периодическому повторению состояний, а третий – отличаться неуправляемым стремлением к бесконечности.

До компьютерной эры даже Жюлиа и Фату, понимавшие, какие возможности таит в себе новый тип построений, не могли превратить его в науку. С появлением вычислительных машин «геометрия проб и ошибок» получила право на жизнь. Хаббард изучил метод Ньютона, последовательно рассчитав поведение точек. Мандельброт впервые увидел свое множество аналогичным образом, применяя компьютер для перехода от одной точки на плоскости к другой. Конечно, он исследовал не все точки – время и возможности компьютера ограниченны. Ученый использовал решетку точек, нечто вроде координатной сетки. Более частая решетка давала более точную картину, но требовала и более трудоемких вычислений. Впрочем, рассчитать множество Мандельброта довольно просто. Весь процесс сводится к итерированию в комплексной плоскости выражения z→z^2+ с. Нужно лишь, взяв число, умножить его само на себя и прибавить его первоначальное значение.

Освоившись с новым способом исследования фигур при помощи компьютера, Хаббард также решил привнести новый математический стиль мышления и применить для рассмотрения динамических систем методы комплексного анализа, чего раньше не делали. Он чувствовал, что все может быть собрано вместе. Различные разделы математики в определенных местах сходятся воедино. Хаббард также знал, что будет недостаточно лишь увидеть множество Мандельброта. Он хотел добиться полной ясности. В конце концов он заявил, что это ему удалось.

Если бы граница была просто фрактальной – в духе причудливых картин Мандельброта, – тогда каждое последующее изображение более или менее походило бы на предыдущее. Принцип самоподобия при различном масштабировании позволил бы предугадать, что мы увидим в электронный микроскоп на следующем уровне увеличения. Вместо этого каждый взгляд в глубины множества Мандельброта приносил все новые сюрпризы. Желая применить свой термин «фрактал» к новому объекту, Мандельброт начал беспокоиться о том, что определил это понятие слишком узко[292]. При достаточном увеличении выяснилось, что система приблизительно повторяет свои же элементы – крошечные, похожие на жучков объекты, отделявшиеся от основного «тела». Однако, еще больше увеличив изображение, исследователь убеждался, что эти молекулы не во всем соответствуют друг другу – всегда появлялись новые формы, похожие на морских коньков или на вьющиеся ветви оранжерейных растений. Фактически ни один фрагмент системы точно не походил на другой при любом увеличении.

Обнаружение «плавающих» молекул сразу же повлекло за собой дополнительные трудности. Являлось ли множество Мандельброта связным, похожим на континент с выдающимися вперед полуостровами? Или оно походило на рассеянное скопление, где основной объект окружали мелкие островки? Ответ на этот вопрос был далеко не очевидным. Знания о множествах Жюлиа мало что давали, поскольку их графические образы бывают двух разных типов: одни представляют собой целые фигуры, другие смахивают на скопление пылинок. Эти мельчайшие частицы, будучи фрактальными, обладали особым свойством: они не составляли единого целого, каждая была отделена от другой зоной пустого пространства[293]. В то же время ни одна «пылинка» не выглядит обособленной; заметив одну, всегда можно найти и расположенную произвольно близко группу частиц. Разглядывая свои картины, Мандельброт постепенно понимал, что с помощью компьютерного эксперимента ему не удается ответить на основной вопрос. Его внимание сосредоточилось на частичках, «парящих» вокруг основной формы. Некоторые из них пропадали, другие, удивительно похожие, наоборот, появлялись. Казалось, они не зависели друг от друга, но, возможно, были связаны между собой линиями, столь тонкими, что решетка уже найденных точек никак не могла уловить их.

Дуади и Хаббард блестяще использовали свою новую математику, чтобы доказать, что каждая плавающая молекула на самом деле «висит» на филигранной нити, которая связывает ее с другими молекулами. В итоге получается хрупкая паутинка, ведущая от крошечных частиц к основному объекту, – «дьявольский полимер», по словам Мандельброта. Математики доказали, что в каждом сегменте – не имеет значения, где он находится и насколько он мал, – при увеличении «компьютерным микроскопом» обнаружатся новые молекулы, каждая из которых будет напоминать систему в целом и одновременно отличаться от нее. Каждая новая молекула будет обладать собственными спиралями и выступающими частями, похожими на языки пламени, и в них также неизбежно обнаружатся новые молекулы, еще меньшие, всегда подобные, но никогда – полностью идентичные, словно следующие предписанию о бесконечном разнообразии. Это можно назвать чудом миниатюризации: каждая новая деталь является вселенной, цельной и многоликой.

Фракталы Мандельброта.

«Все в высшей степени геометрическое, причем преобладают решения, продиктованные прямыми линиями, – сказал Хайнц-Отто Пайтген, рассуждая о современном искусстве. – В частности, творения Джозефа Альберса, пытавшегося истолковать соотношение цветов, в сущности являли собой квадраты различных оттенков, размещенные один на другом. Такие вещи пользовались большой популярностью, но сейчас, взглянув на них, мы понимаем, что их время миновало. Людей такое уже не привлекает. В Германии строятся огромные жилые кварталы в стиле баухаус, но все выезжают оттуда, никто не желает в них жить. Как мне кажется, общество сегодня имеет веские причины для настороженного отношения к некоторым нашим взглядам на природу»[294]. Пайтген помогал посетителям выбирать увеличенные изображения некоторых участков множества Мандельброта, множеств Жюлиа и других итерационных процессов, оформленные в изысканной цветовой гамме. В своем небольшом кабинете в Калифорнии он демонстрировал слайды, огромные плакаты и даже календарь с изображением множества Мандельброта. «Эта изменившаяся перспектива взгляда на окружающий мир вызывает огромный энтузиазм. Какой взгляд на природный объект верный? Скажем, что важнее всего в дереве? Прямая ли это линия или фрактальный образ?» Тем временем в Корнелле Джону Хаббарду пришлось столкнуться с коммерческими реалиями[295]. Когда математический факультет одолели сотнями просьб выслать изображения системы Мандельброта, он понял, что должен подготовить образцы и составить что-то вроде прейскуранта. В его вычислительных машинах хранились десятки уже просчитанных объектов, готовых к немедленной демонстрации. Организовать показ ему помогали аспиранты, помнившие все технические детали. Но все же наиболее эффектные картины, отпечатанные с большим разрешением и ярко расцвеченные, распространяли двое немцев – Пайтген и Петер Рихтер, трудившиеся вместе с группой ученых в Бременском университете при надежной поддержке одного из местных банков.

Пайтген и Рихтер – математик и физик – обратились в своих исследованиях к множеству Мандельброта, которое стало для них кладезем идей, питавших современную философию искусства, оправданием новой роли эксперимента в математике, а также средством популяризации сложных систем. Они опубликовали множество сверкавших глянцем каталогов и книг, которые показали всему миру галерею компьютерных образов. Рихтер пришел к изучению сложных систем из физики, через химию, а затем и биохимию, где изучал биологические осцилляции[296]. В серии статей, посвященных иммунной системе и окислению глюкозы, он сообщал, что колебания часто управляют динамикой процессов, которые традиционно рассматривались как статические по причине того, что живые системы не так-то легко изучать в режиме реального времени. Рихтер прикрепил к своему подоконнику хорошо смазанный двойной маятник, «комнатную динамическую систему», сконструированную по его заказу в университетской мастерской. Время от времени ученый запускал систему, задавая хаотические неритмичные движения, которые он мог имитировать также и с помощью компьютера. Зависимость от начальных условий оказалась настолько сильной, что гравитационное притяжение единственной дождевой капли в миле от места проведения опыта спутывало движение в пределах пятидесяти-шестидесяти полных оборотов, что занимало около двух минут. Многоцветные графические рисунки Рихтера, где изображалось фазовое пространство его маятника, указывали на зоны смешения периодичности и хаоса. Ученый использовал аналогичную графическую технику для изображения идеализированных участков намагничивания в металле, а также для изучения множества Мандельброта.

Его коллеге Пайтгену изучение феномена сложности давало шанс заложить оригинальные традиции в науке, вместо того чтобы просто искать решения проблем. «Начав сегодня трудиться в такой удивительной новой области, как эта, талантливый ученый сумеет предложить нетривиальные решения уже через несколько дней, неделю или спустя месяц», – заметил Пайтген. Дело в том, что предмет изучения еще не структурирован. «В структурированной области, – продолжал он, – понятно, что изучено, что не изучено и что уже пытались изучить, но не смогли. При этом приходится работать над какой-то давно известной проблемой – иначе ничего не получится. И она, разумеется, должна быть сложной, иначе бы ее уже давно решили»[297].

У Пайтгена не было того предубеждения, с которым большинство математиков относились к компьютерным экспериментам. Само собой разумелось, что все результаты должны быть строго доказаны стандартными методами, иначе это будет не математика. Зафиксировать графический образ на экране не означало доказать его право на существование на языке теорем и доказательств. И все-таки возможность генерирования такого изображения уже сама по себе изменяла эволюцию математики. Как полагал Пайтген, компьютерные исследования позволили ученым избрать более естественную стезю развития науки. Математик мог на время абстрагироваться от требования точности доказательства и, подобно физику, следовать туда, куда приведут его эксперименты. Огромная производительность компьютерных вычислений и визуальные ключи к интуитивным ощущениям дают некий надежный путь и избавляют ученых от блуждания в потемках. Открыв неизвестные тропы и выделив новые объекты, математик может вернуться к традиционному доказательству. «Сила математики в строгости, – отметил Пайтген. – Она дает нам возможность продолжать ту линию мысли, в которой мы абсолютно уверены. На том стояли и будут стоять математики. Но почему бы не обратить внимание на феномены, которые сейчас могут быть поняты лишь отчасти? Более строгое знание о них, возможно, добудут грядущие поколения. Бесспорно, строгость важна, но не до такой степени, чтобы отказаться от изучения чего-то, потому что я не могу доказать это сейчас»[298].

К началу 1980-х годов персональные компьютеры уже выполняли расчеты достаточно точно, что позволяло строить красочные изображения множества Мандельброта. Многочисленные их любители быстро обнаружили, что разглядывание этих изображений при все большем увеличении дает четкое ощущение увеличивающегося масштаба. Если бы множество Мандельброта было размером с планету, компьютер мог бы показать и его целиком, и элементы размером с город, и детали, соразмерные со зданиями, отдельными комнатами в них, книгами на полках, письмами в ящиках стола, бактериями в воздухе или даже атомами различных веществ. Люди, рассматривая такие картины, замечали, что при любом масштабировании обнаруживались схожие образы и одновременно каждый масштаб обладал своими особенностями. Подобные микроскопические ландшафты генерировались одним набором из нескольких строчек компьютерного кода[299].

Граница находится там, где программа для построения множества Мандельброта тратит больше всего времени и допускает наибольшее количество компромиссов. Когда результат неясен после ста, или тысячи, или десяти тысяч итераций, программа не может быть полностью уверена, что точка принадлежит множеству Мандельброта. Кто знает, что принесет миллионная итерация? Поэтому программы, которые строят самые захватывающие изображения множества с наиболее детальным увеличением, выполняются на мощных вычислительных машинах или на компьютерах с параллельной обработкой данных, где тысячи индивидуальных процессоров производят вычисления по одним и тем же правилам. Граница располагается там, где точки медленнее всего ускользают от притяжения множества, будто балансируя между двумя соревнующимися аттракторами, один из которых располагается в нуле, а другой – на бесконечности[300].

Когда ученые переключились с самого множества Мандельброта на новые задачи о представлении реальных физических явлений, на передний план вышли свойства границы. Происходящее на рубеже между двумя или более аттракторами в динамической системе служит своего рода отправной точкой, определяющей ход множества заурядных процессов, начиная от разрушения материалов и заканчивая принятием решений. Каждый аттрактор в такой системе, подобно реке, имеет свой «бассейн», свою «площадь водосбора», и каждый такой «бассейн» заключен в определенные границы. В начале 1980-х годов для группы наиболее влиятельных ученых самым многообещающим новым разделом математики и физики оказалось изучение границ фрактальных бассейнов.

Этот раздел динамики исследует не конечное и устойчивое поведение системы, а механизм ее «выбора» между двумя возможными вариантами. Система, подобная модели Лоренца, сейчас является классическим примером системы с одним аттрактором – одним поведением, к которому система стремится, – и этот аттрактор хаотический. Другие системы способны в конечном итоге демонстрировать нехаотическое поведение, но могут иметь более одного устойчивого состояния[301]. Исследование границ фрактальных бассейнов было исследованием систем, которые способны достигнуть одного из нескольких нехаотических конечных состояний[302]. Оно приводило к вопросу о том, как предсказать, какого именно состояния достигнет система. Джеймс Йорк, который спустя десятилетие после присвоения хаосу имени стал пионером в изучении этого феномена, предложил рассмотреть воображаемую игру в пинбол – разновидность бильярда, где вашим партнером выступает механическое устройство с поршнем, оснащенным пружиной[303]. Оттянув рукоятку поршня, мы отпускаем ее, чтобы направить шарик на игровое поле. Сконструированный под неким наклоном автомат обычно имеет резиновые бортики и электрические толкатели, которые сообщают шарику дополнительную энергию. Эти толчки весьма важны: благодаря им энергия шарика не будет просто плавно убывать. Простоты ради представим, что в нижней части воображаемого автомата нет резиновых бортовых лент, а есть только две наклонные плоскости (или лунки) для шарика, по одной из которых он и покидает поле.

Это детерминистский пинбол: автомат не испытывает вибраций и лишь один параметр обусловливает направление движения шарика – насколько сильно мы оттянули рукоятку поршня. Но предположим, автомат устроен так, что, если мы оттянули ее не сильно, шарик всегда катится в правую лунку, а если сильно – в левую. В промежуточном состоянии поведение системы становится сложным: шарик довольно долго прыгает от одного амортизатора к другому, издавая характерные шумы, прежде чем угодить в ту или другую лунку.

А теперь предположим, что мы строим график, отображающий зависимость результата от начального положения рукоятки поршня. График представляет собой линию. Положение рукоятки, при котором шарик попадает в правую лунку, обозначим красной точкой, в левую – зеленой. Что мы можем выяснить об этих аттракторах как о функции начальной позиции?

Граница оказывается фрактальной системой, необязательно самоподобной, но с бесчисленным количеством деталей. Некоторые участки линии будут сплошь красными или сплошь зелеными. Другие при увеличении обнаружат новые вкрапления красного внутри зеленого и наоборот. При каких-то положениях рукоятки небольшие сдвиги не имеют значения, однако есть и такие, при которых даже произвольно малое изменение будет иметь значение для распределения красного и зеленого цветов.

Добавление второго измерения означает ввод второго параметра, второй степени свободы. Например, в случае с автоматом для игры в пинбол можно принять во внимание эффект от изменения угла наклона игрового поля. Здесь обнаружится особого рода сложность – сущее наказание для инженеров, которые отвечают за проверку устойчивости реальных систем, обладающих более чем одним параметром, в частности энергетических сетей и ядерных станций, в 1980-х годах ставших объектами исследований вдохновленных хаосом ученых. При одном значении параметра А параметр В может порождать обнадеживающее упорядоченное поведение с последовательными участками стабильности. Инженеры могут проводить исследования и составлять графики именно того типа, какой предполагает их подготовка, ориентированная на линеаризацию. И все же не исключено, что где-то поблизости прячется другое значение параметра А, существенно влияющее на важность параметра В.

Йорк демонстрировал на конференциях изображения границ фрактальных бассейнов. Некоторые из них описывали поведение маятников, на которые действует дополнительная сила. Такие маятники могли стремиться к одному из двух конечных состояний и, как хорошо знали слушатели, часто встречались в реальной жизни в разных обличьях. «Никто не может утверждать, что я обманул систему, выбрав маятник, – с улыбкой говорил Йорк. – Подобные вещи мы наблюдаем в природе повсюду, однако их поведение в корне отличается от всего, что описано в литературе. Это фрактальное поведение беспорядочного типа»[304]. Картины походили на фантастические водовороты белого и черного цветов, как будто кухонный миксер оставил несколько брызг в процессе смешивания ванили и шоколада для пудинга. Для создания подобных изображений компьютер просчитал решетку размером тысяча на тысячу точек, каждая из которых представляла разное начальное положение маятника, и графически отобразил результат, обозначив точки белым или черным. На картине проявились бассейны притяжения, смешанные и сложенные в соответствии со знакомыми уравнениями движения Ньютона, и в результате граница занимала большую часть изображения – как правило, более трех четвертей всех показанных на экране точек принадлежали именно границе[305].

Фрактальные границы бассейнов. Даже когда долгосрочное поведение динамической системы не является хаотическим, хаос может появиться на границе двух типов устойчивого поведения. Зачастую динамическая система характеризуется более чем одним состоянием равновесия, как, например, маятник, который может остановиться, притянувшись к одному из двух магнитов, встроенных в его основание. Каждое состояние равновесия является аттрактором. Граница между двумя аттракторами может быть сложной, но гладкой (слева)или же сложной, но негладкой. В высшей степени фрактальная россыпь белых и черных фрагментов (справа)есть диаграмма в фазовом пространстве маятника. Система, несомненно, достигнет одного из двух возможных устойчивых состояний. Для некоторых начальных условий результат вполне предсказуем. Черное есть черное, а белое есть белое. Но вблизи границы прогнозировать что-либо уже невозможно.

Исследователям и инженерам эти изображения преподали хороший урок, послужив одновременно и предостережением – слишком уж часто поведение сложных систем прогнозируют исходя из ограниченных данных. Наблюдая за системой, которая функционировала нормально, оставаясь в узких рамках нескольких параметров, инженеры надеялись экстраполировать результат более или менее линейным образом на необычное поведение. Но исследования границ фрактальных бассейнов продемонстрировали, что рубеж между состояниями покоя и возмущения куда сложнее, чем кто-либо мог представить[306]. «Вся энергетическая сеть восточного побережья является колебательной системой, большую часть времени устойчивой. Нас интересует, что произойдет, если потревожить ее, – объяснял Йорк. – Необходимо знать, что представляет собой граница. Большинство даже не имеет понятия, как она выглядит».

Фрактальные границы бассейнов оказались связаны с важнейшими дискуссионными вопросами теоретической физики. Например, с фазовыми переходами, которые происходили при достижении определенного порога. Пайтген с Рихтером рассмотрели одну из их наиболее изученных разновидностей – намагничивание и размагничивание материалов. Полученные ими картины границ обнаруживали удивительнейшую сложность, начинавшую казаться вполне естественной. Изображение напоминало головки цветной капусты с причудливым рисунком выпуклостей и борозд. По мере изменения параметров и увеличения деталей очертания становились все более и более неупорядоченными, пока вдруг неожиданно в глубине зоны возмущения не появилась знакомая, сплющенная у полюсов, форма, усеянная ростками: множество Мандельброта, где каждый завиток и каждый атом располагались на своем месте. «Возможно, стоит поверить в магию», – писали ученые, осознав, что перед ними предстало очередное доказательство универсальности[307].

Майкл Барнсли пошел по другому пути: мысли его обратились к формам, созданным самой природой. Особенно его занимали образы, имевшие отношение к живым организмам. Он экспериментировал с множествами Жюлиа, а также с другими процессами, постоянно отыскивая способы генерации еще большей изменчивости. В итоге он использовал случайность как основу для создания неизвестных ранее методов моделирования естественных форм. Рассуждая в своих статьях о новой технике, ученый называл ее «глобальным построением фракталов посредством систем итерированных функций», но в разговоре описывал свою находку как «игру хаоса»[308].

Чтобы быстро сыграть в такую игру, необходим компьютер с графическим экраном и генератором случайных чисел, но в принципе будет достаточно листа бумаги и монетки. Выбираем на листе начальную точку – неважно, где именно. Придумываем два правила – для орла и для решки. Правила указывают, каким образом откладывать одну точку от другой, например: «Переместиться на два дюйма на северо-восток» или «Приблизиться на 25 % к центру». Подбрасывая монетку, начинаем отмечать точки. Используем правило орла, когда выпадает орел, и правило решки, когда выпадает решка. Если мы отбросим первые пятьдесят точек, как сдающий карты прячет первые несколько карт при новой сдаче, то обнаружится, что «игра хаоса» воспроизводит не случайный набор точек, а фигуру, проявляющуюся все более и более четко по мере продолжения игры.

Основное предположение Барнсли звучало так: множества Жюлиа и другие фрактальные формы, хотя и верно считаются итогом детерминистского процесса, обладают второй равнозначной ипостасью как предел случайного процесса. Для сравнения ученый предложил представить, к примеру, карту Великобритании, нарисованную мелом на полу комнаты. Топографу со стандартным набором инструментов будет весьма непросто измерить площадь такой сложной фигуры со всеми ее фрактальными береговыми линиями. Но вообразите, что мы подбрасываем в воздух одно за другим зернышки риса, которые в беспорядке ложатся на пол, а затем подсчитываем количество зерен, оказавшихся в пределах контура карты. Со временем результат начинает приближаться к площади интересующей нас фигуры – как предел случайного процесса. Если говорить на языке динамики, фигуры Барнсли оказались аттракторами.

«Игра хаоса» использовала фрактальные качества некоторых изображений, а именно – тот факт, что они могли быть созданы из малых копий основной картины. Выбор правил для последующего случайного итерирования позволяет уловить основополагающую информацию о той или иной фигуре, а само итерирование правил выдает эти же данные обратно независимо от масштаба. В этом смысле чем более фрактальной является форма, тем более простыми окажутся соответствующие правила. И Барнсли быстро обнаружил, что может воспроизвести все ставшие уже классическими фракталы из книги Мандельброта. Техника последнего представляла собой бесконечную последовательность построений и совершенствований: скажем, для создания снежинки Коха или ковра Серпинского нужно, удалив линейные отрезки, заменить их строго определенными фигурами. Применяя вместо этого «игру хаоса», Барнсли создавал изображения, казавшиеся вначале лишь расплывчатыми карикатурами, но со временем вырисовывавшиеся все более четко. Вместо процесса усовершенствования, в котором не возникло необходимости, использовался лишь один набор правил, с помощью которого в итоге и воплощалась нужная форма.

Барнсли и его коллеги начали безудержно конструировать различные изображения, многообразные формы, напоминавшие изогнутые капустные листья, налет плесневых грибков и брызги грязи. Ключевым теперь стал вопрос о том, как повернуть процесс вспять, как вывести набор правил для заданной формы. Ответ, названный ученым «теоремой коллажа», оказался настолько бессмысленно простым, что заставлял слушателей подозревать подвох. Для начала следует изобразить на экране форму, которую вы хотите воспроизвести. (Барнсли, будучи давним любителем папоротников, выбрал для первых опытов один из них – костенец черный.) Затем, используя компьютерную мышь в качестве указки, нужно устлать первоначальную форму ее уменьшенными копиями, позволяя им, если необходимо, чуть накладываться друг на друга. В высшей степени фрактальную фигуру можно легко покрыть ее копиями, с менее фрактальной дело пойдет сложнее, но с разной степенью приблизительности каждую форму можно устлать ее миниатюрными копиями.

«Игра хаоса». Каждая новая точка ложится случайным образом, но постепенно вырисовывается изображение папоротника. Вся необходимая информация закодирована в нескольких простых правилах.

«Если рисунок достаточно сложен, правила также будут непростыми, – пояснял Барнсли. – С другой стороны, если объект содержит в себе скрытый фрактальный порядок – а основное наблюдение Бенуа заключается в том, что множество явлений в природе обладают им, – тогда с помощью нескольких правил его можно расшифровать. В данном случае модель окажется более занимательной, чем та, что создана при помощи евклидовой геометрии. Ведь известно, что, взглянув на краешек листа, мы не увидим прямых линий»[309]. Его первый папоротник, созданный на небольшом персональном компьютере, точно соответствовал изображению в книге, хранимой ученым с детских лет. «Этот образ ошеломлял своей достоверностью. Любой биолог без труда идентифицирует его».

Барнсли с удовлетворением констатировал, что в некотором смысле природа играет в «игру хаоса», только на свой лад. «Огромного количества информации, которую несет в себе спора, хватает для кодирования лишь одного вида папоротника, – замечал ученый. – Таким образом, существует предел преобразованиям, с помощью которых может расти папоротник. Неудивительно, что нам удается отыскать равноценную краткую информацию для описания папоротников. Было бы странно, если бы дела обстояли иначе».

Но являлась ли случайность необходимой? Хаббард, также размышлявший о параллелях между множеством Мандельброта и биологическим кодированием информации, выходил из себя при одном лишь упоминании о том, что такие процессы зависимы от вероятности. «Во множестве Мандельброта нет ничего случайного, – возражал он, – как нет ничего случайного ни в одном из явлений, которые я исследую. Не думаю также, что возможность случайности имеет прямое отношение к биологии, где любая случайность и хаотичность равносильны смерти. Все здесь в высшей степени структурированно. Исследуя вегетативное размножение растений, вы видите, что порядок, в котором распускаются листья на ветках, всегда один и тот же. Множество Мандельброта подчиняется необычайно точной схеме, не оставляя места случаю. Я подозреваю, что, когда кто-нибудь наконец выяснит, как устроен мозг, ко всеобщему изумлению обнаружится, что существует непостижимо четкая схема для конструирования этого органа. Сама же идея случайности в биологии весьма призрачна»[310].

Впрочем, метод Барнсли отводит случайности скромную роль инструмента. Использование его дает детерминистские и предсказуемые результаты. Наблюдая за вспыхивающими на экране точками, невозможно догадаться, где появится cледующая, – это зависит от того, как ляжет «монетка» внутри компьютера. И все же почему-то мерцание всегда остается внутри границ, очерчивающих нужную фигуру на дисплее. В этом отношении назначение случайности обманчиво. «Она отвлекает внимание, – разъяснял Барнсли. – Случайность важна для получения изображения некоторой инвариантной меры, существующей на фрактальном объекте. Сам же объект не зависит от случайности. Со стопроцентной вероятностью мы снова и снова рисуем то же изображение. С помощью вероятностного алгоритма мы тестируем фрактальный объект и получаем о нем много глубоких сведений. Нечто подобное происходит, когда мы, войдя в незнакомую комнату, в определенном порядке, который также стоит признать случайным, перескакиваем взглядом с предмета на предмет и получаем достаточное представление об этой комнате. Она такова, какова она есть. Объект существует невзирая на то, что нам приходится предпринимать»[311]. Точно так же существует и множество Мандельброта. Оно существовало еще до того, как Пайтген и Рихтер придали ему художественную форму, до того, как Хаббард и Дуади постигли его математическую суть, и даже до того, как сам Мандельброт открыл его. Оно появилось, когда наука создала подходящий контекст – набор комплексных чисел и понятие итерированных функций, – а потом просто ждало своего часа. Или, возможно, оно возникло даже раньше, когда природа начала организовывать саму себя посредством простых физических законов, повторяемых с бесконечным терпением, всюду одинаковых.

Глава 9

Группа динамических систем

Коммуникация сквозь революционный водораздел неизбежно частична.

Томас Кун

Санта-Круз и шестидесятые. Аналоговый компьютер. Было ли это наукой? “Мы все смотрели вдаль”. Измерение непредсказуемости. Теория информации. От микромасштабов к макромасштабам. Подтекающий кран. Аудиовизуальные преимущества. Конец эпохи.

В городке Санта-Круз, лежащем в часе езды к югу от Сан-Франциско, расположен один из самых молодых кампусов Калифорнийского университета, похожий на иллюстрацию к сборнику волшебных сказок[312]. Некоторые говорят даже, что он выглядит скорее как национальный парк, чем как учебное заведение. Согласно духу времени, архитекторы постарались сохранить каждое имеющееся на территории дерево. Здания, соединенные узкими тропинками, уютно укрываются в тени секвой. Кампус выстроен на вершине холма, так что время от времени его обитателям выпадает случай полюбоваться заливом Монтерей, искрящимся на солнце. Открывшись в 1966 году, отделение Калифорнийского университета в Санта-Крузе за несколько лет стало одним из самых престижных кампусов во всем штате. Студенты связывали его с именами многих идолов интеллектуального авангарда: здесь читали лекции Норман Оливер Браун, Грегори Бейтсон, Герберт Маркузе и выступал музыкант Том Лерер. Созданные с нуля факультеты оставляли противоречивое впечатление, и физический не являлся исключением; там трудилось около пятнадцати ученых, энергичных и в основном молодых, ставших своими в разношерстной среде блестящих нонконформистов, которых привлекал Санта-Круз. Физики находились под влиянием идеологии свободомыслия, но, поглядывая на юг, в сторону Калифорнийского технологического института, понимали, что им необходимо задать высокие исследовательские стандарты, доказав тем самым серьезность своих намерений.

Одним из аспирантов, в чьей серьезности никто не сомневался, был Роберт Стетсон Шоу, уроженец Бостона и выпускник Гарварда, старший из шести детей в семье доктора и медсестры. По возрасту он превосходил большинство однокурсников: в 1977 году ему исполнился тридцать один год. Учеба Шоу в Гарварде несколько раз прерывалась из-за службы в армии, жизни в общине и других неожиданных поворотов судьбы, происходивших между этими событиями. Роберт не знал, что привело его в Санта-Круз[313]. Он никогда не видел кампус – только буклет с изображением секвой и рассказом о новых течениях в философии образования. Шоу обладал тихим, даже робким нравом. Будучи способным исследователем, он почти закончил свою диссертацию, посвященную сверхпроводимости. До полного завершения работы осталось лишь несколько месяцев, и никому не было особого дела до того, что он впустую тратил время, играя с аналоговым компьютером на нижнем этаже физического факультета.

Образование физика зависит от того, повезло ли ему с наставником. Молодые ученые, аспиранты и постдоки, помогают маститым профессорам справляться с экспериментальной работой и утомительными вычислениями, получая от своих руководителей часть выделяемых по грантам средств и шанс опубликовать научные работы. Хороший руководитель поможет своему протеже выбрать достойную внимания проблему, которая одновременно интересна и перспективна. Если сотрудничество процветает, влияние профессора расчищает путь для успешной карьеры молодого ученого, позволяя найти работу. Зачастую имя одного ассоциируется с именем другого. Однако, когда дисциплины еще нет как таковой, лишь немногие готовы преподавать ее. Подобное случилось и с наукой о хаосе: избравший ее полем деятельности в 1977 году не смог бы найти себе научного руководителя. Тогда не было ни такого курса, ни центров для изучения нелинейных феноменов и исследования сложных систем, ни учебников по хаосу, ни научных журналов в этой области.

Уильям Бёрк – ученый из Санта-Круза, занимавшийся космологией и теорией относительности, – случайно встретил своего друга Эдварда Шпигеля, астрофизика, в час дня в вестибюле одного из отелей Бостона, куда оба прибыли на конференцию по общей теории относительности[314]. «Представляешь, я только что слушал аттрактор Лоренца!» – поделился Шпигель. Используя схему собственного изобретения, подсоединенную к приемнику, Шпигель превратил этот символ хаоса в циклическое повторение жутких свистящих звуков. Астрофизик пригласил Бёрка посидеть в баре и изложил ему все в подробностях.

Шпигель был знаком с Лоренцем лично и, конечно, знал о хаосе еще с 1960-х годов. Предметом его научного интереса являлся поиск объяснения неупорядоченному поведению в моделях движения звезд, и он поддерживал контакты также с французскими математиками. В конце концов, будучи профессором Колумбийского университета и занимаясь астрономическими исследованиями, Шпигель сфокусировал свое внимание на явлении турбулентности в космосе – «космических аритмиях»[315]. Он обладал удивительной способностью увлекать коллег новыми идеями, и к концу вечера идеей аттрактора загорелся и Бёрк, всегда воспринимавший новое с энтузиазмом. Бёрк сделал себе имя в научном мире, работая над одним из наиболее парадоксальных вопросов, привнесенных в науку Эйнштейном, – понятием о гравитационных волнах, распространяющихся по ткани пространства-времени. То была в высшей степени нелинейная система, проявляющая себя столь же непредсказуемым образом, как турбулентность в жидкости. Проблема казалась весьма абстрактной и теоретической, однако Бёрку нравилась и «приземленная» физика. Однажды он написал работу, посвященную оптике пивной кружки: ученый исследовал, насколько толстым можно сделать ее стекло, чтобы кружка все еще казалась наполненной до краев. Бёрк любил повторять, что он из тех ретроградов, которые считают физику реальностью. Прочитав в журнале Nature статью Роберта Мэя, где тот настоятельно рекомендовал расширить курс нелинейных систем, ученый несколько часов «поиграл» на калькуляторе с описанными в работе уравнениями. Поэтому аттрактор Лоренца показался Бёрку интересным. Он не хотел «слушать» его, а загорелся желанием увидеть поразительный феномен собственными глазами. Возвратясь в Санта-Круз, Бёрк вручил Роберту Шоу лист бумаги с нацарапанными на нем тремя дифференциальными уравнениями и поинтересовался, нельзя ли ввести их в аналоговый компьютер.

В эволюции вычислительных машин аналоговые компьютеры считались тупиковой ветвью. Такие устройства обычно не держали на физических факультетах, и в Санта-Крузе одно из них оказалось по чистой случайности. Первоначально здесь задумывали организовать инженерную школу, а когда планы изменились, выяснилось, что энергичный агент уже приобрел для нее кое-какое оборудование[316].

Память цифровых компьютеров состоит из множества унитарных элементов-ячеек – в прошлом электронных ламп-диодов, – которые могут находиться в двух состояниях: диод либо проводит ток, что соответствует числу «единица», либо не проводит, что соответствует числу «ноль». Компьютер оперирует с этими нулями и единицами, позволяя получать ответы на заданные программистом вопросы. Его элементная база поддается той миниатюризации и акселерации технологий, что управляла компьютерной революцией. Выполненное однажды на цифровом компьютере могло быть выполнено вновь, точь-в-точь с тем же результатом, и в принципе воспроизведено на любом другом цифровом компьютере. Что касается аналоговых машин, то они – вещь неопределенная и неунифицированная. Составляющие их блоки – не ячейки типа диодов, как в цифровых компьютерах, а электронные схемы, подобные резисторам и конденсаторам, которые хорошо знакомы любому, кто когда-либо увлекался радиотехникой, как, например, Роберт Шоу. В Санта-Крузе стояла машина модели Systron-Donner, громоздкое, припорошенное пылью устройство с фронтальной панелью, похожей на те, что применялись в вышедших из употребления телефонных коммутаторах. Программирование на аналоговом компьютере заключалось в выборе электронных компонентов и подключении шнуров к наборной панели.

Составляя различные комбинации соединений схем, программист имитирует системы дифференциальных уравнений таким образом, чтобы они хорошо решали инженерные задачи[317]. Допустим, нам необходимо построить модель автомобильной подвески с рессорами и амортизаторами такой конструкции и массы, чтобы добиться наиболее плавного движения. Можно сделать так, чтобы колебания в аналоговом компьютере соответствовали колебаниям в реальной физической системе. Конденсатор заменяет рессору, катушки индуктивности олицетворяют массу, и так далее. Расчеты неточны – числовым выкладкам отводится второстепенная роль. Вместо этого мы имеем модель из металла и электронов, достаточно быструю и, самое главное, легко регулируемую. Простым поворотом рукояток мы можем подстраивать переменные, придавая рессоре дополнительную упругость или ослабляя трение. И за изменениями результатов можно наблюдать в реальном времени, поскольку кривые выводятся на экран осциллографа.

Работая урывками в лаборатории сверхпроводимости, Шоу пытался закончить свою диссертацию, но все больше времени проводил возле компьютера Systron-Donner. Он уже смог изобразить «портреты» некоторых простых систем в фазовом пространстве – периодических орбит или предельных циклов. Но даже если бы он увидел хаос, воплощенный в странных аттракторах, он, конечно же, не узнал бы его. Впрочем, соответствующие уравнения Лоренца, врученные ему на листе бумаги, казались не сложнее тех, с которыми возился сам Шоу. На то, чтобы подсоединить шнуры и нажать нужные кнопки, ушло всего несколько часов, а спустя пару минут молодой ученый уже понял, что ему не суждено закончить диссертацию по сверхпроводимости[318].

Он провел несколько ночей в подвальном помещении, наблюдая за зеленой точкой, что мелькала на экране осциллографа, снова и снова вычерчивая характерную для аттрактора Лоренца кривую, похожую на маску совы. Плавные ее контуры, мерцающие и трепещущие одновременно, будто отпечатались на сетчатке, не походя ни на один из когда-либо исследованных Шоу объектов. Казалось, феномен жил своей жизнью, ни разу не повторяя прежние формы и приковывая к себе взгляд, словно подвижный язычок пламени. Неточность аналогового компьютера и невозможность повторения процесса один в один сыграла на руку Шоу, который быстро почувствовал «сильную зависимость от начальных условий», убедившую Лоренца в тщетности долгосрочного прогнозирования погоды. Молодой физик задавал начальные условия, нажимал на кнопку, и появлялся аттрактор. Потом Шоу вновь задавал те же – насколько это было физически возможно – начальные условия, но новая орбита весьма заметно отдалялась от предыдущей, хотя в конечном итоге лежала на том же аттракторе.

В детстве Шоу пытался представить, какой будет наука. Романтическое воображение рисовало ему прорыв в неизведанное, и то исследование, которое он сейчас проводил, наконец оправдывало его ожидания. Экспериментатору иного склада физика низких температур – все это множество огромных магнитов, баллонов с жидким гелием и нониусов – представлялась весьма занятной, но для Шоу то был путь в никуда. Вскоре он перетащил аналоговый компьютер наверх и больше уже не возвращался к феномену сверхпроводимости.

«Все, что вам нужно делать, – это просто нажимать на кнопки, и вы ощутите себя первооткрывателем иного мира. Вам даже не захочется выныривать, чтобы сделать глоток воздуха», – говорил Ральф Абрахам, профессор математики, одним из первых увидевший аттрактор Лоренца в движении[319]. В прежние славные времена Абрахам работал в Беркли со Стивом Смейлом, так что был одним из немногих ученых в Санта-Крузе, который мог оценить по достоинству важность игрушки Шоу. Первой реакцией ученого было удивление – уж очень быстро мелькали фигуры, – и Шоу пояснил, что смена образов могла быть еще стремительней, не включи он в схему дополнительные конденсаторы. Аттрактор также оказался весьма устойчивым, и даже не вполне точные вычисления с помощью аналоговых схем подтверждали это: повороты и настройка кнопок управления не влекли за собой исчезновение изображения, не превращали его в некую случайность, но поворачивали или изгибали объект, и эти изменения постепенно начинали обретать смысл. «Роберту довелось испытать, как небольшое открытие разом проясняет все загадки, – отмечал Абрахам. – Многие важнейшие понятия – показатель Ляпунова, фрактальная размерность – сами собой придут на ум. Вы увидите это и начнете исследования».

Было ли это наукой? Определенно, компьютерное исследование, чуждое формальным доказательствам, не назовешь математикой, и тут даже сочувствие и поддержка ученых вроде Абрахама не могли изменить ситуацию. Физический факультет также не усматривал особых причин считать увиденное физикой. Однако, чем бы то ни было, оно привлекало внимание. Шоу обычно оставлял дверь своей комнаты открытой, а напротив, через холл, располагался вход на физический факультет, так что поблизости все время толклись люди. И вскоре у Шоу появилась компания.

В коллективе, который называл себя «группой динамических систем» (хотя другие иногда именовали его «Кликой хаоса»), немногословный Шоу стал центром притяжения. Не без доли робости он выдвигал на суд ученой публики собственные идеи. По счастью, его товарищи не испытывали подобных затруднений; зачастую они просто полагались на его видение того, как довести до конца незапланированную программу исследований в непризнанной области науки.

Дойн Фармер, высокий, худощавый, рыжеватый уроженец Техаса, быстро приобрел репутацию красноречивого оратора группы[320]. В 1977 году ему исполнилось двадцать четыре и он был полон энергии и энтузиазма – генератор идей во плоти. При первой встрече его даже частенько принимали за хвастуна. Норман Паккард, тремя годами младше, был товарищем Фармера с детских лет. Как и Фармер, он вырос в городке Сильвер-Сити, штат Нью-Мексико, а в Санта-Круз прибыл той осенью, когда Фармер взял год отпуска и направил все свои силы на то, чтобы попытаться приложить законы движения к игре в рулетку. Дойн приступил к решению этой задачи со всей серьезностью, но идея была притянута за уши. Тем не менее больше десяти лет Фармер и группа с периодически меняющимся составом юных физиков, профессиональных игроков и просто сочувствующих пыталась вывести закон рулетки. Фармер не оставил этого занятия, даже когда перешел на работу в теоретический отдел Национальной лаборатории в Лос-Аламосе. Просчитывались отклонения и траектории, писалось и переписывалось программное обеспечение, в ботинки встраивались миниатюрные компьютеры, и совершались набеги на близлежащие казино. Но ни один из методов не оправдал ожиданий. Все члены группы, кроме Шоу, так или иначе занимались этим проектом. И надо сказать, он научил их быстро анализировать динамические системы. Однако это не помогало убедить физический факультет Санта-Круза в том, что Фармер воспринимает науку всерьез.

Четвертым членом группы динамических систем стал Джеймс Крачфилд, самый младший из всех и единственный уроженец Калифорнии. Невысокого роста, крепко сбитый, виртуоз виндсерфинга, Крачфилд, что было важнее всего, чувствовал компьютер как самого себя. В Санта-Круз он приехал, еще будучи студентом, ассистировал Шоу в его дохаосных опытах по сверхпроводимости, затем на год перебрался, как говорили в Санта-Крузе, «на ту сторону холма» – работал в исследовательском центре IBM в Сан-Хосе, – пока в 1980 году не стал аспирантом физического факультета. К тому времени, покрутившись уже два года возле лаборатории Шоу, он ринулся изучать математику, необходимую для постижения динамических систем. Как и остальные члены группы, Крачфилд оставил позади проторенную тропу исследований.

Лишь весной 1978 года на факультете окончательно поняли, что Шоу забросил свою диссертацию по сверхпроводимости, хотя был очень близок к ее завершению. До этого коллеги убеждали его, что неважно, если иссяк интерес к работе, надо преодолеть все последние формальности, получить ученую степень и двигаться дальше, к новым академическим успехам. Хаос таковых не сулил. Никто в Санта-Крузе не обладал должной квалификацией, чтобы читать курс по дисциплине, не имевшей даже названия. Равно как ни у кого еще не было ученой степени по ней, не говоря уже об отсутствии вакансий, доступных для выпускников с такой специализацией. Все упиралось еще и в денежный вопрос: физические исследования в Санта-Крузе, как и в любом американском университете, финансировались преимущественно Национальным научным фондом и другими федеральными ведомствами путем предоставления грантов сотрудникам факультета[321]. Военно-морские силы США, Военно-воздушные силы, министерство энергетики, ЦРУ выделяли крупные суммы, не ставя условием немедленное применение разработок в гидро– и аэродинамике, энергетике или разведке. Работающий на факультете физик получал достаточно средств, чтобы приобрести лабораторное оборудование и выплачивать стипендии своим ассистентам – аспирантам, участвующим в гранте. Руководитель покрывал их расходы на фотокопирование, оплачивал дорогу на конференции и даже выделял некоторую сумму, чтобы они могли отдохнуть на каникулах. В противном случае аспиранты были бы в финансовом отношении брошены на произвол судьбы. Такова была система, от которой Шоу, Фармер, Паккард и Крачфилд отказались по доброй воле. Когда по ночам стало пропадать разное электронное оборудование, его искали в лаборатории Шоу, где тот прежде проводил низкотемпературные эксперименты. Время от времени один из четырех ученых обращался в ассоциацию аспирантов с просьбой выделить сотню долларов. Иногда физический факультет сам находил эту сумму. В результате группа обзавелась графопостроителями, преобразователями, электронными фильтрами. Специалисты по физике элементарных частиц, обитавшие на первом этаже, имели в своем распоряжении небольшой цифровой компьютер, обреченный попасть на свалку. Вскоре он перекочевал в лабораторию Шоу. Фармер поднаторел в использовании чужих вычислительных машин. Однажды летом его пригласили в Национальный центр атмосферных исследований в Боулдере, штат Колорадо, где огромные компьютеры решают задачу по моделированию погоды в мировом масштабе. Мастерство, с которым Фармер урывал ценившееся на вес золота время этих машин, ошеломило метеорологов.

Хорошую службу молодым ученым сослужило их умение обращаться со всякого рода «железками». Шоу с детства только и делал, что копался во всяких устройствах[322]. Паккард еще мальчишкой ремонтировал в Сильвер-Сити телевизоры. Крачфилд принадлежал к первому поколению математиков, которым логика компьютерных процессоров казалась естественным языком. Само здание физического факультета, располагавшееся в тени секвой, ничем не отличалось от прочих строений такого рода – те же бетонные полы и вечно нуждающиеся в покраске стены, – однако в комнате, где работали адепты хаоса, царила особая атмосфера: там громоздились стопки бумаг, на стенах фотографии таитянок перемежались с изображениями странных аттракторов. Почти каждый час, но чаще ночью, нежели утром, случайный посетитель мог наблюдать, как члены группы заново устанавливают схемы, отсоединяют шнуры от наборной панели, спорят о самосознании и эволюции, регулируют экран осциллографа или просто с упоением смотрят, как сверкающая зеленая точка, чья орбита мерцает и подрагивает, словно живое существо, вычерчивает бесконечную кривую.

«На самом деле всех нас привлекло одно и то же: мысль, что можно наблюдать детерминизм, но в какой-то степени нереальный, – признавался Фармер. – Идея о том, что классические детерминистские системы, которые мы изучали, способны генерировать случайность, казалась интригующей, и мы двигались дальше, чтобы понять, что дает ход этому явлению.

Нельзя по достоинству оценить такое открытие, если в течение шести или семи лет человеку не вбивали в голову все стандартные курсы физики. Нас учили, что существуют классические системы, где абсолютно все определяется начальными условиями, и есть системы квантовой механики, где явления тоже предопределены, но необходимо учитывать, что возможности по сбору исходных данных о системе ограниченны. Что же касается понятия „нелинейный“, то его мы встречали лишь в конце учебника. Так студент-физик изучал курс математики, где самая последняя глава была посвящена нелинейным уравнениям. Обычно мы ее пропускали, а если и нет, то усваивали только одну рекомендацию: нужно свести эти нелинейные уравнения к линейным, чтобы получить приблизительные решения. Мы расписывались в собственной беспомощности.

Мы понятия не имели о том, что именно нелинейность реально меняет в модели. Уже сама идея, что уравнение может вести себя непредсказуемым образом, была вполне захватывающей. Мы задавались вопросом: что служит причиной такого случайного поведения? Ведь его не видно в уравнениях… Казалось, что-то появляется прямо из небытия!»

Крачфилд говорил: «Мы поняли, что перед нами лежит целая область физических знаний, которую нельзя втиснуть в привычные рамки. Почему нас этому не учили? Теперь нам представился шанс взглянуть на реальность прекрасного земного мира и попытаться хоть что-то понять».

Очарованные постигнутым, они обескуражили профессоров, взявшись за проблемы детерминизма, природу интеллекта, направления биологического развития.

«Нас объединило то, что мы все смотрели вдаль, – объяснял Паккард. – Мы были поражены, выяснив, что упорядоченные физические системы, затертые до дыр в курсе классической физики, порождают нечто таинственное, если слегка изменить параметры, нечто такое, к чему неприменим огромный аналитический аппарат.

Феномен хаоса мог быть открыт гораздо, гораздо раньше. Этого не случилось, потому что исследования динамики регулярного движения вели ученых по другому пути. Но если взглянуть повнимательнее, можно обнаружить и дорожку к хаосу[323].

Проделанная работа укрепляла в следующей мысли: пусть физика и наблюдения ведут нас, а мы посмотрим, какие новые теории можно развить. В долгосрочной перспективе мы признали изучение сложных систем отправной точкой, от которой можно перейти к пониманию их по-настоящему сложной динамики». Фармер добавлял: «В философском плане обнаруженное ошеломило меня. Ведь это был действенный путь примирения свободы воли с детерминизмом. В самом деле: система является детерминистской, но мы не знаем, как она себя поведет в дальнейшем! В то же время я всегда ощущал, что важнейшие проблемы в мире связаны с законами организации жизни и разума. Но как можно их изучить? То, чем занимались биологи, казалось чересчур прикладным и специфичным. Химики, бесспорно, не работали над этой проблемой. Математики – тоже, равно как и физики. Однако я чувствовал, что вопрос о стихийной самоорганизации должен относиться именно к сфере физики. То, что мы увидели в своих экспериментах, являлось двумя сторонами одной медали. Порядок существовал, и он был такой, что в него постепенно вклинивалась доля случайности, а затем еще шаг – и появлялся хаос, скрывающий в себе свой особый порядок».

Шоу и его коллегам пришлось претворить переполнявший их энтузиазм в трезвую научную программу. Они задавали вопросы, на которые можно было ответить и стоило отвечать. Они искали связующие звенья между теорией и опытом. Именно там, как им подсказывала интуиция, лежал пробел, который требовалось заполнить. Приступая к работе, молодые ученые должны были выяснить, что уже известно, а что еще ждет своего часа. Одно это представлялось тяжким испытанием.

Группе динамических систем мешало то, что общение ученых ограничено рамками отдельных дисциплин. Эта обособленность была особенно досадной помехой, когда предмет исследования лежал на границе разных областей знания. Зачастую исследователи даже не представляли, где именно находятся – в уже освоенных владениях науки или на неизведанной территории. Единственным, кто мог пролить свет на это обстоятельство, был Джозеф Форд, страстный ревнитель хаоса из Технологического института Джорджии. Он уже бесповоротно решил, что будущее физики – за нелинейной динамикой, и только за ней, и занялся сбором и распространением сведений о журнальных публикациях по хаосу[324]. Сам он занимался недиссипативным хаосом – хаосом астрономических объектов и физики элементарных частиц. Форд больше других был в курсе исследований советских ученых и считал своим долгом налаживать контакты со всеми, кто хотя бы отдаленно разделял философию новоиспеченной дисциплины. Везде и всюду он обзаводился друзьями, и краткий пересказ статьи любого исследователя проблемы нелинейности немедленно пополнял растущее собрание аннотаций Форда. Узнав об этом начинании Форда, молодые ученые из Санта-Круза обратились к нему с просьбой выслать копии статей, и вскоре публикации потекли рекой.

Члены группы выяснили, что странные аттракторы вызывают множество вопросов[325]. Каковы их характерные формы? Что представляет собой их топологическая структура? Что говорит геометрия о физике связанных динамических систем? Первым подходом к проблеме явилось практическое исследование, с которого и начал Шоу. Много математической литературы было посвящено аспекту структуры, но подход математиков казался Шоу слишком детализированным: за деревьями еще не видно было леса. Изучение литературы привело его к мысли, что математики, отвергнув в силу предубеждения компьютерный эксперимент, запутались в сложностях структуры отдельных орбит, то тут, то там возникающих бесконечностях и нарушениях непрерывности. Их не интересовала неопределенность аналоговых процессов, которая, с точки зрения физика, правила всеми системами реального мира. Сам Шоу, будучи физиком, увидел на экране своего осциллографа не отдельные орбиты, а некую огибающую кривую, элементами которой они являлись. Эта кривая менялась по мере того, как он аккуратно поворачивал рукоятки. Он не мог дать точное объяснение наблюдаемым изгибам и поворотам на языке математической топологии, и все же ему начинало казаться, что он понимает их.

Физик стремится делать измерения. Но что можно измерить в неуловимых движущихся образах? Шоу и другие члены группы попытались отделить те особые свойства, которые делали странные аттракторы столь чарующими. Сильная зависимость от начальных условий – стремление близлежащих траекторий отдалиться друг от друга. Именно эта характеристика заставила Лоренца понять, что долгосрочное предсказание погоды невозможно. Но где взять инструменты, чтобы определить степень зависимости? Да и поддается ли измерению непредсказуемость?

Ответ на этот вопрос дала концепция, родившаяся в России, а именно – показатели Ляпунова. Эти величины выражали меру как раз тех топологических характеристик, которые соответствовали понятию непредсказуемости. Показатели Ляпунова некоторой системы давали возможность оценить противоречивые результаты сжатия, растяжения и изгибания в фазовом пространстве аттрактора, позволяя тем самым судить обо всех свойствах системы, которые ведут к устойчивости или неустойчивости. Если значение показателя оказывалось больше нуля, это свидетельствовало о растяжении, при котором близлежащие точки разделялись. Значение меньше нуля указывало на сжатие. Для аттрактора, представлявшего собой неподвижную точку, все показатели Ляпунова были отрицательными, поскольку притяжение было направлено внутрь, к конечному устойчивому состоянию. Аттрактор в форме периодической орбиты характеризовался одним нулевым показателем, а все другие были отрицательными. Странный аттрактор, как выяснилось, должен был обладать по крайней мере одним положительным показателем Ляпунова.

К досаде молодых ученых, оказалось, что они не создали ничего нового, а всего лишь развили готовую идею настолько, насколько было возможно с точки зрения практики, научившись измерять показатели Ляпунова и соотносить их с другими важными характеристиками. Используя компьютерную анимацию, они строили серии движущихся картин, иллюстрировавших биения порядка и хаоса в динамических системах. Проделанный ими анализ ясно показывал, каким образом некоторые системы, будучи неупорядоченными в одном направлении, могут оставаться вполне определенными и устойчивыми в другом. Один из таких своеобразных фильмов демонстрировал, что происходит с крошечным кластером соседствующих точек на странном аттракторе – олицетворением начальных условий – по мере развития системы во времени. Кластер начинал «распыляться», теряя фокус, превращался в точку, затем – в маленький шарик, который у некоторых типов систем быстро распространялся по всему аттрактору. Такие аттракторы представляли интерес при изучении перемешивания. У других аттракторов распространение шло лишь в определенных направлениях: шарик превращался в ленту, хаотичную по одной оси и упорядоченную по другой. Создавалось впечатление, будто в системе уживаются упорядоченный и хаотический импульсы – и они обособленны. В то время как один импульс приводил к случайности и непредсказуемости, другой работал словно точнейшие часы. И оба могли быть определены и измерены.

Хаотическое перемешивание. Одна капля перемешивается быстро, другая, расположенная чуть ближе к центру, почти вовсе не перемешивается. В экспериментах Джулио Оттино и других ученых с реальными жидкостями процесс перемешивания – повсеместно встречающийся как в природе, так и в промышленности, но при этом все еще слабо изученный – оказался очень тесно связан с математикой хаоса. Поведение жидкостей обнаруживало процессы растяжения и складывания, которые возвращали ученых к подкове Смейла.

Наибольший вклад исследований, проведенных в Санта-Крузе, в науку о хаосе оказался связан с разделом математики, в котором присутствует изрядная доля философии, – с теорией информации[326]. Эта теория была создана в конце 1940-х годов Клодом Шенноном, американским инженером, трудившимся в компании BellTelephoneLaboratories. Он назвал свою работу «Математическая теория коммуникации», но, поскольку речь в ней шла об особом понятии, называемом информацией, за новой дисциплиной закрепилось наименование «теория информации». То был продукт века электроники. Линии связи и радиопередачи несли в себе нечто определенное, в недалеком будущем компьютерам предстояло хранить это «нечто» на перфокартах или магнитных цилиндрах, и все же оно не являлось знаниями и само по себе не обладало смыслом. Основными единицами этого загадочного предмета служили не идеи, не понятия и даже не всегда слова или числа. Независимо от того, нес ли он в себе смысл или бессмыслицу, инженеры и математики могли его измерять, пересылать по линиям передач и проверять такие передачи на точность. Слово «информация» было таким же словом, как и все остальные, но люди должны были запомнить, что они используют специальный, свободный от оценочных суждений термин, не связанный привычными коннотациями с фактами, обучением, мудростью, пониманием и просвещением.

Технические средства определили очертания теории. Поскольку информация хранилась в ячейках компьютерной памяти в двоичном представлении – в битах, бит стал основной мерой информации. С технической точки зрения теория информации превратилась в инструмент, который помогал выяснить, каким образом шумы в форме случайных помех препятствуют передаче битов. Теория подсказывала способ определения необходимой пропускной способности коммуникационных каналов, компакт-дисков и прочих продуктов технологии, кодировавшей язык, звуки и изображения. Она предлагала теоретические средства для расчета эффективности различных схем коррекции ошибок, в частности, применения некоторых битов для проверки остальных. Наконец, она исследовала такое важнейшее понятие, как «избыточность». Согласно теории информации Шеннона, обычный язык более чем на 50 % избыточен, то есть содержит звуки или буквы, которые не являются строго необходимыми для передачи сообщения. Знакомая идея, не правда ли? Повседневная коммуникация в мире, где невнятно проговаривают слова и допускают опечатки, существенным образом зависит от избыточности. Известная всем реклама курсов стенографии «если в мжт прчть здс сбщн» наглядно иллюстрирует выдвинутое утверждение, а теория информации позволяет дать количественную оценку данного феномена. Избыточность являет собой предсказуемое отклонение от случайного. В обычном языке она проявляется в повторяемости значений, которую весьма сложно измерить – мера ее зависит от общих для людей знаний о собственном языке и мире. Именно элемент избыточности помогает людям решать кроссворды или вставлять пропущенное слово, если оно начинается, скажем, на букву а. Есть и другие типы избыточности, больше пригодные для численных измерений. Согласно статистическим данным, вероятность того, что взятой наугад буквой английского языка окажется буква е, гораздо выше 1/26[327]. К тому же не стоит рассматривать буквы как изолированные единицы. К примеру, зная, что в английском тексте есть буква t, можно предположить, что за ней следует буква h или о, а зная две буквы, можно предсказать следующую с еще большей точностью. Частотность употребления комбинаций из двух или трех букв восходит к пониманию характерных особенностей того или иного языка. Компьютер, руководствуясь одними лишь относительными вероятностями возможных трехбуквенных последовательностей, может выдать бессмысленный текст, но это будет узнаваемо английская бессмыслица. Криптологи долгое время использовали такой статистический принцип при расшифровке простых кодов. Сейчас инженеры, работающие в сфере коммуникаций, применяют его к технологиям сжатия данных и устранения избыточности, чтобы экономить пространство передающей линии или дискового накопителя. По Шеннону, нужно рассматривать эти модели, руководствуясь следующими соображениями: поток информации в обычном языке менее чем случаен; каждый новый бит частично ограничен предшествующими; таким образом, каждый новый бит несет в себе в некоторой степени меньше содержания, чем мог бы. В такой формулировке просматривается некий парадокс: чем выше доля случайности в потоке данных, тем больше информации будет передано каждым новым битом.

Весьма ценная в техническом плане для начала компьютерной эры, теория информации Шеннона мало что привнесла в философию. Удивительным образом та часть теории, которая привлекла внимание специалистов других областей, может быть выражена одним-единственным термином – энтропия. Как объяснял Уоррен Уивер в классическом изложении теории информации, «человек, впервые сталкивающийся с понятием энтропии в теории коммуникаций, вправе ощутить волнение, он вправе заключить, что встретил нечто основополагающее, важное»[328]. Концепция энтропии восходит к термодинамике: на ней основан второй закон термодинамики, гласящий, что Вселенная и каждая изолированная система в ней неизбежно стремится к нарастанию беспорядка. Разделите бассейн на две части, поставив между ними перегородку. Наполните одну часть водой, а другую – чернилами. Дождитесь, пока поверхность успокоится, а затем уберите перегородку. Вы увидите, что лишь посредством случайного перемещения молекул вода и чернила со временем перемешаются. Этот процесс никогда не повернется вспять, сколько ни жди – хоть до конца света. Именно поэтому часто считается, что второй закон термодинамики – это тот физический принцип, который уподобил время одностороннему уличному движению. Энтропия – наименование того свойства систем, которое увеличивается согласно второму закону: перемешивания, беспорядочности, случайности. Это понятие легче постичь интуитивно, не пытаясь измерить его в реальной жизни. Как с достаточной степенью достоверности можно оценить, насколько хорошо перемешались два вещества? Можно взять случайный набор молекул смеси и пересчитать молекулы каждого из этих веществ в нем; но какой вывод вы сделаете, если получите результат «да – нет – да – нет – да – нет – да – нет»[329]? Вряд ли вы скажете, что энтропия большая. Другой способ заключается в подсчете только четных молекул; но что, если получится последовательность «да – нет – нет – да – да – нет – нет – да»? Порядок проявляется таким образом, что делает бесполезным любой алгоритм подсчета. Дополнительную сложность в теорию информации добавляют проблемы смысла и представления. Последовательности вроде такой: οι оюо оюо оою ш ою и оо ооо оою ш ою il оюо о ооо ооо… – могут показаться упорядоченными только наблюдателям, знакомым с азбукой Морзе и творчеством Шекспира. И как тогда быть с топологически замысловатыми узорами странного аттрактора?

Роберт Шоу узрел в аттракторах движущую силу информации. Согласно его первоначальной и главнейшей концепции, хаос указывает естественный путь возврата к физическим наукам в обновленной форме, к тем идеям, которые теория информации почерпнула из термодинамики. Странные аттракторы, соединяющие порядок и беспорядочность, открыли новую перспективу в вопросе измерения энтропии систем. Они являются эффективными «перемешивателями», что создают непредсказуемость и таким образом повышают энтропию. По представлениям Шоу, они порождают информацию там, где ее ранее не существовало.

Однажды Норман Паккард, читая журнал Scientific American, наткнулся на сообщение о конкурсе эссе, объявленном Луи Жако[330]. Стоило подумать об участии: Жако, французский финансист, выдвинувший собственную теорию относительно структуры Вселенной, галактик внутри галактик, обещал победителю солидный приз. Для участия в конкурсе принимались любые очерки, так или иначе касающиеся предмета интересов самого Жако. («Они получат груды писем от всяких чудаков», – предрекал Фармер.) Состав жюри впечатлял: туда входили светила французской науки. Впечатлял и денежный приз. Паккард показал объявление Шоу. Работу нужно было представить на конкурс не позднее 1 января 1978 года.

К этому времени члены группы регулярно встречались в большом старом доме неподалеку от побережья. Они притащили туда мебель с блошиного рынка и компьютерное оборудование, применявшееся в основном для работы над теорией рулетки. Шоу держал там пианино, на котором наигрывал мелодии эпохи барокко или просто импровизации на классические и современные темы. Встречаясь у побережья, физики выработали собственный стиль исследований: процедуру оценки идей, просеивания их сквозь сито целесообразности, штудирования литературы и написания своих работ. В конечном счете молодые люди научились довольно эффективной совместной работе над статьями для научных журналов. Впрочем, первая статья была подписана именем Шоу – одна из немногих, которые он напишет, – и он работал над ней в одиночку, что было довольно характерно. И что не менее характерно, он опоздал.

В декабре 1977 года Шоу отправился на первый семинар, посвященный хаосу и проходивший в Нью-Йоркской академии наук[331]. Профессор, руководивший работой Шоу, когда тот еще писал диссертацию по сверхпроводимости, оплатил ему проезд, и Роберт, не смущаясь отсутствием приглашения, прибыл вживую послушать доклады ученых, которых знал только по публикациям. Давид Рюэль, Роберт Мэй, Джеймс Йорк – молодому физику эти люди внушали благоговейный трепет. Как, впрочем, и плата за номер в отеле «Барбизон» – целых тридцать пять долларов! Астрономическая для него сумма. Слушая доклады, он мучился противоречивыми чувствами. С одной стороны, было ясно, что, сам того не ведая, он двигался по уже детально изученной территории, а с другой – что-то подсказывало Шоу: он способен вынести на обсуждение новую важную идею. Он привез незаконченный вариант своей статьи о теории информации, написанный от руки и подколотый в скоросшиватель черновик. Попытки найти пишущую машинку – сначала в гостинице, а затем в местных ремонтных мастерских – успеха не имели. Шоу был вынужден увезти работу назад. Уже потом, когда друзья начали расспрашивать о деталях поездки, он поведал, что кульминацией встречи стал ужин в честь Эдварда Лоренца, который наконец удостоился всеобщего признания, столь долго обходившего его стороной. Когда знаменитый ученый вошел в комнату, робко держа под руку жену, все присутствующие, встав со своих мест, приветствовали его аплодисментами[332]. Шоу был поражен тем, насколько перепуганным при этом выглядел виновник торжества.

Несколькими неделями позже, во время поездки в штат Мэн, где у его родителей был дачный домик, Шоу все-таки отправил статью на конкурс Жако[333]. Новогодние праздники уже миновали, но начальник местной почты великодушно проставил на конверте более раннюю дату. Очерк – смесь эзотерической математики и умозрительной философии, которую иллюстрировали похожие на кадры мультфильмов рисунки Криса Шоу, брата Роберта, – был удостоен похвального отзыва. Шоу получил достаточную сумму наличными, чтобы оплатить путешествие в Париж, где он мог получить награду. Достижение было скромным, но пришлось очень кстати, поскольку отношения группы динамических систем с факультетом становились все более натянутыми. Молодые ученые отчаянно нуждались в любых проявлениях доверия извне, какие только могли снискать. Фармер забросил свою астрофизику, Паккард покинул нивы статистической механики, а Крачфилд все еще не был готов к тому, чтобы сделаться аспирантом. На факультете чувствовали, что ситуация выходит из-под контроля.

Статья «Странные аттракторы: хаотическое поведение и поток информации» распространилась тогда в препринтном издании, тираж которого достиг почти тысячи экземпляров. Это была первая старательная попытка соединить теорию информации и хаос.

Шоу представил некоторые предположения классической механики в новом свете. Энергия в природе существует как бы на двух уровнях: в макромире, будничные объекты которого могут быть измерены и всесторонне описаны, и в микромире, где неисчислимое количество атомов находится в хаотическом движении, которое можно характеризовать только их средней скоростью, проявляющейся в макромире как температура. По замечанию Шоу, суммарная энергия микромасштабов может перевесить энергию макромасштабов, но в классических системах тепловое движение атомов не рассматривают, считая его изолированным и непригодным для расчетов. Таким образом, разные масштабы не сообщаются друг с другом, и, по словам Шоу, «совсем необязательно знать температуру, чтобы решить задачу из классической механики». Но все же, с его точки зрения, хаотические и близкие к ним системы преодолевают разрыв между макромасштабами и микромасштабами. Хаос порождается информацией.

Можно представить себе течение воды, огибающей препятствие. Как известно любому ученому, занимающемуся гидродинамикой, и каждому любителю гребли на каноэ, если поток движется достаточно быстро, то ниже по течению образуются водовороты. При определенной скорости завихрения остаются на месте, но если скорость увеличивается, то они начинают перемещаться. Экспериментатор может получать данные из такой системы различными методами, например, использовать детекторы скорости и другие устройства. Но почему бы не попробовать самое простое? Выбрав точку, расположенную ниже препятствия по течению, через одинаковые временные интервалы можно наблюдать, где относительно этой точки находится завихрение – справа или слева.

Если завихрение не двигается, поток данных будет иметь следующий вид: слева – слева – слева – слева – слева – слева – слева – слева – слева – слева – слева – слева – слева – слева – слева – слева – слева – слева – слева – слева… По истечении некоторого времени наблюдатель начинает понимать, что новые биты данных ничего нового о системе не сообщают.

А возможно, завихрение будет двигаться туда-сюда: слева – справа – слева – справа – слева – справа – слева – справа – слева – справа – слева – справа – слева – справа – слева – справа – слева – справа – слева – справа… Хотя сначала ситуация кажется на порядок более интересной, она быстро исчерпывает свои возможности преподносить сюрпризы.

Когда же система, определенно в силу своей непредсказуемости, становится хаотичной, она начинает генерировать устойчивый поток данных, причем каждое наблюдение приносит что-то новое. Такое поведение представляет собой проблему для экспериментатора, пытающегося полностью описать систему. Как замечал Шоу, «он никогда не сможет покинуть лабораторию, поскольку поток превратится в непрерывный источник информации».

Но откуда исходит информация? Рассмотрим сосуд с водой. На микроскопическом уровне это миллиарды молекул, кружащихся в полном случайностей термодинамическом танце. Подобно тому как турбулентность по цепочкам водоворотов передает энергию от больших масштабов вниз, к малым масштабам, где она рассеивается из-за вязкости, так и информация передается обратно от малых масштабов к большим. Во всяком случае, таким образом Шоу и его коллеги описывали наблюдаемое явление. И каналом передачи данных наверх служит странный аттрактор, увеличивающий первоначальную неупорядоченность тем же образом, каким открытый Лоренцем эффект бабочки «раздувает» крошечные неопределенности до размеров крупномасштабных моделей погоды.

Вопрос заключался в степени увеличения. Продублировав по неведению некоторые уже проведенные исследования, Шоу выяснил, что советские ученые вновь опередили его группу. Андрей Колмогоров и Яков Синай разработали базовые математические методы, позволяющие связать свойственную системе удельную энтропию (энтропию на единицу времени) с геометрическими изображениями растягивающихся и сгибающихся в фазовом пространстве поверхностей[334]. Концептуальное ядро данной методики заключалось в том, чтобы нарисовать небольшой ящичек вокруг некоторого множества начальных условий (представьте себе маленький квадрат на боку воздушного шарика), а затем подсчитать эффекты от расширения или изгибов этого ящичка. Он может, в частности, растянуться в одном направлении, оставаясь узким в другом. Изменения площади соответствовали внесению неопределенности относительно прошлого системы, получению или утрате информации.

В той степени, в какой термин «информация» являлся более приятным словом для обозначения непредсказуемости, эта теория соответствовала идеям, которые развивали Рюэль и другие ученые. Но обращение к теории информации позволило группе из Санта-Круза использовать ту часть математической аргументации, которая была хорошо отработана теоретиками в сфере коммуникации. В частности, проблема добавления внешних помех в детерминистскую систему представлялась для динамики новой, но в области коммуникации с ней были уже хорошо знакомы. Молодых ученых, впрочем, математика привлекла лишь отчасти. Когда они обсуждали системы, генерирующие информацию, то размышляли и о спонтанном зарождении неких закономерностей в мире. Паккард замечал: «Кульминацией сложной динамики являются биологическая эволюция и процессы мышления. Интуиция подсказывает, что существует четкий принцип, с помощью которого эти сверхсложные системы генерируют данные. Миллиарды лет назад существовали лишь частицы протоплазмы, затем появились все мы. Итак, информация была создана и сохранена в нашей структуре. Несомненно, что в ходе развития сознания человека, начиная с детства, информация не только накапливается, но и порождается теми связями, коих ранее не существовало»[335]. Такого рода разговоры могли вскружить голову даже здравомыслящему ученому-физику.

Участники группы были прежде всего экспериментаторами-«жестянщиками», а уже потом философами. В их ли силах было перекинуть мостик от странных аттракторов, которые они столь хорошо знали, к опытам классической физики? Утверждать, что «справа – слева – справа – справа – слева – справа – слева – слева – слева – справа» обладает свойством непредсказуемости и способностью генерировать информацию, – это одно, а, взяв поток реальной информации, определить присущие ему показатели Ляпунова, энтропию и размерность – совсем другое. Но все же молодые физики из Санта-Круза чувствовали себя в окружении подобных идей куда более комфортно, нежели их старшие коллеги. Они жили мыслями о странных аттракторах днем и ночью, убедив себя в том, что наблюдают их в развевающихся, сотрясающихся, пульсирующих и качающихся объектах повседневной жизни.

Сидя в кафе, они забавлялись тем, что спрашивали: далеко ли отсюда находится ближайший странный аттрактор? Уж не то ли это дребезжащее автомобильное крыло? Или флаг, трепещущий от дуновения ветерка? Дрожащий лист на ветке? «Вы не увидите объект до тех пор, пока верно выбранная метафора не позволит воспринять его», – замечал Шоу, вторя Томасу Куну[336]. Вскоре их друг Билл Бёрк, занимавшийся теорией относительности, окончательно убедился, что спидометр его машины работает в свойственной странному аттрактору нелинейной манере.

Приступая к экспериментальному проекту, который займет его на ближайшие несколько лет, Шоу выбрал самую невзрачную динамическую систему, какую только мог представить физик, – подтекающий кран. Большинство людей полагают, что в поведении этой системы непременно обнаруживается периодичность, но, как свидетельствуют эксперименты, это не совсем так. «Перед нами простой пример системы, которая переходит от предсказуемого поведения к непредсказуемому, – объяснял Шоу. – Если немного приоткрыть кран, дробь капель станет беспорядочной. Как выясняется, по прошествии небольшого периода времени ее уже нельзя предугадать. Таким образом, даже нечто простое, вроде водопроводного крана, может считаться вечно созидающим информацию объектом»[337].

В качестве организующего начала для дальнейшей работы кран может предложить немного. Он порождает лишь капли, каждая из которых почти повторяет собой предыдущую. Однако для новоиспеченного исследователя хаоса этот объект заключает в себе два преимущества: во-первых, всякий может его представить; во-вторых, поток информации одномерен настолько, насколько это возможно, – ритмичная барабанная дробь отдельных капель измеряется в разные моменты времени. Ни одним из перечисленных достоинств системы, которые позже изучались группой, не обладали. Не были они присущи ни иммунной системе человека, ни сталкивающимся пучкам, которые необъяснимым образом снижали коэффициент полезного действия линейного ускорителя в Стэнфорде[338]. Ученые-экспериментаторы вроде Либхабера и Суинни получали одномерный поток информации путем произвольного закрепления детектора в одной из точек чуть более сложной системы. В подтекающем кране единственная линия данных представляет собой все, что имеется в наличии. Это даже не постоянно меняющаяся вязкость или температура, а всего лишь момент падения капли.

Если попросить физика-традиционалиста заняться такой системой, он, вероятно, начнет с того, что создаст максимально законченную ее модель. Процессы, управляющие формированием и падением капель, вполне понятны, хотя и не столь просты, как может показаться. Одним из немаловажных параметров является скорость течения жидкости[339]. (Она была невысокой в сравнении со скоростью большинства гидродинамических систем. В эксперименте Шоу частота падения капель составляла от 1 до 10 в секунду, что соответствовало скорости течения жидкости из крана от зо до зоо галлонов в две недели.) К другим важным параметрам относятся вязкость жидкости и поверхностное трение. Капля воды, висящая на кончике крана и готовая вот-вот сорваться вниз, принимает сложную трехмерную форму. Один только расчет ее конфигурации требовал, по словам Шоу, «вычислений на переднем крае компьютерной техники»[340]. К тому же указанная форма далеко не статична. Капля подобна небольшому эластичному мешочку, обладающему поверхностным натяжением. Качаясь туда-сюда, он набирает массу и растягивается до тех пор, пока не минует критическую точку и не упадет. Если физик попробует построить полную модель падения капель, составит связанные дифференциальные уравнения в частных производных с подходящими граничными условиями и попытается затем решить их, он обнаружит, что оказался в непроходимом лесу.

Альтернативный подход к проблеме заключается в том, чтобы, забыв о физике, рассматривать только информацию – так, будто она исходит из некоего «черного ящика». Что может сказать эксперт по динамике хаоса, имея перечень чисел, обозначающих интервалы между падением отдельных капель? Как выяснилось, кое-какие методы анализа таких данных все же существовали и могли прояснить некоторые детали физической картины, что, собственно, и стало решающим в деле применения хаоса к задачам реального мира.

Но Шоу, отвергнув крайности, начал с золотой середины. Он создал своеобразную пародию на завершенную физическую модель. Не принимая во внимание ни форму капель, ни их сложные движения в трех измерениях, он лишь грубо смоделировал падение – уподобил капли грузу, который висит на пружине и при этом постепенно растет. По мере возрастания веса пружина растягивается – и груз опускается все ниже. По достижении определенной точки часть груза, отломившись, отделяется. Какая именно часть отделится, будет зависеть, по предположению Шоу, непосредственно от скорости падения груза в точке отрыва.

Потом, естественно, пружина с остатком груза подскочит вверх, производя те самые колебания, которые студенты при построении моделей описывают с помощью стандартных уравнений. Интересное свойство системы – единственное интересное свойство, определяющее нелинейный элемент, который делает возможным хаотичное поведение, – заключалось в том, что момент отрыва следующей капли зависел от взаимодействия колебаний пружины с увеличением веса груза. Скачок вниз, вероятно, помогал грузу достичь точки отрыва гораздо быстрее, а движение вверх слегка замедляло этот процесс. В реальности не все капли, образуемые подтекающим водопроводным краном, имеют одинаковый размер. Он меняется в зависимости от скорости течения, а также от сжатия или растяжения «пружины». Если капля рождается при движении вниз, она срывается быстрее, в противном случае она сможет вобрать в себя немного больше жидкости, прежде чем упадет. Сконструированная Шоу модель была достаточно «примитивной», чтобы ее удалось описать тремя дифференциальными уравнениями – минимально необходимым для моделирования хаоса количеством, как продемонстрировали Лоренц и Пуанкаре. Но позволяла ли она генерировать сложность, равнозначную реальной? И являлась ли эта сложность сложностью того же типа?

Итак, Шоу сидел в лаборатории физического факультета. Над его головой располагалась большая пластмассовая емкость, от которой отходила трубка, спускавшаяся к первоклассной латунной насадке, добытой в скобяной лавке. Каждая капля, падая, пересекала луч света, фиксируемый фотоэлементом. Компьютер в соседней комнате регистрировал время. Одновременно Шоу ввел в аналоговый вычислитель три своих уравнения, которые начали генерировать поток мнимых данных. Однажды он устроил на факультете демонстрацию – псевдоколлоквиум, по выражению Крачфилда (аспирантам не разрешалось устраивать официальные коллоквиумы)[341]. Шоу прокрутил пленку с записью того, как капли выстукивают дробь на куске жестянки, и с помощью компьютера воспроизвел щелчки – аудиомодель падения капель. Он подошел к решению проблемы сразу с двух сторон, и слушатели смогли уловить некую структуру в неупорядоченной вроде бы системе. Но для дальнейшего движения вперед нужен был способ, позволяющий извлечь необработанные данные из любого эксперимента и возвратиться к уравнениям и странным аттракторам, характеризующим хаос.

Будь система сложней, можно было бы прибегнуть к графической интерпретации, например, устанавливающей связь между изменениями температуры или скорости с одной стороны, и временем – с другой. Но подтекающий кран дает лишь последовательность временных периодов, поэтому Шоу попробовал применить технику, ставшую, пожалуй, наиболее ценным и значительным практическим вкладом его группы в исследование хаоса. Она заключалась в реконструкции фазового пространства для невидимого странного аттрактора и подходила для любой последовательности данных. Чтобы отобразить информацию о подтекающем кране, Шоу начертил двумерный график. По оси χ он отмечал временной интервал между падением одной пары капель, а по оси у – следующей пары. Если между падением первой и второй капель проходило 150 миллисекунд и еще столько же разделяло падение второй и третьей капель, он наносил на график точку с координатами (150; 150).

И всё! Если утечка воды была регулярной (такое, как правило, случалось, когда вода текла медленно, а сама система находилась в «режиме водяных часов»), график выглядел довольно скучным. Точки попадали на одно и то же место, накладываясь друг на друга. Изображение сводилось к одной-единствен-ной или почти к одной точке. В действительности первым различием между виртуальным и реальным кранами было то, что на реальный кран влияли помехи. «Выяснилось, что эта штука – отличный сейсмометр, – комментировал Шоу, – весьма эффективный в превращении малых шумов в большие»[342]. Большую часть работы исследователь проделывал по ночам, когда коридоры пустели и помех от шагов было меньше всего. Шумы превращали точку, полученную теоретически, в слегка расплывчатое маленькое облако.

По мере нарастания скорости течения жидкости система проходила через бифуркации удвоения периода. Капли падали парами: один интервал составлял 150 миллисекунд, а следующий – уже На графике возникали сразу две туманные области: одна с центром в точке (150; 80), a другая – с координатами (80; 150). Но настоящая проверка началась, когда система стала хаотической. Будь она по-настоящему беспорядочной, точки разбросало бы по всему графику и между двумя соседними интервалами не просматривалось бы связи. Но если в результатах опыта был скрыт странный аттрактор, он обнаружил бы себя объединением неясных очертаний в различимые структуры.

Зачастую, чтобы разглядеть структуру, необходимо трехмерное пространство, но это не представлялось сложным – описанная техника вполне поддавалась модификации для построения картинок с бо́льшим числом измерений: вместо того чтобы отмечать на графике соответствие между интервалом η и интервалом n+ 1, можно было отмечать соответствие между интервалами n, n+ 1 и n+ Это было ухищрение, своего рода трюк. Обычно трехмерный график требовал знания трех различных переменных в системе. Но с помощью этого трюка три переменных как бы приравнивались к одной. Этот подход отражал веру ученых в то, что порядок коренится в кажущейся случайности и так или иначе даст о себе знать экспериментаторам. Он проявится, даже если они не имеют представления, какие физические переменные следует измерять, или просто не могут измерить их напрямую. Фармер пояснял: «Размышляя о той или иной переменной, нужно иметь в виду, что на ее эволюцию влияют любые взаимодействующие с ней переменные. Их значения так или иначе должны отразиться в истории ее развития. Каким-то образом они просто обязаны оставить в ней свой след»[343]. Картины, полученные Шоу для подтекающего крана, наглядно иллюстрировали это утверждение. На них, особенно в трех измерениях, появлялись объекты, подобные петлям дыма, какие оставляет на небе неуправляемый самолет. Теперь Шоу мог сопоставить две диаграммы – экспериментальную и выданную аналоговым компьютером. Главное отличие состояло в том, что реальные данные всегда оказывались менее ясными, как бы «смазанными» из-за внешних помех, и все-таки структура просматривалась – в этом нельзя было ошибиться. Группа динамических систем начала сотрудничать с такими опытными экспериментаторами, как Гарри Суинни, который перешел в Техасский университет в Остине. Вскоре молодые исследователи научились устанавливать странные аттракторы для всех типов систем путем внедрения информации в фазовое пространство с достаточным числом измерений. Затем Флорис Такенс, который открыл аттракторы вместе с Давидом Рюэлем, независимо предложил математическое обоснование этой весьма эффективной техники воссоздания фазового пространства аттрактора из потока реальных данных[344]. Как позже обнаружили многие ученые, эта методика выявляет различие между простым шумом и хаосом, который понимался в новом смысле – как упорядоченный беспорядок, созданный простыми процессами. Информация, которая на самом деле случайна, остается произвольно «разбросанной», а хаос – детерминистский и подчиняющийся неким закономерностям – стягивает данные в видимые формы. Из всех возможных путей беспорядка природа благоволит лишь к немногим.

Переход от бунта к благочинной физике оказался небыстрым. Время от времени, сидя в кафе или работая в лаборатории, тот или иной участник группы изумлялся, что их научным фантазиям не положен конец. «Господи, мы все еще занимаемся этим и это все еще имеет смысл! – удивлялся Джим Крачфилд. – Мы все еще здесь. Но как далеко мы зайдем?»[345]

Основную поддержку группе оказывали Ральф Абрахам, протеже Смейла с математического факультета, и Билл Бёрк с факультета физики, который собственноручно собрал вычислительную машину – «царя аналоговых компьютеров», чтобы группа могла заявить свои притязания хотя бы на эту часть факультетского оборудования. Отношение остальных было куда сложнее. Несколько лет спустя некоторые профессора резко отрицали, что группе приходилось сталкиваться с безразличием или враждебностью со стороны факультета[346]. Сами молодые ученые столь же ожесточенно реагировали на то, что считали попытками запоздалых неофитов хаоса переписать историю. «У нас не было научного руководителя, и никто не говорил нам, что делать, – заявил Шоу. – Мы сами годами играли роль консультантов, и это продолжается по сей день. В Санта-Крузе наши исследования никогда не финансировались, и каждый из нас долгое время работал бесплатно. Мы постоянно были стеснены в средствах, не имели ни интеллектуального, ни какого-либо иного руководства»[347].

Хотя, если посмотреть на это с другой стороны, факультет долго мирился с исследованиями, которые отнюдь не обещали вылиться во что-либо научно существенное, и даже содействовал им. Руководитель диссертационной работы Шоу продолжал выплачивать ему стипендию еще год после того, как его протеже оставил физику низких температур. Никто не запрещал проводить исследования хаоса. В худшем случае факультет был обескуражен, но сохранял благожелательность. Каждого из участников группы время от времени увещевали с глазу на глаз, что если капризы имеющих ученую степень еще можно как-то оправдать, то аспирантам никто не поможет найти работу по несуществующей специальности. На факультете им втолковывали, что они переживают лишь мимолетное увлечение, но что будет потом? Однако за пределами поросших секвойями холмов Санта-Круза хаос уже обретал ярых сторонников – и группа динамических систем должна была присоединиться к ним.

Однажды университет посетил Митчелл Фейгенбаум, заехавший туда во время своего лекционного турне, которое призвано было ознакомить ученых с прорывом в исследовании универсальности. Как всегда, его выступления являли собой малопонятные экскурсы в математику. Теория ренормализационных групп представлялась неким эзотерическим элементом физики твердого тела, которую аспиранты Санта-Круза не изучали. Кроме того, молодых физиков больше интересовали реальные системы, нежели простые одномерные модели[348]. Тем временем Дойн Фармер, прослышав, что математик Оскар Лэнфорд III занимается исследованиями хаоса в Калифорнийском университете в Беркли, отправился на встречу с ним. Лэнфорд, вежливо выслушав гостя, заявил, что обсуждать им нечего. Он пытался разобраться с теориями Фейгенбаума[349].

«Господи, где его чувство масштаба? – думал Фармер. – Он занят исключительно малыми орбитами, а мы между тем изучаем теорию информации, которая столь глубока. Разбираем хаос на части, чтобы увидеть, что движет им. Пытаемся связать метрическую энтропию и показатели Ляпунова с более привычными статистике мерами».

При встрече с Фармером Лэнфорд не подчеркивал значения универсальности, и только позже до молодого физика дошло, что собеседник просто обошел данный вопрос. «Я был наивен, – признавался Фармер. – Сама идея универсальности стала не просто огромным достижением. Сделанное Фейгенбаумом дало работу целой армии ученых, занятых разного рода критическими явлениями.

Раньше представлялось, что нелинейные системы необходимо рассматривать последовательно. Мы пытались подобрать нужный язык, чтобы описать их, охарактеризовать количественно. Большинству, однако, казалось, что нужно применять именно последовательный подход. Мы не видели способа классифицировать системы и найти решения, подходящие для целого класса объектов, как это делается в отношении систем линейных. Универсальность позволяла найти свойства, идентичные (в некотором измеримом смысле) для всех явлений данного класса, некоторые предсказуемые характеристики. Вот почему она была по-настоящему важной.

Имелся и социологический фактор, подливавший масла в огонь. Фейгенбаум выразил результаты своих исследований на языке ренормализационных групп. Он позаимствовал инструмент, которым в совершенстве владели исследователи критических явлений. Эти парни переживали нелегкие времена. Им казалось, что нет больше интересных вопросов, за которые они могли бы взяться. Они искали, куда бы приложить свои знания. И тут появляется Фейгенбаум и указывает очень важную область приложения усилий. Он открыл новую дисциплину!»[350]Впрочем, молодые ученые из Санта-Круза сами вскоре стали известными. Внутри факультета их звезда начала восходить после внезапного появления группы на конференции по физике твердого тела, проходившей в середине зимы 1978 года в Лагуна-Бич и организованной Бернардо Губерманом из исследовательского центра компании Xeroxв Пало-Альто и Стэнфордского университета. Никто их туда не приглашал, но они все же отправились в путь, в огромном «форде» 1959 года выпуска, принадлежавшем Шоу (на таких машинах, известных под названием CreamDream, ездили фермеры). На всякий случай молодые люди захватили с собой кое-какое оборудование, в том числе огромный телевизионный монитор и видеофильмы. Когда один из приглашенных докладчиков в последнюю минуту отменил свое выступление, Губерман предложил Шоу выступить вместо него. Момент был выбран как нельзя лучше: хаос уже был на слуху, но лишь немногие физики, приехавшие в Лагуна-Бич, знали, что он собой представляет. Итак, Шоу начал с объяснения того, что такое аттрактор в фазовом пространстве: сначала фиксированные точки (процесс останавливается); затем предельные циклы (процесс подвержен колебаниям); затем странные аттракторы (непредсказуемый процесс). Он продемонстрировал свою компьютерную графику на видеопленке. («Аудиовизуальные средства дали нам ощутимые преимущества, – отмечал потом Шоу. – Нам удалось буквально загипнотизировать всех вспыхивающими огоньками»[351].) В своем докладе он коснулся аттрактора Лоренца и эксперимента с подтекающим краном, объяснил геометрию – как растягиваются и складываются различные формы и что это значит на грандиозном языке теории информации. Наконец, чтобы закрепить впечатление, он сказал несколько слов об изменяющихся парадигмах. Выступление обернулось триумфом, причем в аудитории находились некоторые сотрудники физического факультета Санта-Круза, впервые увидевшие хаос глазами своих юных коллег.

В 1979 году группа в полном составе посетила второе посвященное хаосу заседание Нью-Йоркской академии наук, но теперь уже в качестве законных участников. Новая дисциплина росла со скоростью взрывной волны. Если в 1977 году встреча была посвящена Лоренцу и на нее приехали десятки специалистов, то теперь главной фигурой стал Фейгенбаум, а число участников исчислялось уже сотнями. Там, где двумя годами ранее Роберт Шоу тщетно пытался отыскать пишущую машинку, чтобы подсунуть свой печатный текст под дверь какому-нибудь специалисту, группа динамических систем штамповала статьи со скоростью печатного станка, причем в качестве авторов указывались сразу все ее участники.

Но союз четырех не мог существовать вечно. Чем ближе становились молодые исследователи к реальному научному миру, тем неизбежнее был распад сообщества. Однажды позвонил Бернардо Губерман[352]. Ему нужен был Роберт Шоу, но на месте оказался только Крачфилд. Звонивший нуждался в соавторе, чтобы написать краткую и несложную статью о хаосе. Крачфилда, самого младшего в группе, уже не устраивала отведенная ему роль «хакера». Он начинал понимать, что в одном отношении факультет абсолютно прав: рано или поздно каждого из членов группы будут оценивать по отдельности. К тому же Губерман был весьма искушенным физиком, чего так недоставало аспирантам, и, что самое важное, он знал, как разработать проблему с максимальной отдачей. Когда Губерман впервые увидел лабораторию группы, у него появились определенные сомнения: «Понимаете, все выглядело таким расплывчатым, все эти диваны, кресла-мешки, словно ты в машине времени перенесся в эпоху хиппи и вновь ощутил атмосферу шестидесятых»[353]. И все-таки ему нужен был аналоговый компьютер, а Крачфилд сумел выполнить на нем исследовательскую программу Губермана в считаные часы. В этом деле коллектив становился уже помехой. «Парни захотят поучаствовать», – заметил как-то Крачфилд, но Губерман категорически отказал: «Это не просто доверие, это еще и ответственность. Допустим, что положения статьи окажутся неверными. Готовы ли вы к тому, что вина упадет на всю группу? Я не ее часть». Для работы ему требовался лишь один партнер.

Результат оправдал ожидания Губермана. Его первая статья о хаосе была опубликована в ведущем американском журнале, посвященном открытиям в области физики, – в PhysicalReviewLetters[354]. В среде ученых это считалось выдающимся достижением. «Нам все казалось совершенно очевидным, – вспоминал Крачфилд, – но Губерман понимал, что публикация вызовет резонанс». Происшедшее вернуло группу к реальности, заставив мечтателей приспособиться к окружающему миру. Фармер рассердился, усмотрев в «дезертирстве» Крачфилда подрыв самого духа группы[355].

Но Крачфилд, нарушивший верность коллективу, оказался не одинок. Вскоре сам Фармер, а за ним и Паккард начали сотрудничать с авторитетными физиками и математиками: Губерманом, Суинни, Йорком. Идеи, зародившиеся в Санта-Крузе, легли кирпичиком в фундамент современной методологии исследований хаоса. Когда физик, имеющий массу данных, намеревался определить их размерность или энтропию, в ход шли определения и методы, придуманные в годы подсоединения штекеров к аналоговому компьютеру модели Systron-Donner и напряженных наблюдений за экраном осциллографа. Метеорологи спорили о том, имеет ли хаос земной атмосферы и океанов бесконечное число измерений, как предполагала традиционная динамика, или каким-то образом следует странному аттрактору с малой размерностью[356]. Экономисты, анализируя данные фондовой биржи, пытались найти аттракторы с размерностью 3,7 или 5,3[357]· Чем ниже размерность, тем проще система. Необходимо было классифицировать и постичь множество математических свойств. Фрактальная размерность, размерность Хаусдорфа, размерность Ляпунова, информационная размерность – тонкости указанных мер хаотической системы лучше всего объяснили Фармер и Йорк[358]. Размерность аттрактора являлась «первым уровнем знаний, необходимых для характеристики его качеств». Это свойство обеспечивало «количество информации, требуемое для того, чтобы установить положение точки на аттракторе с заданной точностью»[359]. Методы молодых физиков из Санта-Круза и их старших коллег связали указанные идеи с другими важнейшими характеристиками систем: скоростью уменьшения предсказуемости, скоростью потока информации, тенденцией к перемешиванию. Иногда ученые, используя эти методы, обнаруживали, что наносят данные на графики и рисуют маленькие квадратики, подсчитывая количество единиц информации в каждом из них. Но даже такая довольно примитивная техника впервые делала хаотичные системы доступными для научного осмысления.

Тем временем исследователи, научившись распознавать странные аттракторы в развевающихся флагах и дребезжащих спидометрах, сочли необходимым найти признаки детерминистского хаоса во всей свежей публикуемой литературе по физике. Необъяснимые шумы, удивительные колебания, регулярность, смешанная с неупорядоченностью, встречались в статьях экспериментаторов, работавших буквально со всем, начиная от ускорителей частиц и заканчивая лазерами и джозефсоновскими контактами. Специалисты по хаосу присваивали эти проблемы себе, объявляя непосвященным: «Ваши проблемы на самом деле наши». «В нескольких опытах с осцилляторами с джозефсоновскими контактами обнаружились удивительные, порождающие шум явления, – так начиналась одна статья, – которые не могут быть объяснены в терминах тепловых колебаний».

Когда коллектив прекратил свое существование, некоторые из сотрудников факультета также обратились к изучению хаоса. Тем не менее другие физики, оглядываясь в прошлое, чувствовали, что Санта-Круз упустил шанс стать своего рода национальным центром по изучению нелинейной динамики, какие вскоре начали появляться в других университетах. В начале 1980-х годов участники группы динамических систем завершили учебу и разъехались. Шоу защитил диссертацию в 1980 году, Фармер – в 1981-м, Паккард – в 1982-м. Труд Крачфилда – переложение одиннадцати статей, уже напечатанных в журналах по физике и математике, – появился в 1983 году. Он продолжил работу в Калифорнийском университете в Беркли. Фармер присоединился к теоретическому отделу лаборатории Лос-Аламоса, а Паккард и Шоу уехали в Институт перспективных исследований в Принстоне. Крачфилд изучал эффекты обратной связи в видео, Фармер работал над «толстыми фракталами» и моделировал сложную динамику иммунной системы человека, Паккард исследовал пространственный хаос и образование снежинок, и только Шоу, казалось, не испытывал ни малейшего желания влиться в магистральное течение. Его сколько-нибудь заметный вклад в науку ограничивается лишь парой статей. Одна подарила ему путешествие в Париж, другая (работа о подтекающем кране) подвела итог всем его исследованиям в Санта-Крузе. Несколько раз Шоу был близок к тому, чтобы вообще уйти из науки. Как заметил один из его друзей, он колебался.

Глава 10

Внутренние ритмы

Науки не пытаются объяснять, вряд ли они даже стараются интерпретировать – они в основном создают модели. Под моделью понимается математическая конструкция, которая при добавлении некоторых словесных объяснений описывает изучаемый феномен. Оправданием для такой математической конструкции служит единственное обстоятельство: ожидается, что она сработает.

Джон фон Нейман

Непонимание относительно моделей. Сложное тело. Сердце в динамике. Переустановка биологических часов. Смертельная аритмия. Зародыши цыплят и неправильные ритмы. Хаос как состояние здоровья.

Бернардо Губерман обвел взглядом многоликую аудиторию: биологов (теоретиков и экспериментаторов), математиков, врачей, в том числе психиатров, – и понял, что у него проблемы с коммуникацией[360]. Только что он закончил свой незаурядный доклад на весьма необычном собрании – первой конференции, посвященной хаосу в биологии и медицине и проходившей в 1986 году под патронажем Нью-Йоркской академии наук, Национального института психического здоровья и Управления научных исследований Военно-морских сил США. В полукруглой аудитории имени Мазура Национальных институтов здравоохранения, недалеко от Вашингтона, Губерман заметил много знакомых лиц – тех, кто давно занимался проблемами хаоса, но также и тех, кого он видел впервые. Опытный докладчик вполне мог ожидать определенного нетерпения со стороны слушателей – шел последний день конференции, к тому же опасно близилось время ланча.

Губерман, энергичный черноволосый житель Калифорнии, переселившийся туда из Аргентины, интересовался хаосом еще со времен своего сотрудничества с группой из Санта-Круза. Он был научным сотрудником исследовательского центра корпорации Xeroxв Пало-Альто, но порой интереса ради занимался и теми проблемами, которые официально не имели отношения к его работе. На конференции биологов и медиков он только что затронул одну из таких проблем – моделирование беспорядочного движения глаз, наблюдаемого у больных шизофренией.

Не одно поколение психиатров билось над тем, чтобы дать определение шизофрении и классифицировать больных ею, однако описать эту болезнь оказалось почти таким же трудным делом, как и лечить ее. Большинство симптомов недуга проявляется в мышлении и поведении пациентов. Впрочем, начиная с 1908 года ученые уже знали о физическом признаке болезни, который беспокоил не только самих заболевших, но и их родственников: когда больные пытаются проследить за медленно раскачивающимся маятником, их глаза не способны следовать за его плавным движением. Человеческий глаз – удивительно проворный инструмент; здоровый человек бессознательно удерживает в поле зрения перемещающиеся предметы, и все движущиеся изображения оставляют неподвижный отпечаток на сетчатке глаза. Но взгляд больного шизофренией беспорядочно скачет, то опережая цель, то не доходя до нее; его застит дымка посторонних движений. Почему такое происходит – неизвестно.

Физиологи за много лет собрали огромное количество информации и составили на ее основе таблицы и графики, демонстрирующие примеры неупорядоченного движения глаз. Они предположили, что подобная неустойчивость порождается флуктуациями сигналов центральной нервной системы, которые управляют глазными мышцами. Шум «на входе» приводит к шуму «на выходе», и, возможно, какие-то случайные помехи, поражающие мозг больного, таким образом проявляются в движениях глаз. Губерман, будучи физиком, сделал иное допущение и построил небольшую модель.

Он самым приблизительным образом представил механику человеческого глаза и записал уравнение, которое включало в себя амплитуду колебаний маятника и их частоту, а еще инерцию глаза и своего рода трение – торможение. В уравнении присутствовал также специальный коэффициент коррекции погрешностей, дающей глазу возможность сконцентрироваться на объекте.

Как объяснил Губерман своей аудитории, итоговое уравнение описывает сходную с глазом механическую систему: шар, который перекатывается по изогнутому желобу, качающемуся из стороны в сторону. Подобное движение аналогично перемещению маятника, а стенки желоба, отталкивающие шар по направлению к центру, имитируют действие механизма коррекции ошибок зрения. Губерман прибегнул к уже стандартному сегодня методу изучения таких уравнений: он часами прогонял свою модель через компьютер, изменяя значения параметров, и строил графики поведения системы. В итоге он обнаружил и порядок, и хаос: в некоторых режимах глаз плавно прослеживал движение объекта, а затем, по мере возрастания степени нелинейности, система проходила через быструю последовательность удвоений периодов, порождая беспорядочность, неотличимую от той, что описывалась в медицинской литературе.

Неупорядоченное поведение модели не имело никакого отношения ни к одному внешнему сигналу, являясь неизбежным следствием избытка нелинейности в системе. Некоторые из врачей, слушавших доклад Губермана, посчитали, что его модель соответствует вероятной генетической модели шизофрении. Возможно, нелинейность, способная стабилизировать систему или вывести из строя (в зависимости от того, слаба нелинейность или сильна), является одним из генетических признаков. Один из психиатров провел аналогию с генетической обусловленностью подагры, когда повышенный уровень содержания мочевой кислоты порождает симптомы заболевания. Другие, знакомые с клинической литературой гораздо лучше Губермана, обратили его внимание на то, что рассматриваемый вопрос касается не одних лишь больных шизофренией. Целый ряд затруднений, связанных с движениями глаз, обнаруживается и у других пациентов с неврологическими заболеваниями. Периодические и апериодические колебания и вообще все типы динамического поведения могли быть обнаружены в собранных медиками данных любым человеком, кто взялся бы просмотреть их и применить инструменты теории хаоса.

Впрочем, не все ученые увидели в методике новые перспективы для исследований. Нашлись и скептики, заподозрившие, что докладчик слишком упростил свою модель. Их раздражение и разочарование дали о себе знать, когда подошло время вопросов. «Меня интересует, чем вы руководствовались, создавая свою модель? – осведомился один из ученых. – Почему решили поискать именно эти специфические элементы нелинейной динамики, все эти бифуркации и хаотические решения?»

Губерман ответил не сразу. «Хорошо, я поясню и постараюсь четче обозначить цели моей работы. Модель действительно проста. Допустим, кто-то приходит ко мне и говорит: мы наблюдаем вот это – как вы думаете, что это? А я отвечаю: давайте посмотрим, как можно это объяснить. И мне говорят: на самом деле единственное объяснение, которое приходит нам на ум, заключается в том, что в голове человека происходят какие-то быстрые флуктуации. На это я отвечаю: я как раз занимаюсь хаосом, поэтому знаю, что простейшие нелинейные модели слежения, которые можно создать, – простейшие! – обладают вот такими общими свойствами, не зависящими от конкретных деталей и от того, о чем именно мы говорим. Я создаю модель, и люди удивляются: о, это очень интересно, мы никогда и не думали, что это могут быть проявления внутреннего хаоса в системе. В моей модели нет никаких данных, касающихся нейрофизиологии, которые мне нужно было бы обосновывать. Я лишь хочу подчеркнуть, что простейшей моделью слежения является колебательный процесс, который дает сбои по пути к цели.

Именно таким образом движутся наши глаза, и именно так антенна радара выслеживает самолет. Описанную модель вы можете применить к чему угодно».

Тогда микрофон взял другой биолог, все еще недоумевавший по поводу простоты модели Губермана. Он обратил внимание докладчика на то, что в действительности в человеческом глазу мышцами управляют разом четыре системы. Затем, используя множество специальных терминов, он начал описывать более реалистичный, по его мнению, способ моделирования. Он утверждал, в частности, что массой можно пренебречь, так как колебания глаза сильно тормозятся. «Существует также еще одно затруднение, связанное с зависимостью между массой и скоростью вращения. Когда ускорение глаза очень велико, часть массы отстает. Желеобразное вещество человеческого глаза просто запаздывает, в то время как внешняя оболочка движется довольно быстро».

В воздухе повисла напряженная тишина. Губерман почувствовал, что оказался в тупике. В конце концов один из организаторов конференции, Арнольд Мэнделл, психиатр, давно интересовавшийся проблемами хаоса, взял микрофон из рук Губермана: «Как психиатр я хотел бы сделать некоторые пояснения. Мы только что стали свидетелями того, что происходит, когда исследователь, который занимается нелинейной динамикой и работает с низкоразмерными системами, начинает беседовать с биологом, применяющим математический инструментарий. Мысль, что в действительности существуют всеобщие свойства систем, встроенные даже в простейшие объекты, чужда нам всем. Сейчас звучат вопросы: „Каким образом проявляется шизофрения?“, „Как это связано с четырьмя двигательными системами глаза?“, „О чем нам говорит эта модель с точки зрения реальных физиологических процессов?“, – и мы только в начале поиска ответов на них. Правда в том, что мы, ученые и врачи, знающие все пятьдесят тысяч составных элементов живого, негодуем, услышав лишь о возможности наличия универсальных элементов движения. Бернардо представил нам один из этих элементов, и вы видите, что происходит». Губерман добавил: «Подобное уже случилось в физике лет пять назад, но за это время физиков удалось полностью убедить».

Выбор всегда один и тот же: вы можете сделать свою модель более сложной и лучше соответствующей реальным условиям или же более простой и легкой в обращении. Только самый наивный ученый полагает, будто идеальной моделью является та, что в совершенстве отражает действительность. Такая модель будет иметь те же недостатки, что и топографическая карта, столь же огромная, изобилующая деталями, как и город, который она представляет, карта, на которую нанесен каждый парк, каждая улочка, каждое строение и дерево, каждая выбоина, каждый городской житель и каждая карта. Будь создание такой карты возможным, ее детальность свела бы на нет главную цель – обобщение и абстрагирование. Составители карт фиксируют лишь отдельные признаки, согласно пожеланиям заказчиков. Какова бы ни была их цель, карты и модели должны упрощать явления в той же степени, в какой они подражают реальному миру.

Для Ральфа Абрахама, математика из Санта-Круза, хорошей моделью служит «мир маргариток» Джеймса Лавлока и Линн Маргулис, сторонников так называемой гипотезы Геи о том, что необходимые для жизни условия создаются и сохраняются самой жизнью, в самоподдерживающемся процессе динамической обратной связи. «Мир маргариток», пожалуй, представляет собой наипростейшую из всех моделей Геи, какие только можно вообразить. Он настолько прост, что порою кажется дурацким. «Мы имеем три вещи, – рассказывает Абрахам, – белые маргаритки, черные маргаритки и пустыню, где ничего не растет. Три цвета: белый, черный и красный. Как такая картина может что-то рассказать о нашей планете? Однако же она объясняет, каким образом появляется терморегуляция и почему температура нашей планеты пригодна для жизни. Модель „мира маргариток“ – ужасно плохая, но благодаря ей мы знаем то, как на планете Земля появился биологический гомеостаз»[361].

Белые маргаритки отражают свет, охлаждая поверхность планеты. Черные свет поглощают, понижая альбедо, или отражательную способность, планеты и таким образом согревая ее. Но белым цветам необходима теплая погода, поскольку они расцветают преимущественно при повышении температуры, а черные требуют прохладного климата. Все указанные признаки могут быть выражены системой дифференциальных уравнений. Модель запускается с помощью компьютера. Для широкого набора начальных условий система будет стремиться к аттрактору, некоторому состоянию равновесия, причем не обязательно равновесия статического.

«Это всего лишь математическое воплощение концептуальной модели, и оно-то нам и нужно, а не высокоточные модели биологических или социальных систем, – отмечал Абрахам. – В этой модели вы лишь вводите разные значения альбедо, задаете количество белых и черных маргариток и наблюдаете за миллиардами лет эволюции. А потом учите детей тому, как принести больше пользы в качестве управляющего планетой».

Совершенным образцом сложной динамической системы, а следовательно, и пробным камнем для любого подхода к феномену сложности многие ученые признали человеческое тело. Ни один доступный физикам объект изучения не характеризуется такой какофонией неритмичных движений в макро– и микроскопических масштабах: мышц, жидкостей, нервных импульсов, волокон, клеток. Ни одна физическая система не воплощает в себе столь крайнюю степень редукционизма: каждый орган имеет особую микроструктуру и специфичный химизм. Студенты-медики только названия учат годами. До чего же трудно постичь все элементы нашего организма! Часть тела может быть вполне осязаемым и четко очерченным органом, как, например, печень, или разветвленной сетью, по которой движется жидкость, как сердечно-сосудистая система. Или невидимой конструкцией, столь же абстрактной, как понятия «движение» или «демократия». Такова, скажем, иммунная система с ее лимфоцитами – миниатюрный механизм кодирования и расшифровки данных о вторгающихся в организм возбудителях болезней. Бесполезно исследовать такие системы, не зная их строения и химического состава, поэтому кардиологи изучают транспорт ионов через мышечную ткань желудочков, неврологи – электрическую природу возбуждения нейронов, а офтальмологи – структуру и назначение каждой глазной мышцы. В 1980-х годах хаос вызвал к жизни физиологию нового типа, основанную на идее, что математический инструментарий способен помочь ученым в постижении глобальных комплексных систем, независимых от локальных деталей. Исследователи стали рассматривать человеческое тело как вместилище движения и колебаний, разрабатывая методы прослушивания его неоднородных пульсаций[362]. Они улавливали ритмы, которые не обнаруживаются в неподвижных срезах на предметных стеклах под микроскопом или в образцах крови. Они проследили хаос в расстройствах дыхания, исследовали механизмы обратной связи в регуляции образования и работы красных и белых кровяных телец. Онкологи задумались над периодичностью и иррегулярностью в циклах роста клеток, психиатры выработали многомерный подход к антидепрессантной терапии, но больше всего открытий новый подход принес исследователям того органа, чьи пульсации, ритмичные или сбивчивые, нормальные или патологические, отделяют жизнь от смерти, – человеческого сердца.

Даже Давид Рюэль был готов на секунду забыть о формализме, чтобы порассуждать о хаосе в человеческом сердце, «динамической системе, жизненно важной для каждого из нас»: «В норме режим сердечной деятельности периодичен, но существует множество нарушающих периодичность патологий (например, фибрилляция, или мерцание, желудочков), которые неуклонно ведут к смерти. По-видимому, медицина может извлечь огромную пользу из компьютерного изучения приближенной к реальности математической модели, которая воспроизводила бы различные динамические режимы работы сердца»[363].

Целые команды ученых в Соединенных Штатах и Канаде приняли этот вызов. Иррегулярности сердцебиения были открыты, изучены, выделены и объединены в категории уже давно. Специалист сразу распознает на слух десятки неправильных ритмов, а при взгляде на пики электрокардиограммы укажет их источники и степень опасности. Человек же непосвященный может оценить всю сложность проблемы лишь по изобилию терминов, обозначающих различные типы аритмий: экстрасистолия, альтернирующие ритмы, пируэтная тахикардия, полная блокада, замещающий ритм, парасистолия (предсердная или желудочковая, классического или модулированного типа), тахикардия и фибрилляция (наиболее опасная для жизни). Этот сонм названий для процесса сокращения сердца, как и обозначения всех частей человеческого организма, служит медикам своеобразным утешением: он позволяет диагностировать недуги сердца и внести некоторую ясность в проблему. Но некоторые исследователи, используя методики теории хаоса, выяснили, что традиционная кардиология делает ошибочные обобщения относительно неправильных сердечных ритмов, поверхностно классифицируя спорные и весьма важные случаи.

Они рассматривали сердце в динамике. Почти всегда за этим стояла далеко не ординарная подготовка. Леон Гласc из Университета Макгилла в Монреале обучался физике и химии, где смог удовлетворить свой интерес к числовым характеристикам и иррегулярностям. Защитив диссертацию, посвященную движению атомов в жидкостях, он обратился к проблеме неправильных сердечных ритмов. Как правило, отмечал Гласc, специалисты диагностируют различные типы аритмий, основываясь на данных короткой распечатки электрокардиограммы. «Врачи сводят проблему к распознаванию определенного типового образца. Вопрос, по их мнению, заключается лишь в идентификации тех моделей, которые они встречали на практике и в учебниках. На самом деле они не подвергают детальному анализу динамику наблюдаемых ритмов, а та гораздо богаче, чем можно представить себе по книгам»[364].

Эри Голдбергер из Гарвардской медицинской школы, возглавлявший также лабораторию исследований аритмии в Госпитале Бет-Израэл в Бостоне, считал исследования сердца подходящей областью для сотрудничества физиологов, математиков и физиков. «Мы подошли к новой черте, к созданию нового типа феноменологии, – утверждал он. – Когда нашему взору предстают бифуркации и внезапные изменения поведения, общепринятые линейные модели не способны объяснить наблюдаемое. Определенно, нам необходим новый тип моделей, и физика, кажется, может в этом помочь»[365]. Голдбергеру, как и другим ученым, пришлось продираться сквозь чащу терминологии и классификации. Ощутимым препятствием, как он чувствовал, являлась та настороженность, с которой многие физиологи относились к математикам. «Вряд ли в 1986 году вы найдете упоминание о фракталах в учебнике по физиологии, – говорил Голдбергер. – Но полагаю, что в 1996 году вы не найдете учебника, где бы о них не упоминалось».

Доктор, прослушивая биение сердца, слышит свист и стук при ударе жидкости о жидкость, жидкости о твердую ткань и твердой ткани о твердую ткань. Кровь, выталкиваемая сокращающимися мышцами, перетекает из одной камеры в другую, а затем растягивает лежащие перед ней стенки сосудов. Волокнистые клапаны захлопываются с вполне различимым звуком, препятствуя обратному току крови. Сами сокращения мышц зависят от сложной трехмерной волны электрической активности. Моделирование хотя бы одного такта сердечной деятельности – нелегкая задача для компьютера. Моделирование всего рабочего цикла и вовсе невозможно. Такая компьютерная имитация, которая кажется вполне естественной специалисту по гидродинамике, проектирующему крыло «Боинга» или двигатели для НАСА, – чуждая медицинским технологам практика.

В частности, методом проб и ошибок руководствовались при создании искусственных сердечных клапанов – устройств из металла и пластика, которые сейчас продлевают жизнь тем людям, чьи собственные сердечные клапаны уже износились. В теории инженерного дела отдельную страницу следует посвятить естественному клапану сердца, созданному самой природой, – тонкому, гибкому, полупрозрачному образованию из двух или трех крошечных, похожих на парашют чашечек. Пропуская кровь в нужную сторону, клапан открывается и освобождает дорогу. Чтобы кровь не потекла вспять, когда сердце направляет ее вперед, клапан, наполнившись, захлопывается под давлением. Эти действия он должен проделать два или три миллиарда раз без утечки или прорыва. Инженерам, конечно, не удалось добиться такого результата. Искусственные клапаны в общем и целом были позаимствованы из практики водопроводчиков. Стандартные конструкции, вроде «шарика в сетке», испытывались на животных, что требовало огромных затрат. Преодолеть очевидные проблемы с просачиванием и недостаточным давлением оказалось нелегко, но лишь немногие догадывались: куда тяжелее будет справиться с другим затруднением, которое заключалось в том, что, меняя движение жидкости в сердце, искусственные клапаны создают зоны турбулентности и зоны застаивания крови. В последнем случае образуются тромбы, и, когда они, оторвавшись, направляются к мозгу, происходит инсульт. Таким образом, опасность образования тромбов стала главным препятствием на пути создания искусственного сердца. Только в середине 1980-х годов, когда математики из Курантовского института математических наук при Нью-Йоркском университете применили в данном вопросе новую технику компьютерного моделирования, в изготовлении искусственных клапанов наметился сдвиг[366]. Ученые построили на компьютере движущиеся изображения работающего сердца, двумерные, но легко узнаваемые. Сотни точек – частиц крови – проходили сквозь клапан, растягивая эластичные стенки сердца и создавая завихрения. Математики обнаружили, что динамика сердца на порядок сложнее стандартной проблемы течения жидкости, поскольку любая близкая к реальности модель должна учитывать степень эластичности самих сердечных стенок. Вместо того чтобы обтекать ткани, как воздух обтекает крыло самолета, поток крови воздействует на них, порождая изменения динамического и нелинейного характера. Еще более коварной и гораздо более смертоносной оказалась проблема аритмии. Фибрилляция желудочков ежегодно уносит сотни тысяч жизней в одних только Соединенных Штатах. Во многих случаях ее вызывает специфичный и хорошо известный механизм – блокада артерий, которая приводит к отмиранию накачивающей кровь мышцы. Употребление наркотиков, нервные стрессы, переохлаждение также способствуют развитию фибрилляции. Зачастую причина приступа остается загадкой. Врачи предпочли бы обнаружить у пациента, который пережил приступ, повреждения, позволяющие доискаться до причины. Если же сердце кажется здоровым, вероятность повторного приступа лишь возрастает[367].

Существует классическая метафора для описания фибриллирующего сердца – мешок с червями. Вместо того чтобы ритмично сокращаться и расслабляться, сокращаться и вновь расслабляться, мышечная ткань сердца работает нескоординированно и не может качать кровь. В нормально работающем сердце электрический сигнал проходит как согласованная волна сквозь трехмерную структуру этого органа. Когда сигнал достигает цели, каждая клеточка сокращается, а затем приходит в состояние расслабления на критический рефрактерный период, во время которого она не может быть пущена в ход. При фибрилляции волна разбивается – и сердце не может ни как следует сократиться, ни полностью расслабиться.

Удивительнее всего, что при фибрилляции отдельные части сердца могут работать в нормальном режиме. Зачастую от узлов, задающих ритм сердечных сокращений, продолжают исходить регулярные электрические импульсы, а отдельные клетки мышечной ткани правильно реагируют на них. Каждая клетка, получив импульс, сокращается и, передав его дальше, переходит в состояние расслабления до следующего импульса. При вскрытии в мышечной ткани порой не обнаруживают никаких повреждений. Именно по этой причине специалисты по хаосу заявляли о необходимости нового, всеобъемлющего подхода: вроде бы все части сердца работают, однако сердечная деятельность нарушена. Фибрилляция представляет собой нарушение порядка в сложной системе, равно как и психические расстройства разной этиологии – независимо от того, имеют ли они химические причины или нет.

Мерцание сердца не прекратится само по себе. Этот тип хаоса устойчив. Лишь электрический разряд дефибриллятора – толчок, который любой занимающийся динамикой ученый посчитает возмущением значительной степени, – может вернуть сердце к стабильному состоянию. В целом дефибрилляторы действуют довольно эффективно, хотя их создатели, подобно конструкторам искусственных сердечных клапанов, долго блуждали в потемках. «Сила и форма разряда были установлены чисто эмпирическим путем, – вспоминал Артур Уинфри, биолог-теоретик. – На этот счет просто не существовало никакой теории. Сейчас кажется, что некоторые предположения все же были не совсем верны. Конструкция дефибриллятора может быть коренным образом изменена, что многократно увеличит его эффективность, а следовательно, и шансы на успех»[368]. Точно так же, путем проб и ошибок, был получен целый ряд лекарственных препаратов для лечения расстройств сердечной деятельности – «черная магия», как выразился Уинфри. Предугадывать эффект прописанного лекарства, не имея хорошего теоретического понимания динамики сердца, – весьма неблагодарное занятие. «В течение последних двадцати лет ученые проделали невероятную работу, прояснив многие тонкости физиологии клеточных мембран, хрупкую, точную и невероятно сложную механику разных частей сердца. В итоге ясность внесена в существенную часть процессов. Однако кое-что упущено: мы проглядели глобальную перспективу, общий механизм действия».

В семье Уинфри колледж не посещал никто. Как признавался сам исследователь, он начинал, не имея надлежащего образования. Его отец, поднявшись по карьерной лестнице в страховом бизнесе с самых нижних позиций до вице-президента компании, почти ежегодно переезжал с семьей то на север, то на юг восточного побережья. Артуру пришлось сменить более дюжины учебных заведений, прежде чем он закончил среднюю школу. В нем зрело убеждение, что все интересное в мире связано с биологией и математикой и что ни одно из стандартных сочетаний этих двух предметов не отдает должного тому, что действительно интересно. Поэтому Уинфри решил не идти проторенным путем. Пять лет он постигал инженерную физику в Корнеллском университете, занимаясь прикладной математикой и изучая все практические методы лабораторных исследований. Готовясь к работе в военно-промышленном комплексе, Уинфри получил ученую степень в области биологии. Он пытался по-новому сочетать эксперименты с теорией. Начал свою деятельность молодой ученый в Университете Джонса Хопкинса, вскоре оставив его из-за разногласий на факультете, после этого продолжил работу в Принстоне, откуда ушел по той же причине, и наконец обосновался в Чикагском университете, откуда уже дистанционно получил ученую степень в Принстоне.

Уинфри принадлежал к редкому типу мыслителей-биологов, которые привносят в свои исследования физиологии четкое ощущение геометрических форм[369]. В начале 1970-х годов он начал изучать биодинамику, заинтересовавшись биологическими часами – суточными ритмами. Традиционно в этой области преобладал подход ученых-натуралистов: вот такой ритм встречается у тех-то животных, а вот этот – у тех-то. С точки же зрения Уинфри, проблему суточных ритмов следовало изучать, придерживаясь математического стиля мышления. «Размышляя о нелинейной динамике, я понял, что эту проблему можно и нужно рассматривать на качественном уровне в терминах именно этой науки. Никто не имеет представления о том, каков механизм биологических часов. Таким образом, у нас есть две альтернативы: можно подождать, пока биохимики его выяснят, а затем попытаться вывести определенный тип поведения из уже известного устройства, а можно призвать на помощь теорию сложных систем и нелинейную и топологическую динамику. Я выбрал последнее»[370].

Однажды ученый поставил в своей лаборатории множество контейнеров с комарами. Каждый турист знает, что эти насекомые роятся в прохладном воздухе сумерек. В лаборатории, где днем и ночью температура и освещенность оставались неизменными, суточный цикл комаров сократился с 24 до 23 часов. Каждые 23 часа они начинали жужжать особенно интенсивно.

В природе ориентироваться во времени насекомым помогает вспышка света, что ежедневно на них воздействует, она как бы запускает их внутренние часы.

Меняя уровень освещенности в помещении с комарами, Уинфри добивался сокращения или удлинения их суточного цикла. Ученый сопоставлял эффект с продолжительностью световой вспышки. Затем вместо выяснения биохимической подоплеки процессов он предпринял топологическое исследование, сконцентрировав внимание на качественной, а не количественной стороне полученных данных. Ученый пришел к неожиданному выводу: в геометрии присутствовала некая особенность, точка, отличная от всех других. Изучая ее, Уинфри предположил, что строго определенная по продолжительности вспышка света сбивает ход биологических часов насекомых и любых других живых существ.

Предположение было смелым, но эксперименты Уинфри подтвердили его. «Придя в лабораторию ровно в полночь, вы воздействуете на комаров определенным количеством фотонов, и такой особенно точный и выверенный по времени толчок выключает внутренние часы насекомых. Комар лишается сна – то затихает, то жужжит, но все невпопад. Так продолжается, пока вы не устанете наблюдать и не устроите насекомым новую встряску. Вы помещаете комаров в состояние бесконечного сбоя суточных ритмов»[371]. В начале 1970-х годов математический подход Уинфри к явлению суточных ритмов не вызвал особого интереса, и опробовать лабораторную методику на биологических видах, которые стали бы возражать против того, чтобы сидеть несколько месяцев подряд в специальных камерах, оказалось непросто.

Нарушение суточных ритмов человека при стремительной смене часовых поясов, как и бессонница, входит в число нерешенных вопросов биологии и вынуждает людей прибегать к худшим шарлатанским мерам – глотать бесполезные пилюли. Исследователям удалось собрать немало данных в ходе экспериментов, участниками которых становились студенты, пенсионеры или драматурги, спешащие поскорей закончить пьесу.

За несколько сотен долларов испытуемые соглашались существовать в условиях «временно́й изоляции»: никакого дневного света, никаких температурных изменений, никаких часов и телефонов. Характерный для людей суточный цикл «сон – бодрствование», а также цикл изменения температуры тела являются своего рода нелинейными осцилляторами, которые сами собой восстанавливаются после небольших пертурбаций. В условиях изоляции, при отсутствии ежедневно возобновляемых стимулов, цикл изменений температуры увеличивается до 25 часов, причем низкие значения приходятся на стадию сна. Эксперименты немецких ученых выявили, что по истечении нескольких недель цикл «сон – бодрствование», обособившись от температурного цикла, становится неупорядоченным. Люди бодрствуют в течение 20 или даже зо часов, за которыми следуют го или 20 часов сна. Причем испытуемые не только не замечают удлинения своих «суток», но и отказываются верить, когда им об этом сообщают. Однако только в середине 1980-х годов систематический подход Уинфри был применен к людям. Первой испытуемой стала пожилая женщина, вязавшая вечерами перед источником яркого света. В результате ее суточный цикл резко изменился. По словам женщины, она испытывала великолепные ощущения, будто ехала в машине с откидным верхом[372]. Что же касается Уинфри, то он пошел дальше, обратившись к проблеме сердечных ритмов.

Впрочем, сам Уинфри не сказал бы, что «пошел дальше». Для него объект изучения не изменился – другая химия, но та же динамика. Так или иначе, после того как он стал невольным и беспомощным свидетелем двух внезапных смертей, вызванных сердечной недостаточностью, сердце сделалось для него предметом особого интереса[373]. В первый раз на его глазах во время летнего отпуска умер родственник. Во второй раз это случилось с незнакомым мужчиной на пруду, где купался Уинфри. Почему же неизменный ритм, заставляющий сердце то расслабляться, то напрягаться, то ускоряться, то замедляться два миллиарда (и более) раз на протяжении жизни, вдруг становится таким неуправляемым и фатально неистовым?

Уинфри поведал историю о своем предшественнике, Джордже Майнсе, которому в 1914 году исполнилось 28 лет. В лаборатории монреальского Университета Макгилла Майнc создал небольшое устройство, способное передавать сердцу малые, четко регулируемые электрические импульсы.

Химический хаос. И волны, расходящиеся концентрическими окружностями, и даже спиральные волны, наблюдающиеся в широко изученной химической реакции Белоусова – Жаботинского, были признаками хаоса. Схожее поведение наблюдалось в емкостях, куда были помещены миллионы амеб. Артур Уинфри высказал предположение, что подобные волны аналогичны волнам электрической активности, прходящим сквозь сердечные мышцы, регулярным или хаотичным.

«Когда Майнc решил, что настала пора экспериментов на людях, он выбрал в подопытные самого себя, – писал Уинфри. – В тот вечер, около шести часов, уборщик заметил, что в лаборатории непривычно тихо, и, встревожившись, направился туда. Майне лежал под одной из скамей, вокруг которой разместилось затейливое электрическое оборудование. К груди, прямо над сердцем, был прикреплен разбитый механизм. Устройство, находившееся рядом, все еще фиксировало прерывистое биение сердца. Майне умер, не приходя в сознание»[374].

Нетрудно сообразить, что небольшой, но точно рассчитанный по времени разряд может повергнуть сердце в состояние фибрилляции. Даже Майне догадался об этом незадолго до смерти. Другие виды шокового воздействия способны ускорить или задержать следующее сердечное сокращение, как это происходит с суточными ритмами. Но есть одно различие между человеческим сердцем и биологическими часами, которое нельзя не учитывать даже в упрощенной модели: сердце имеет пространственную конфигурацию. Вы можете взять его в руки и проследить электрическую волну в трех измерениях.

Впрочем, для постановки подобного опыта требуется немалое искусство[375]. Рэймонд Айдекер из медицинского центра Университета Дьюка, прочитав статью Уинфри в журнале Scientific American за 1983 год, отметил четыре конкретных прогноза относительно стимуляции и остановки мерцания сердца, основанных на нелинейной динамике и топологии. Но отнесся к прочитанному с настороженностью. Прогнозы казались чересчур умозрительными и, с точки зрения кардиолога, слишком абстрактными. Тем не менее в течение последующих трех лет все они подтвердились, и Айдекер занялся претворением в жизнь расширенной программы по сбору более подробных данных для совершенствования динамического подхода к сердечной деятельности. Как выразился Уинфри, это был своего рода «кардиологический эквивалент циклотрона»[376].

Традиционная электрокардиограмма, которую снимают врачи, представляет собой лишь одномерную запись, усредненную по всему объему сердца. Во время операции на сердце хирург может, взяв электрод, передвигать его от одной зоны сердца к другой, снимая в течение ю минут данные с 50 или 60 точек и таким образом получая комбинированное изображение. Но при фибрилляции эта техника бесполезна, поскольку изменения и мерцание сердца очень быстры. Методика Айдекера, которая в значительной степени зависела от обработки данных компьютером в реальном времени, предусматривала создание «паутины» из 128 электродов, заключающей в себе сердце, словно носок – ступню. По мере того как сквозь мышечную ткань проходил импульс, электроды фиксировали электрическое напряжение, а компьютер строил карту сердечной деятельности.

В намерения Айдекера, помимо проверки теоретических идей Уинфри, входило также усовершенствование конструкции электрических устройств, применяемых для остановки фибрилляции[377]. Бригады скорой помощи используют стандартные дефибрилляторы, чтобы сквозь грудную клетку воздействовать на сердце пострадавшего мощным разрядом электрического тока. Опытным путем кардиологи разработали небольшой имплантат, вживляемый внутрь грудной клетки пациентов, которые входят в группы риска, хотя идентифицировать таких пациентов по-прежнему сложно. Этот имплантируемый дефибриллятор, чуть больше кардиостимулятора, «прислушивается» к сердцебиению, ожидая, когда возникнет потребность в электрическом воздействии. Айдекер начал выстраивать научную базу, необходимую для того, чтобы разработка новых типов дефибрилляторов основывалась не только на опыте, но и на физических представлениях.

Почему к сердцу, ткани которого формируют взаимосвязанные разветвляющиеся волокна, ответственные за транспорт ионов кальция, калия и натрия, должны применяться законы хаоса? Этот вопрос ставил в тупик ученых в Университете Макгилла и Массачусетском технологическом институте.

Леон Гласc и его коллеги Майкл Гевара и Элвин Шрайер провели одно из наиболее обсуждаемых исследований во всей недолгой истории нелинейной динамики. В своих опытах они использовали крошечные конгломераты сердечных клеток, взятые у семидневных зародышей цыплят[378]. Эти скопления клеток, размером в одну двухсотую часть дюйма, после помещения их в чашку Петри и встряхивания демонстрировали самопроизвольное биение с частотой примерно раз в секунду при отсутствии каких-либо стимулов извне. Пульсация была хорошо видна в микроскоп. Следующий этап заключался в наложении внешнего ритма. Для этого ученые из Университета Макгилла использовали микроэлектрод – узкую стеклянную трубку с тонким наконечником, вставляемым в одну из клеток. Через трубку пропускался электрический ток, стимулирующий ритмичные сокращения клеток с силой и частотой, которые могли варьироваться по желанию экспериментаторов.

Ученые подвели итоги своим исследованиям в 1981 году в журнале Science следующим образом: «Причудливое динамическое поведение, которое прежде наблюдалось в математических задачах и экспериментах в области физики, может быть присуще и биологическим осцилляторам, подвергаемым периодическим возмущениям»[379]. Они наблюдали удвоения периода в пульсации клеток, происходившие снова и снова при изменении ритма внешнего стимула. Исследователи построили отображения Пуанкаре и отображения окружности, изучили перемежаемость и захват фазы в биениях сердца. «При возбуждении кусочка сердца цыпленка можно установить ряд различных ритмов, – замечал Гласc. – Прибегнув к нелинейной математике, мы способны вполне отчетливо представить этот эффект и характерные последовательности ритмов. В настоящее время в программу подготовки кардиологов практически не входит математика, но в будущем проблемы подобного рода станут рассматривать именно так, как сделали мы»[380].

Тем временем Ричард Коэн, кардиолог и физик, работая в рамках совместной программы Гарварда и Массачусетского технологического института в области медицинских наук и технологий, обнаружил целый ряд последовательностей удвоений периода в экспериментах с собаками. Используя компьютерные модели, он изучил один из возможных режимов сердечной деятельности, при котором фронт волны электрической активности разбивается об островки ткани. «Перед нами вполне ясный пример феномена Фейгенбаума, – пояснял Коэн, – регулярное явление, которое при определенных обстоятельствах превращается в хаотичное. Выясняется также, что электрическая активность сердца имеет множество параллелей с другими системами, склонными к хаотическому поведению»[381].

Ученые из Университета Макгилла также обратились к накопленным ранее данным о различных типах нарушений сердечной деятельности. Один из хорошо известных синдромов состоит в том, что отклоняющиеся, эктопические ритмы перемежаются с нормальным синусовым. Гласc и его коллеги изучали закономерности подобных случаев, подсчитывая число синусовых биений между эктопическими. У некоторых пациентов данные расходились, но по какой-то причине всегда выражались нечетным числом: 3, 5 или У других больных число нормальных биений всегда являлось частью последовательности 2, 5, 8, 11…

«Численные наблюдения, весьма непонятные, проделаны, но в механизме происходящего не так-то просто разобраться, – признавал Гласc. – В числах всегда присутствует некая регулярность, но им свойственна также и значительная доля неупорядоченности. Один из девизов нашей работы – поиск порядка внутри хаоса»[382].

Традиционно изучение фибрилляции велось в двух направлениях. Один из классических подходов предполагал, что из анормальных центров внутри самой мышечной ткани исходят вторичные задающие ритм сигналы, которые вступают в конфликт с главным. Считалось, что эти крошечные эктопические центры испускают волны с интервалами, неприемлемыми для нормального функционирования сердца, и их взаимодействие и перекрывание разрушает согласованную волну сокращений сердечной мышцы. Исследования ученых из Университета Макгилла до некоторой степени подтвердили эту гипотезу, продемонстрировав, что многие виды неправильного динамического поведения могут быть порождены взаимодействием внешней пульсации и присущего сердечной ткани ритма. Но почему вообще эти дополнительные центры возникают – все еще сложно было объяснить.

Сторонники другого подхода сосредоточили внимание не на зарождении электрических волн, а на том, каким образом они проходят сквозь сердце. Именно в этом направлении работали ученые из Гарварда и Массачусетского технологического института. Они обнаружили, что определенные отклонения в самой волне, распространяющейся в форме окружностей, способны вызывать так называемый повторный вход (циркуляцию возбуждения), когда некоторые зоны сердца начинают новую пульсацию слишком рано, тем самым препятствуя временному расслаблению мышц, необходимому для поддержания согласованного движения крови.

Сконцентрировавшись на методах нелинейной динамики, обе группы исследователей понимали, что небольшие изменения одного из параметров, например синхронности или электрической проводимости, могут вывести здоровую в других отношениях систему через точку бифуркации к качественно новому поведению. Ученые приступили к изучению проблем сердца в глобальном масштабе, связав воедино ряд нарушений ритма, которые прежде считались не имеющими отношения друг к другу. Более того, Уинфри считал, что, несмотря на различие подходов, и школа «эктопических сокращений», и школа «повторного входа» движутся в верном направлении. Его топологический взгляд предполагал, что эти две идеи могут на самом деле оказаться единым целым.

Уинфри замечал, что «динамические явления, как правило, противоречат интуиции, и сердце не исключение»[383]. Кардиологи надеялись, что их поиски увенчаются разработкой научно обоснованного метода для выделения группы риска (людей, наиболее подверженных фибрилляции) и созданием новых способов конструирования дефибрилляторов и назначения лекарственных препаратов. Уинфри также питал надежду, что глобальное рассмотрение этих проблем в математическом свете обогатит теоретическую биологию – дисциплину, которой в Соединенных Штатах практически не существовало.

Сейчас некоторые физиологи используют термин «динамические заболевания», говоря о расстройствах различных систем организма человека, нарушениях координации или управления. «Системы, которые в нормальном состоянии колеблются, внезапно прекращают колебания или начинают осциллировать иным, неожиданным образом, а те системы, которые обычно не подвержены циклическим изменениям, вдруг обнаруживают их» – так звучит одно из определений[384]. Подобные синдромы включают в себя расстройства дыхания: одышку, дыхание Чей-на – Стокса и остановку дыхания у младенцев, которая ведет к синдрому внезапной детской смерти. Существуют динамические заболевания крови. К их числу принадлежит одна из форм лейкемии, когда меняется соотношение белых и красных кровяных телец и тромбоцитов. Некоторые ученые полагают, что к тому же разряду недугов может принадлежать и шизофрения, наряду с некоторыми типами депрессии.

Но физиологи начали рассматривать хаос и как состояние здоровья. Давно уже стало ясно, что нелинейность в процессах обратной связи служит целям регулирования и управления. Представьте себе линейный процесс, которому придали легкий толчок; как правило, он лишь слегка меняет направление. Нелинейный же процесс, подвергнутый тому же воздействию, обычно возвращается в свою начальную точку. Христиан Гюйгенс, голландский физик XVII века, внесший вклад в изобретение часов с маятником и в создание классической динамики, натолкнулся на один из ярчайших примеров такой формы регуляции (так, по крайней мере, гласит известная легенда). Однажды знаменитый ученый заметил, что несколько маятниковых часов, помещенных рядом на стене, колеблются совершенно синхронно, подобно тому как льются голоса в хоре. Он понимал, что часы не могут идти настолько точно, и никакие соображения, связанные с математическим описанием маятника, не позволяли объяснить столь таинственное распространение порядка от одних часов к другим. Гюйгенс справедливо предположил, что часы приводились в согласованное движение вибрацией, передаваемой через деревянную стену. Это явление, при котором один регулярный цикл синхронизируется с другим, ныне называют захватом фазы. Именно в силу этого явления Луна всегда обращена к Земле одной и той же стороной и в целом у спутников планет, как правило, отношение периода вращения вокруг своей оси к периоду обращения по орбите составляет 1 κ 1, или 2 к 1, или 3 к Когда отношение близко к целому числу, нелинейность в приливном притяжении спутника тяготеет к тому, чтобы осуществить захват фазы. Этот эффект встречается и в электронике, позволяя радиоприемнику настраиваться на определенные сигналы, даже если наблюдаются небольшие колебания частоты. Воздействие регулярных циклов друг на друга объясняет способность групп осцилляторов, в том числе биологических, таких как клетки сердечной ткани и нервные клетки, функционировать синхронно. Удивительный пример из мира природы представляют светлячки, встречающиеся в Юго-Восточной Азии: в брачный период они собираются на деревьях тысячами и мерцают в удивительно гармоничном ритме.

Хаотическая гармония. Взаимодействие различных ритмов, таких как радиочастоты или планетарные орбиты, производит особую версию хаоса. На рисунках представлены компьютерные изображения некоторых «аттракторов», которые могут возникнуть при наложении друг на друга трех ритмов.

Для всех явлений регуляции важным свойством является устойчивость – способность системы противостоять малым возмущениям. Для биологических объектов не менее важна гибкость, то есть способность системы нормально функционировать в целом диапазоне частот. Синхронизация с одной-един-ственной частотой может воспрепятствовать адаптации системы к изменениям, так как живые организмы должны гибко реагировать на быстро меняющиеся и непредсказуемые обстоятельства. Ни один сердечный или дыхательный ритм не может быть сведен к точным периодичностям простейших физических моделей, причем это касается и более трудноуловимых ритмов остальных систем организма. Некоторые исследователи, в том числе Эри Голдбергер из Гарвардской медицинской школы, предположили, что здоровая динамика жизненных процессов задается физическими фрактальными структурами, такими как разветвляющиеся сети бронхов в легких и проводящих волокон в сердце, которые обеспечивают широкий диапазон ритмов. Размышляя об аргументах Роберта Шоу, Голдбергер заметил: «Фрактальные процессы, ассоциируемые с масштабируемыми широкими спектрами частот, „информационно насыщенны“. Напротив, периодические состояния отражают узкий спектр частот и определяются монотонными, повторяющимися последовательностями, лишенными всякой информативности»[385]. Лечение подобных расстройств, как предположили Голдбергер и другие физиологи, может зависеть от расширения спектрального резерва системы, ее способности функционировать при множестве различных частот, не замыкаясь на одной из них.

Хаотические потоки. Стержень, протянутый сквозь вязкую жидкость, формирует простую волнистую форму. Но если протянуть его несколько раз, то возникают более сложные формы.

Арнольд Мэнделл, психиатр из Сан-Диего и специалист по динамике, вставший на защиту Губермана и его гипотезы о движении глаз у больных шизофренией, пошел еще дальше по пути изучения роли хаоса в физиологии. «Возможно ли, чтобы математическая патология, то есть хаос, было здоровьем? А то, что математика считает нормой, – предсказуемость и дифференцируемость – являлось болезнью?»[386] Мэнделл занялся изучением хаоса еще в 1977 году, когда обнаружил «необычное поведение» определенных ферментов в мозгу, которое удавалось объяснить, лишь используя новые методы нелинейной математики. При его поддержке были проведены аналогичные исследования колеблющихся трехмерных зацеплений между молекулами белка. Он заявлял, что подобные молекулы биологам следует рассматривать не как статические, а как динамические системы, способные к фазовым переходам. Рьяный приверженец новой дисциплины (по собственному его признанию), Мэнделл интересовался главным образом самым хаотичным из органов – мозгом. «Достижение равновесия в биологии означает смерть, – повторял он. – Если вы спросите меня, является ли мозг равновесной системой, мне будет достаточно попросить вас не думать несколько минут о слонах – и вы тут же убедитесь, что мозг отнюдь не равновесная система»[387].

По мнению Мэнделла, открытия в области хаоса сулили перемены в клинических подходах к лечению психических расстройств. Если судить объективно, современная «психофармакология» – врачевание пилюлями всего и вся, от тревожного расстройства и бессонницы до шизофрении, – должна быть признана провалом. Если и есть излечившиеся, то их совсем мало. Можно снять наиболее острые проявления душевной болезни, но каким будет долгосрочный эффект от лечения, никто не знает. Мэнделл указывал коллегам на отрицательное побочное действие целого ряда наиболее часто назначаемых препаратов[388]. Производные фенотиазина, прописываемые больным шизофренией, лишь ухудшают общую клиническую картину; трициклические антидепрессанты «увеличивают частоту смены настроения, приводя к долгосрочному росту числа рецидивов психопатологических проявлений», и так далее. Как заявил Мэнделл, только применение лития – и то лишь в определенных случаях – дает неплохой эффект.

Мэнделл считал рассматриваемую проблему концептуальной. Традиционные методы лечения этого «самого нестабильного динамического механизма с бесконечной размерностью» были линейными и редукционистскими. «Основная парадигма такова: ген → пептид → фермент → нейротрансмиттер → рецептор → поведение животного → клинический синдром → лекарственный препарат → клиническая оценка его эффективности. И такой подход определяет почти всю исследовательскую работу и лечение в рамках психофармакологии. Более пятидесяти нейротрансмиттеров, тысячи типов клеток, сложная электромагнитная природа и сплошная нестабильность порождают автономную активность на всех уровнях, начиная от белков и заканчивая электроэнцефалограммой, – а мозг все еще считается простым химическим коммутатором, соединяющим одну точку с другой!»[389] Знакомые с нелинейной динамикой не могли воспринимать это иначе как наивность. Мэнделл убеждал коллег вникнуть в подвижную геометрию, присущую таким сложнейшим системам, как мозг.

Многие другие ученые начали применять математический формализм хаоса к изучению проблемы искусственного интеллекта. В частности, динамика систем, блуждающих между «бассейнами притяжения», привлекла тех, кто искал способ моделирования символов и воспоминаний[390]. Физик, представлявший идеи как некие зоны с расплывчатыми границами, обособленные, но отчасти совпадающие, притягивающие, словно магниты, но не препятствующие движению, естественно, обращался к понятию фазового пространства с «бассейнами притяжения». Подобные модели обладали подходящими элементами: точками стабильности среди зон неустойчивости, а также областями с изменчивыми границами[391]. Их фрактальная структура предполагала как раз ту особенность бесконечного возврата к самой себе, которая лежит в основе способности разума генерировать идеи, решения, эмоции и иные проявления сознательной деятельности. Что бы ни думали о хаосе специалисты, исследующие процесс познания, они не могли больше моделировать разум как статическую структуру. Двигаясь от нейронов по восходящей, они выявили целую иерархию уровней, которая обеспечивает взаимодействие микро– и макромасштабов, столь характерное для турбулентности в жидкостях и для других сложных динамических процессов.

Структура, зарождающаяся среди бесформенности, – такова главная прелесть живого и его основная загадка. Жизнь извлекает порядок из моря неустойчивости. Эрвин Шрёдингер, один из создателей квантовой механики и представитель тех немногих физиков, которые размышляли над вопросами биологии, объяснил это тем, что живому организму присущ «удивительный дар концентрировать в себе некую „струю порядка“ и таким образом избегать распада на хаос атомов»[392]. Будучи физиком, Шрёдингер отчетливо понимал, что структура живой материи отличается от тех форм материи, которыми занималась его наука. Основным «кирпичиком» в здании живого организма ему представлялся апериодический кристалл (понятия ДНК тогда еще не существовало). «В физике до настоящего момента мы имели дело лишь с периодическими кристаллами. Эти крайне интересные и сложные объекты составляют одну из наиболее чарующих и сложных материальных структур, с помощью которых неживая природа ставит ученого в тупик, и все же по сравнению с апериодическими кристаллами они довольно просты и скучны»[393]. Различия, о которых пишет Шрёдингер, можно сравнить с разницей между обоями и гобеленом, между регулярным повторением определенного узора и богатейшими вариациями творения художника. Физиков учили понимать лишь рисунок обоев, поэтому неудивительно, что их вклад в биологию оказался столь невелик.

Точка зрения Шрёдингера была необычной. Мысль, что жизнь одновременно и упорядоченна, и сложна, выглядела трюизмом. Представление об апериодичности как источнике особых свойств живого граничило с мистикой. Во времена Шрёдингера ни математики, ни физики по-настоящему не поддержали его идею. Для анализа иррегулярности как основного компонента жизни еще не существовало инструментов. Но сейчас они есть.

Глава 11

Хаос

Что лежит за ним?

Никак не менее чем классификация составляющих хаоса обозревается здесь.

Герман Мелвилл. «Моби Дик»

Новые убеждения, новые определения. Второй закон термодинамики, загадка снежинок и игра в кости. Возможность и необходимость.

Несколько десятков лет назад Эдвард Лоренц размышлял о загадках атмосферы, Мишель Эно – о звездах, Роберт Мэй – о балансе в природе. Бенуа Мандельброт был безвестным математиком из корпорации IBM, Митчелл Фейгенбаум – студентом городского колледжа Нью-Йорка, Дойн Фармер – мальчишкой из Нью-Мексико. В те времена большинство ученых-практиков придерживались определенных взглядов на феномен сложности. Взгляды эти были настолько очевидными для них, что не нуждались в словесном изложении. Прошло некоторое количество времени, прежде чем стало возможно четко сформулировать, в чем эти убеждения заключались, и вынести их на всеобщее рассмотрение. Они сводились к следующему.

Поведение простых систем является простым. Механическое приспособление вроде маятника, электрический колебательный контур, гипотетическая популяция рыб в пруду – до тех пор, пока все подобные системы могут быть сведены к нескольким вполне понятным, совершенно детерминистским законам, их долгосрочное поведение стабильно и предсказуемо.

Сложное поведение подразумевает сложные причины. Механическое устройство, сложная электрическая схема, реальная популяция животных в мире дикой природы, поток жидкости, биологический орган, пучок частиц, шторм в атмосфере, экономика целой страны – системы явно нестабильные, непредсказуемые и неконтролируемые. Состояние их зависит от множества независимых параметров и подвергается воздействию случайных факторов извне.

Поведение разных систем различно. Нейробиолог, который исследует химические процессы, происходящие в нервных клетках человека, но мало что знает о памяти или восприятии, авиаконструктор, который применяет аэродинамическую трубу для решения задач газовой динамики, но не понимает математику турбулентности, экономист, который анализирует мотивацию покупателя при приобретении того или иного товара, но не способен прогнозировать долгосрочный спрос, – эти и подобные им ученые уверены, что раз компоненты их дисциплин различны, то сложные системы, состоящие из миллиардов этих компонентов, должны отличаться друг от друга.

Теперь все изменилось. За последующие двадцать лет физики, математики, биологи и астрономы выработали альтернативный набор идей: простые системы дают начало сложному поведению, а сложные системы порождают простое поведение. И что самое главное, законы сложности обладают универсальностью, которая ни в коей мере не зависит от особенностей составляющих систему элементов.

На деятельности многих ученых-практиков – физиков, занимавшихся изучением элементарных частиц, неврологов и даже математиков – эта перемена отразилась не сразу. Они продолжали исследования в рамках своих дисциплин. Тем не менее в их умы была заронена идея о существовании феномена хаоса: они знали, что некоторые сложные явления удалось истолковать, а другие внезапно стали нуждаться в переосмыслении. Ученые, которые вглядывались в течение химических реакций, или наблюдали за жизнью насекомых в ходе трехлетнего эксперимента, или моделировали изменения температуры воды в океане, уже не могли, как раньше, игнорировать внезапные колебания или отклонения. Для некоторых это означало лишь дополнительные трудности. Но, будучи прагматиками, ученые прекрасно знали, что на исследования в этой сфере, которую с трудом можно назвать математикой, федеральное правительство и исследовательские центры корпораций готовы ассигновать средства, и все больше и больше специалистов понимали: хаос предлагает новый подход к работе с данными, отложенными в долгий ящик потому, что они выглядели чересчур странными. Все больше и больше ученых ощущали, что обособленность научных дисциплин является препятствием в их работе; один за другим они осознавали, что изучать обособленные от целого части бесполезно. Для них хаос знаменовал конец редукционизма в науке.

Непонимание, неприятие, гнев, одобрение – целая гамма эмоций была выплеснута на тех, кто поддерживал изучение хаоса с самого начала. Джозеф Форд из Технологического института Джорджии вспоминал, как в 1970-х годах, читая лекцию группе специалистов по термодинамике, он упомянул о хаотическом поведении, которое просматривалось в уравнении Дуффинга, хрестоматийной модели простого осциллятора, подверженного трению. Для самого Форда присутствие хаоса в указанном уравнении было весьма любопытным фактом, который не вызывал сомнений, хотя статья о нем была опубликована в журнале PhysicalReviewLettersлишь несколько лет спустя. Но с таким же успехом Форд мог поведать собранию палеонтологов о наличии перьев у динозавров – им было лучше знать.

«Когда я обмолвился об этом, аудитория – господи боже! – буквально взорвалась. Я услышал что-то вроде: „Мой отец изучал это уравнение, дед занимался им, и почему-то они не обнаружили там того, о чем нам рассказываете вы!“ Заявляя, что природа сложна, вы должны быть готовы к сопротивлению. Мне такая враждебность была непонятна»[394].

За окном медленно садилось тусклое зимнее солнце. Форд, уютно расположившись в своем кабинете в Атланте, потягивал содовую из огромной кружки с яркой надписью «Хаос». Его младший коллега Рональд Фокс рассказывал о метаморфозе, приключившейся с ним после покупки компьютера AppleIIдля сына. В то время ни один уважающий себя физик не приобрел бы эту модель для работы. Прослышав о том, что Митчелл Фейгенбаум открыл универсальные законы, управляющие поведением систем обратной связи, Фокс рискнул написать короткую программу, которая позволила бы разглядеть их особенности на дисплее компьютера. В результате он смог увидеть на экране абсолютно все: бифуркации в виде трезубца, устойчивые линии, разветвляющиеся сначала на две, потом на четыре, затем на восемь, появление самого хаоса, а внутри него – поразительный геометрический порядок. «Всю работу Фейгенбаума можно было повторить за пару дней», – отметил Фокс[395]. Компьютерный эксперимент убедил его, как и других, усомнившихся в правоте опубликованных аргументов.

Некоторые ученые забавлялись подобными программами какое-то время, а потом оставляли их, другие же входили во вкус, и им ничего не оставалось, кроме как измениться самим. Фокс относился к числу тех, кто знал о пределах стандартной, линейной науки. Он сознавал, что по привычке отодвигает в сторону сложные нелинейные детали. Так в конце концов поступали все физики, говоря себе в оправдание: «Для этого придется лезть в справочник специальных функций, а это последнее, чего мне хочется. И еще меньше мне хочется программировать эту задачу на компьютере. Ученый моего уровня не должен заниматься такой рутиной».

«Общая картина нелинейности медленно, но верно привлекала внимание множества людей, – вспоминал Фокс. – Все увидевшие ее извлекали из этого пользу. Вы рассматриваете ту же проблему, что изучали раньше, неважно, в рамках какой дисциплины вы работаете. Прежде, дойдя до определенной черты, вы были вынуждены остановиться, поскольку проблема становилась нелинейной. Сейчас, узнав, под каким углом ее рассматривать, вы возвращаетесь назад».

Форд говорил: «Если та или иная область начинает развиваться, многие понимают: этой области есть что предложить им; если они пересмотрят свой подход к исследованиям, вознаграждение может оказаться немалым. Для меня хаос подобен мечте. Он дает шанс. Если рискнешь сыграть в эту игру, можешь обнаружить золотую жилу».

И все же ученые не могли определиться с понятием «хаос».

Филип Холмс, седобородый математик и поэт из Корнелла, куда он попал через Оксфорд, считал, что это сложные апериодические притягивающие орбиты некоторых (как правило, маломерных) динамических систем.

Хао Байлинь, китайский физик, собравший много основополагающих работ о хаосе в один справочник, говорил, что это тип порядка, которому несвойственна периодичность, быстро развивающаяся область исследований, в которую внесли важный вклад математики, физики, специалисты по гидродинамике, экологи и многие другие, и недавно признанный и повсеместно встречающийся класс естественных явлений.

Брюс Стюарт, ученый из Брукхейвенской национальной лаборатории на Лонг-Айленде, посвятивший себя прикладной математике, был уверен, что это явно беспорядочное, повторяющееся поведение в простой детерминистской системе, похожей на работающие часы.

Родерик Дженсен из Йельского университета, физик-теоретик, изучающий возможность квантового хаоса, думал, что это иррегулярное и непредсказуемое поведение детерминистских нелинейных динамических систем.

Джеймс Крачфилд из Санта-Круза полагал, что это динамика с положительной, но ограниченной метрической энтропией, что в переводе с языка математики звучит следующим образом: поведение, которое порождает информацию (усиливает малые неопределенности), но не является полностью непредсказуемым.

А Форд, объявивший себя проповедником хаоса, говорил, что это динамика, сбросившая наконец оковы порядка и предсказуемости, системы, каждую динамическую возможность которых теперь можно свободно рассматривать, и будоражащее разнообразие, богатство выбора, изобилие шансов[396].

Джон Хаббард, изучая итерированные функции и дикую бесконечную фрактальность множества Мандельброта, счел «хаос» слишком бесцветным названием для результатов своей работы, поскольку этот термин подразумевает наличие случайности. Хаббард же видел главное в том, что простые процессы в природе могли порождать величественные конструкции огромной сложности без всякой случайности[397]. Все инструменты, необходимые для кодировки, а затем и раскрытия богатейших, как человеческий мозг, структур, заключались в нелинейности и обратной связи.

Другим специалистам, вроде Артура Уинфри, в чьи научные интересы входила глобальная топология биологических систем, название «хаос» казалось слишком узким[398]. Оно включало в себя простые системы: одномерные структуры Фейгенбаума и двумерные, трехмерные и дробномерные странные аттракторы Рюэля. С точки зрения Уинфри, хаос низкой размерности представлял собой особый случай. Сам ученый интересовался законами многомерной сложности, будучи убежденным, что они существуют. Слишком многие явления Вселенной, казалось, находятся вне досягаемости низкоразмерного хаоса.

В журнале Nature велась непрекращающаяся дискуссия о том, следует ли климат Земли странному аттрактору. Экономисты пытались распознать странные аттракторы в трендах фондовой биржи, но пока безуспешно. Ученые, посвятившие себя динамике, надеялись использовать инструментарий хаоса для объяснения полностью развившейся турбулентности. Альберт Либхабер, работавший уже в Чикагском университете, поставил свои элегантные эксперименты на службу турбулентности, создав емкость с жидким гелием, которая размерами в тысячи раз превосходила крохотную ячейку 1977 года. Никто не знал, обнаружатся ли простые аттракторы в таких опытах, порождающих беспорядок как в пространстве, так и во времени. Бернардо Губерман заявлял по этому поводу: «Если бы вы опустили детектор в бурную реку и сказали: „Глядите, вот странный аттрактор низкой размерности!“, – мы смотрели бы на это чудо, сняв шляпы»[399].

Хаос стал совокупностью идей, убедившей ученых в том, что все они – участники одного начинания. И физики, и биологи, и математики – все поверили, что простые детерминистские системы могут порождать сложность, а системы, слишком сложные для традиционной математики, подчиняются простым законам. Поверили они и в то, что главная их задача, независимо от сферы деятельности, состояла в постижении самой сложности.

«Давайте еще раз приглядимся к законам термодинамики, – писал Джеймс Лавлок, автор гипотезы Геи. – Действительно, на первый взгляд их смысл кажется равнозначным предостережению, начертанному на вратах Дантова ада…»[400] Однако здесь есть одно но.

Второй закон термодинамики – та плохая новость из мира науки, которая твердо обосновалась даже в далеких от науки областях культуры. Все вокруг стремится к беспорядку. Любой процесс перехода энергии из одной формы в другую должен сопровождаться потерей некоторой ее части в виде теплоты, стопроцентная эффективность преобразования невозможна. Вселенная подобна улице с односторонним движением. Энтропия должна постоянно возрастать как в самой Вселенной, так и в любой гипотетической изолированной системе внутри нее. Как ни формулируй второй закон термодинамики, ничего особенно привлекательного не получится. И в термодинамике так оно и есть. Но в областях интеллектуальной деятельности, далеких от науки, второй закон живет собственной жизнью, принимая на себя ответственность за разделение общества, экономический спад, снижение культурного уровня и множество других проявлений эпохи упадка. Кажется, что сейчас такие вторичные, метафорические воплощения второго закона термодинамики выглядят особенно вводящими в заблуждение. В нашем мире процветает сложность, а тем, кто надеется с помощью науки получить общее представление о свойствах природы, лучше послужат законы хаоса.

Каким-то образом по мере движения Вселенной к конечному равновесию в лишенном характерных черт пекле максимальной энтропии появляются удивительные структуры. Вдумчивые физики, изучающие закулисье термодинамики, понимают, насколько волнующим является вопрос, который один из них сформулировал следующим образом: «Как бесцельный поток энергии может привносить жизнь и сознание в наш мир?»[401] Частью проблемы служит расплывчатое понятие энтропии, вполне приемлемое и хорошо определенное для целей термодинамики, когда речь идет о нагреве и температуре, однако чертовски сложное для того, чтобы его можно было ассоциировать с мерой беспорядка. Ученые и так сталкиваются с трудностями, вычисляя меру порядка в воде, когда она замерзает, образуя кристаллические структуры и рассеивая энергию. И уж никак не подходит термодинамическая энтропия для определения изменяющейся степени оформленности и бесформенности в процессе создания аминокислот и микроорганизмов, самовоспроизводящихся растений и животных или сложных информационных систем вроде мозга. Безусловно, эти эволюционирующие островки упорядоченности должны подчиняться второму закону термодинамики. Однако более важные законы, законы созидания, устроены как-то иначе.

Природа создает узоры, схемы, закономерности. Одни из них упорядоченны в пространстве, но беспорядочны во времени, другие – наоборот. Некоторые являются фрактальными, обнаруживая структуры, повторяющие сами себя в различных масштабах, некоторые порождают устойчивые или колеблющиеся состояния. Специальные разделы физики и науки о материалах занимаются изучением механизмов образования таких узоров, позволяя ученым моделировать скопления частиц в кластерах, распространение электрических разрядов извилистыми трещинами, рост кристаллов при образовании льда и остывании металлических сплавов. Динамика таких процессов кажется азбучной – изменение формы в пространстве и времени, – но только в наше время появились инструменты, сделавшие возможным ее постижение. И теперь мы вправе спросить у физика: «Почему снежинки не похожи друг на друга?»

Кристаллики льда образуются в турбулентном воздушном потоке, удивительным образом сочетая симметрию и случайность, особую красоту неопределенности в шести направлениях. По мере того как вода замерзает, у кристаллов появляются тонкие кончики, которые постепенно увеличиваются; их границы становятся неустойчивыми – и по краям возникают новые острия. Формирование снежинки подчиняется поразительно тонким математическим закономерностям, и невозможно было предсказать, насколько быстро вырастет кончик кристалла, насколько узким он окажется или как часто будет разветвляться. Целые поколения ученых делали наброски и составляли каталоги узоров: пластинок и столбцов, кристаллов и поликристаллов, игл и древовидных отростков. За неимением лучшего подхода авторы научных трудов упражнялись в классификации кристаллов.

Теперь уже известно, что рост окончаний кристалла, дендритов, сводится к существенно нелинейной проблеме со свободными границами, в том смысле, что модели должны отслеживать динамические изменения сложных извилистых границ[402]. Когда процесс отвердения идет от поверхности внутрь кристалла, как в формочке для льда, граница, как правило, остается устойчивой и плавной; скорость ее формирования определяется тем, насколько быстро теплота может уходить через стенки. Но если кристалл отвердевает с сердцевины, изнутри, как это происходит в снежинке, когда она захватывает молекулы воды, падая в насыщенном влагой воздухе, процесс становится неустойчивым. Любой отрезок контура снежинки, опередивший соседние, получает преимущество, захватывая большее количество молекул воды, и поэтому растет гораздо быстрее – проявляется так называемый эффект громоотвода. Образуются новые ответвления, от которых, в свою очередь, отходят более мелкие.

Трудность заключалась в том, чтобы решить, какие из множества физических сил, задействованных в процессе образования снежинки, следует принять во внимание, а какими вполне можно пренебречь. Долгое время считалось, что наиболее важным является рассеивание теплоты, высвобождающейся при замерзании воды. Но физическая природа тепловой диффузии не могла до конца объяснить те узоры, которые наблюдали ученые, рассматривая снежинки под микроскопом или выращивая их в лаборатории. Не так давно был разработан метод, позволяющий учесть иной процесс, а именно поверхностное натяжение. Сердцевина новой модели снежинки являет собой самую сущность хаоса: хрупкий баланс между стабильностью и неустойчивостью, мощное взаимодействие сил атомарного и обычного, макроскопического уровней.

Разветвление и скучивание. Изучение того, как формируются узоры, вдохновленное фрактальной математикой, связывает такие природные узоры, как вспыхивающий на небе рисунок молнии при электрическом разряде и смоделированное объединение произвольно движущихся частиц (вверху слева).

Там, где рассеивание теплоты создает преимущественно неустойчивость, поверхностное натяжение порождает устойчивость. Действие этой силы ведет к тому, что вещество приобретает более плавные, похожие на стенки мыльного пузыря, очертания, поскольку для создания грубо очерченных поверхностей требуется энергия. Баланс указанных тенденций зависит от размера кристалла. В то время как рассеивание является по преимуществу крупномасштабным, макроскопическим процессом, поверхностное натяжение сильнее действует на микроскопическом уровне.

Традиционно допускалось, что для практических целей можно пренебречь действием поверхностного натяжения, поскольку оно очень незначительно. Но это не так. Происходящее в ничтожных масштабах могло сыграть решающую роль. Именно на микроуровне поверхностные эффекты обнаружили бесконечную чувствительность к молекулярной структуре отвердевающего вещества. В случае со льдом естественная симметрия молекул приводит к возникновению тенденции к росту в шести направлениях. К своему изумлению, ученые выяснили, что сочетание стабильности и неустойчивости усиливает эту тенденцию, создавая почти фрактальное кружево, из которого и получаются снежинки. Причем математическое описание процесса дали не те, кто изучал атмосферу, а физики-теоретики и металлурги. Последними руководил свой интерес: молекулярная симметрия металлов различна, а значит, различна и форма характерных кристаллов, которая определяет прочность сплава. Но математика здесь та же, ведь законы формирования таких моделей универсальны.

Сильная зависимость от начальных условий служит целям созидания, а не разрушения. Пока растущая снежинка летит к земле, с час или дольше паря в токах воздуха, ветвление ее лучиков в каждый конкретный момент зависит от таких факторов, как температура, влажность и загрязнение атмосферы.

Баланс стабильности и неустойчивости. По мере того как жидкость затвердевает она образует растущий отросток (показанный на снимке с многократной экспозицией слева вверху)с границами, которые становятся неустойчивыми и позволяют тем самым образовываться ответвлениям. Компьютерное моделирование этих тончайших термодинамических процессов воспроизводит реальный процесс образования снежинок.

Шесть кончиков одной-единственной снежинки, которая занимает в пространстве не более миллиметра, подвергаются воздействию одной и той же температуры, а поскольку законы роста и развития детерминистские по своей сути, в снежинке появляется близкая к идеалу симметрия. Но природа турбулентного воздушного потока такова, что ни одна снежинка не повторяет маршрут предыдущей. В итоге конечная форма снежного кристалла отображает все изменения погодных условий, действию которых он подвергался, а количество их комбинаций безгранично.

Физики любят повторять, что снежинки – неравновесный феномен. Это продукт дисбаланса в перетекании энергии от одного фрагмента природы к другому. Благодаря такому перетеканию на контуре кристалла появляется сначала острие, потом целое множество ответвлений, которые, в свою очередь, превращаются в сложную, невиданную структуру. Открыв, что неустойчивость такого рода подчиняется универсальным законам хаоса, ученые смогли применить те же методы ко множеству проблем физики и химии и теперь неизбежно считают, что подошла очередь биологии. Это отчасти подсознательное ощущение. Наблюдая за компьютерным моделированием роста дендритов, ученые воображают морские водоросли, стенки клеток, делящиеся и развивающиеся организмы[403].

К настоящему времени открыто множество путей проявления хаоса, начиная с невидимых микроскопических частиц и заканчивая доступной глазу повседневной сложностью. В математической физике теория бифуркаций Фейгенбаума и его коллег получила распространение среди ученых Соединенных Штатов и Европы. В абстрактных областях теоретической физики положено начало исследованию новых проблем, таких как еще не решенный вопрос о квантовом хаосе: приемлет ли квантовая механика хаотический феномен механики классической? Изучая движение жидкостей, Либхабер соорудил гигантскую емкость с гелием, в то время как Пьер Хоэнберг и Гюнтер Алерс занялись анализом распространения причудливых волн конвекции[404]. В астрономии специалисты по хаосу используют необычные модели гравитационной неустойчивости, чтобы истолковать происхождение метеоритов – необъяснимое выталкивание астероидов из области Солнечной системы, расположенной за орбитой Марса[405]. Биологи и физиологи используют физику динамических систем для изучения иммунной системы человека с ее миллиардами компонентов и способностью к обучению, запоминанию и распознаванию объектов. Они также размышляют над эволюцией в надежде отыскать универсальные механизмы адаптации[406]. Те, кто строит подобные модели, достаточно скоро начинают замечать в них структуры, которые повторяют сами себя, конкурируют и развиваются путем естественного отбора.

«Эволюция – это хаос с обратной связью», – утверждал Джозеф Форд[407]. Вселенная воплощает в себе беспорядочность и диссипацию. Но беспорядочное, заключающее в себе некую тенденцию, может порождать удивительную сложность. И, как обнаружил Лоренц много лет назад, диссипация является вестником порядка.

«Бог играет в кости со Вселенной, – таков был ответ Форда на известный вопрос Эйнштейна. – Но это шулерские кости. И сейчас главная цель физики состоит в том, чтобы выяснить, какими правилами руководствуется Всевышний, а затем использовать их в собственных целях»[408].

Такие идеи помогают двигать вперед коллективную научную деятельность. И все же ни философии, ни доказательств, ни опытов не было достаточно, чтобы поколебать отдельных ученых, которых наука должна прежде всего и всегда обеспечивать пригодным для работы инструментарием. В некоторых лабораториях традиционные методы уже изживают себя, дорогое оборудование не оправдывает возложенные на него надежды. Нормальная наука, как выразился Кун, «сбилась с пути, и ей больше не удается обходить аномальные явления»[409]. Веяния хаоса не могли возыметь действие на каждого ученого, пока метод новой дисциплины не доказал свою необходимость.

В каждой области есть свои примеры. В экологии таковым стала деятельность Уильяма Шаффера, последнего из учеников Роберта Макартура, лидера этой дисциплины в 1950-1960-х годах. Макартур выработал понятие о природе, которое заложило прочную основу идеи естественного баланса. Построенные ученым модели предполагали, что существуют определенные состояния равновесия, около которых колеблются популяции растений и животных. С точки зрения Макартура, балансу в природе присуще то, что можно назвать почти моральным качеством: состояния равновесия в его моделях обеспечивали наиболее рациональное использование пищевых ресурсов, при котором потери минимальны. Природа добра, если оставить ее в покое.

Два десятилетия спустя последний студент Макартура понял, что экология, базирующаяся на идее равновесия, обречена. Общепринятые модели, с присущим им уклоном в сторону линейности, не оправдали ожиданий. Природа куда сложнее. Вместо равновесия ученый увидел хаос, «одновременно живой и немного пугающий»[410]. Хаос способен подорвать самые устоявшиеся предположения экологов, поведал он коллегам. «То, что мы в нашей области считаем основными понятиями, подобно легкой дымке перед яростным напором бури – в данном случае настоящего нелинейного шторма»[411].

Шаффер использует странные аттракторы для исследования эпидемиологии детских болезней, таких как корь и ветрянка[412]. Собрав данные сначала по Нью-Йорку и Балтимору, потом по Абердину, Шотландии, всей Англии и Уэльсу, он построил динамическую модель, напоминающую маятник, который подвергается воздействию одновременно двух противодействующих сил. Считалось, что ежегодно число заболевших увеличивается из-за распространения инфекции среди детей, начинающих учебный год, но сдерживается естественной сопротивляемостью организма. Модель Шаффера предсказывает совершенно иную динамику распространения таких заболеваний. Ветрянке присуща периодичность. Корь, согласно модели, должна распространяться хаотично. Оказалось, что реальность точно соответствует прогнозу Шаффера. Эпидемиологу, который придерживался традиционных взглядов, изменения числа заболевших корью в течение года представлялись необъяснимыми, неупорядоченными и случайными. Шаффер, применив методику реконструкции фазового пространства, демонстрирует, что эпидемия кори подчиняется странному аттрактору, фрактальная размерность которого составляет около 2,5.

Шаффер вычислил показатели Ляпунова и построил отображения Пуанкаре. «Будет лучше, – говорит он, – если вы посмотрите на изображения, откуда буквально выскакивает сделанный мной вывод, и промолвите: „Господи, ведь это одно и то же!“»[413] И хотя аттрактор является хаотическим, в силу детерминистской природы самой модели возможна некоторая предсказуемость. Если в течение года заболеваемость корью была высока, последует ее сильное снижение. Если уровень заболеваемости был средним, можно ожидать лишь незначительного его изменения. Если уровень заболеваемости низок, это ведет к самой большой непредсказуемости дальнейшего поведения. Модель Шаффера позволила прогнозировать, какое влияние окажет на динамику заболеваемости массовая вакцинация, чего не могла предугадать традиционная эпидемиология.

Научные коллективы и работающие в одиночку специалисты по-разному воспринимают идеи хаоса, и в каждом случае на то есть свои причины. Для Шаффера, как, впрочем, и для многих других, переход от традиционной науки к хаосу оказался неожиданным. Именно таким, как он, был адресован пламенный призыв Роберта Мэя в 1975 году. Между тем Шаффер, прочитав статью Мэя, не заинтересовался ею, решив, что математические идеи слишком далеки от тех систем, которые изучает практическая экология. По иронии судьбы он знал об экологии слишком много, чтобы воспринять идеи Мэя. Его взгляду предстали одномерные модели, и он подумал: «Какое отношение могут они иметь к непрерывно меняющимся системам?» Когда коллега посоветовал ему ознакомиться с работой Лоренца, Шаффер, нацарапав выходные данные статьи на клочке бумаги, благополучно забыл о ней.

Годы спустя Шаффер жил в пустыне, окружающей город Тусон в штате Аризона[414]. На лето он перебирался севернее, в горы Санта-Каталина. Здесь, в царстве колючего кустарника, жара переносится легче, земля не так пышет жаром, как на пустынных просторах. В июне и июле, между буйством весенних красок и сезоном летних дождей, Шаффер и его аспиранты наблюдали за разными видами пчел и цветов. Измерение этой экологической системы представлялось несложным, несмотря на все ежегодные отклонения. Шаффер подсчитывал число пчел на каждом стебле, с помощью пипетки замерял количество пыльцы на цветах и анализировал собранные данные с помощью математики. Шмели соперничали с медоносными пчелами, а те, в свою очередь, – с пчелами-плотниками. Ученый создал весьма убедительную модель, чтобы объяснить колебания в их популяциях.

К 1980 году он понял: что-то идет не так, разрушая его модель. Выяснилось, что ключевая роль принадлежала виду, который не был учтен при построении модели, – муравьям. Некоторые коллеги ученого подозревали, что все дело в необычной зимней погоде, другие полагали, что, напротив, в летней. Шаффер принялся обдумывать, как бы учесть дополнительные параметры. Но все же ученый казался удрученным. Об этом говорили его аспиранты, напряженно работавшие тем летом с Шаффером на высоте в 5000 футов. А потом все изменилось.

Случайно обнаружив препринт статьи о химическом хаосе в сложном лабораторном эксперименте, Шаффер почувствовал, что ее авторы столкнулись с тем же явлением, что и он сам. Выявить и описать десятки продуктов реакции в пробирке оказалось так же невозможно, как и учесть десятки видов в горах Аризоны. Но все же химикам удалось достичь успеха там, где эколог потерпел крах. Шаффер принялся читать о реконструкции фазового пространства, познакомился наконец с работами Лоренца, Йорка и других исследователей. Университет Аризоны выделил средства на серию лекций «Порядок внутри хаоса». Читать их пригласили Гарри Суинни, а он мог многое рассказать о практических опытах. Когда Суинни объяснил, что вызывает хаос в химии, продемонстрировал странный аттрактор и заявил, что «это реальные данные», Шаффер покрылся холодным потом.

«Внезапно я понял, что это судьба», – вспоминал позже Шаффер, которому предстоял год академического отпуска. Он отозвал свою заявку из Национального научного фонда, куда обращался с просьбой о финансировании, и подал документы на стипендию Гуггенхайма. Высоко в горах Аризоны популяция муравьев росла и уменьшалась, пчелы с жужжанием кружились в воздухе, облака медленно плыли по небу, а Шаффер постигал новую науку. Он больше не мог работать так, как прежде.

Послесловие

Даже сегодня словосочетание «теория хаоса» звучит несколько внутренне противоречиво. В 1980-х же невозможно было представить, чтобы слова «теория» и «хаос» принадлежали одному пространству, не говоря уже о том, чтобы они оказались в одном предложении. Когда мои друзья узнали, что я собираю материал для книги о хаосе и это будет иметь отношение к науке, я заметил и насмешливые взгляды, и недоуменно поднятые брови. Сильно позже одна приятельница сказала мне, что сперва она подумала, будто я собираюсь написать о «газе». Как говорится в подзаголовке книги, хаос был новой наукой – странной и чуждо звучащей, волнующей и трудно принимаемой.

Прошедшие двадцать лет внесли коррективы. Идеи хаоса были восприняты и усвоены не только в основном русле науки, но и в культуре в целом. Однако и сейчас многие ученые считают, что наука о хаосе странная и чуждо звучащая, волнующая и трудно принимаемая.

Сегодня все мы по крайней мере что-нибудь слышали о хаосе. «Я все еще не до конца понимаю, что такое хаос», – признается персонаж Лоры Дерн в фильме 1993 года «Парк юрского периода», в ответ на что персонаж Джеффа Голдблюма, который преподносит себя как «хаосиста», объясняет кокетливо: «Хаос имеет дело с непредсказуемостью в сложных системах… Бабочка может взмахнуть крыльями в Пекине, и в Центральном парке, где только что светило солнце, польет дождь». К тому времени эффект бабочки стал уже почти клише из области поп-культуры: он послужил источником вдохновения по меньшей мере двух фильмов, вошел в сборник «Цитаты Барлетта», стал темой музыкального клипа и тысячи сайтов и блогов в интернете. (Меняются лишь названия мест: бабочка может взмахнуть крыльями в Бразилии, Перу, Китае, Калифорнии, Таити и Южной Америке, а дождь/ураган/торнадо/шторм случится в Техасе, Флориде, Нью-Йорке, Небраске, Канзасе и Центральном парке.) После масштабных ураганов 2006 года журнал PhysicsTodayопубликовал статью под названием «Сражаясь с эффектом бабочки», в которой бабочки причудливым образом объединялись в батальоны: «На ум сразу приходят снимки из тренировочных лагерей для террористов „Чешуекрылые“».

Некоторые аспекты хаоса – как правило, разные – были позаимствованы, с одной стороны, современными теоретиками менеджмента, а с другой – теоретиками литературы постмодерна. Оба лагеря нашли применения для фраз вроде «упорядоченный беспорядок», особенно часто встречающихся в названиях диссертаций. Яркие литературные персонажи, такие как Клеопатра у Шекспира, были рассмотрены как «странные аттракторы». То же самое проделывается с графическими моделями поведения финансовых рынков. Тем временем художники, равно как и скульпторы, нашли вдохновение в словах и образах фрактальной геометрии. По моему мнению, самым мощным художественным воплощением этих идей стала пьеса Тома Стоппарда «Аркадия», премьера которой состоялась в Лондоне за несколько месяцев до выхода фильма «Парк юрского периода». В ней также есть персонаж – математик, обнаруживающий хаос вокруг себя. «Странные штуки, – говорит он, – оказываются математикой реального мира». Но Стоппард идет дальше представления об упорядоченном беспорядке и говорит о напряженных взаимоотношениях между формальным английским садом и дикой природой, между классическим и романтическим. В своей книге он управляет голосами, и процитировать его тут – значит поддаться художественному воздействию, но я не могу удержаться. Стоппард передает радостное волнение столь многих молодых ученых на пороге открытия хаоса. Он видит эту открытую дверь и перспективу за ней.

А предметы нормальной величины, из которых и состоит наша жизнь, о которых пишут стихи: облака… нарциссы… водопады… кофе со сливками… – это же жутко интересно, что происходит в чашке с кофе, когда туда наливают сливки! – все это для нас по-прежнему тайна, покрытая мраком. Как небеса для древних греков. <…> Будущее – это беспорядок. Хаос. С тех пор как человек поднялся с четверенек, дверь в будущее приоткрылась раз пять-шесть, не больше. И сейчас настало изумительное время: все, что мы почитали знанием, лопнуло, точно мыльный пузырь[415].

Сегодня дверь открыта шире, чем на маленькую щелочку. Пришло новое поколение ученых, вооруженное более устойчивым набором предположений о том, как устроена природа. Они знают, что сложная динамическая система может вести себя причудливо. И знают, что, когда так происходит, мы по-прежнему можем взглянуть на нее спокойно и измерить ее. Совместная работа представителей разных дисциплин над методологией изучения закономерностей, проявляющихся на разных масштабах, или поведения сетей сегодня если не правило, то по крайней мере уже не исключение.

В общем и целом, пионеры хаоса вышли из глуши и прочно заняли свои места в научном сообществе. Эдварда Лоренца, почетного профессора в Массачусетском технологическом институте, в его девяносто лет по-прежнему видели приходящим в свой офис, расположенный на верхних этажах здания 54, и наблюдающим оттуда за погодой. Митчелл Фейгенбаум получил позицию в Рокфеллеровском университете и создал там лабораторию математической физики. Роберт Мэй стал президентом Лондонского королевского общества и главным научным советником правительства Великобритании и в 2001 году получил титул «Барон Мэй Оксфордский». Что касается Бенуа Мандельброта, в разделе «Биография» на его личной страничке на сайте Йельского университета в 2006 году был представлен список из двадцати четырех премий, наград и медалей, двух орденов, пятнадцати членств в редакционных коллегиях и комитетах, а также множества объектов, носящих его имя, включая именное дерево на Нобелевской аллее в городе Балатонфюред в Венгрии, лабораторию в Китае и астероид.

Принципы, ими открытые, и концепции, ими созданные, продолжили развиваться – начиная с самого слова «хаос». Уже к середине 1980-х оно было определено довольно узко многими учеными, которые использовали его применительно к специальному подмножеству внутри феномена, называемого более общим термином «сложные системы». Проницательные читатели, конечно, могут заметить, что я предпочел более вольное и беспорядочное определение Джо Форда – «динамика, сбросившая наконец оковы порядка и предсказуемости» – и до сих пор предпочитаю. Но все развивается в сторону специализации, и, откровенно говоря, «хаос» сейчас очень специфическое явление. Когда в 2003 году Янир Бар-Ям написал гигантский учебник «Динамика сложных систем», он посвятил явлению хаоса первый же раздел первой главы. («Должен признаться, что первая глава занимает зоо страниц, хорошо?» – предупредил он.) Затем разбираются стохастические процессы, моделирование и симуляции, клеточные автоматы, теория вычислимости и теория информации, масштабирование, ренормализация, фракталы, нейронные сети, сети с аттракторами, однородные системы, неоднородные системы и так далее.

Бар-Ям, сын специалиста по физике элементарных частиц, сам изучал физику конденсированного состояния и стал профессором инженерии в Бостонском университете, но в 1997 году ушел оттуда, чтобы основать Институт сложных систем Новой Англии. Большое влияние на него оказали работы Стивена Вольфрама о клеточных автоматах и Роберта Девани о хаосе. Тогда же он обнаружил, что его интересуют нейронные сети и – он говорит об этом так, как будто не ощущает размах, – природа человеческой цивилизации куда больше, чем полимеры и сверхпроводники. «Размышления о цивилизации, – замечает он, – привели меня к мысли о сложности как некоторой сущности. Как вы сравните цивилизацию с чем-то еще? Похожа ли она на латунь? Или похожа ли она на лягушку? Как вы ответите на этот вопрос? Это то, что движет изучением сложных систем».

На случай, если вы не знали ответа, цивилизация больше похожа на лягушку, чем на латунь. Начать с того, что она развивается – эволюционные, адаптивные процессы являются неотъемлемой частью замысла и создания чего бы то ни было столь сложного, что оно не может быть успешно разобрано на отдельные составляющие. Социально-экономические системы тоже похожи на экосистемы. На самом деле они и есть экосистемы. С помощью компьютерного моделирования Бар-Ям исследовал, среди прочего, глобальные паттерны этнических конфликтов, пытаясь выделить закономерности смешения разных народов и устройства границ, которые провоцируют конфликты. По своей сути это исследование того, как формируются паттерны. И тот факт, что он вообще может проводить такое исследование, является свидетельством глубокого сдвига, произошедшего в последние два десятилетия, в понимании сообществом того, что считается правомерной научной проблемой. «Позвольте мне показать вам, как этот процесс выглядит на графике», – предлагает Бар-Ям. График представляет собой параболу.

Люди трудятся для того, чтобы собрать урожай фруктов в саду, так? Все красивые фрукты собраны и отнесены на рынок, после чего вы решаете собрать фрукты, которые расположены выше на деревьях. Их немного сложнее достать, и, возможно, они чуть меньше и не такие красивые. Затем вы мастерите лестницы и залезаете на деревья, чтобы достать самые высоковисящие фрукты. А после награждаете людей, которые сделали лестницы.

Когда я закончил исследование, у меня возникло ощущение, будто я обнаружил, что сад окружен живой изгородью, за которой находится еще один сад со множеством деревьев с красивыми фруктами. И вот я сорвал там фрукт, перебираюсь обратно через изгородь и показываю его людям. А они говорят: «Это не фрукт!» Люди оказались неспособны опознать его.

Сегодня процесс коммуникации, как кажется Бар-Яму, стал лучше. Весь спектр научных дисциплин научился сосредотачиваться на понимании сложности, масштабов, закономерностей и связанного с ними коллективного поведения. Это и есть фрукт.

В прежние безрассудные времена исследователи называли хаос третьей революцией века в физических науках, после теории относительности и квантовой механики. Сейчас стало ясно, что хаос неотделим от них. Существует только одна физика.

Фундаментальные уравнения общей теории относительности нелинейны – и, как мы знаем сейчас, это уже является признаком притаившегося хаоса. «Люди не всегда хорошо разбираются в ее методах», – говорит Жанна Левин, астрофизик и космолог из Барнард-колледжа Колумбийского университета. «Теоретическая физика, в частности, построена на понятии фундаментальных симметрий, – замечает она. – По этой причине, я думаю, для нее это был трудный сдвиг парадигмы». Симметрии и группы симметрий имеют тенденцию производить решаемые уравнения, поэтому они так хорошо работают. Когда работают.

Будучи специалистом в теории относительности, Левин имеет дело с самыми масштабными вопросами, какие только существуют. (Например, бесконечна ли Вселенная, или она просто большая? В ее работах выдвигается предположение, что все-таки просто большая – или, если точнее, топологически компактная и многосвязная.) Изучая происхождение Вселенной, Левин обнаружила, что волей-неволей ей приходится иметь дело с хаосом, и пережила сопротивление сообщества.

«Когда я впервые вынесла работу на всеобщий суд, я столкнулась с нездоровой реакцией мощного отторжения, – признается она. – Люди считали, что хаос может иметь отношение к сложным и запутанным физическим системам, но не к чистой, незамысловатой, умозрительной территории фундаментальной физики».

Мы изучали хаос в общей теории относительности и не сталкивались с каким-либо неприятием. Это была совсем крошечная область – проявления хаоса в Большом взрыве, провале в черную дыру или звездных орбитах вокруг нее. Людям это не кажется жутким, но они удивляются тому, что хаос может проявляться в чем-то столь незамысловатом – никаких атомов и прочего хлама, – как чисто релятивистская система.

Астрономы уже обнаружили следы хаоса в буйной активности на поверхности Солнца, щелях в поясе астероидов и распределении галактик. Левин и ее коллеги нашли их также в теории Большого взрыва и в черных дырах. Они полагают, что свет, захваченный черной дырой, может попадать на нестабильные хаотичные орбиты и выходить обратно, делая черную дыру на мгновение видимой. Да, хаос может зажигать черные дыры. «У меня есть рациональные числа, фрактальные множества и разнообразные по-настоящему прекрасные выводы, – говорит Левин. – Поэтому, с одной стороны, люди напуганы, а с другой – заворожены». Она изучает хаос в изогнутом пространстве-времени. Эйнштейн был бы горд.

Что касается меня, я никогда не возвращался к теме хаоса, но в этой книге читатели могут обнаружить идеи всех моих последующих книг. Я почти ничего не знал о Ричарде Фейнмане, но он появляется в одном из эпизодов. Куда большую роль, нежели просто появление в эпизоде, играет Исаак Ньютон: он кажется антигероем хаоса или богом, которого низвергли. Только позже, читая его записки и письма, я понял, как ошибался насчет него. И вот уже двадцать лет я слежу за дискуссией, которая началась с того, о чем мне рассказал Роб Шоу, – о хаосе и теории информации, сформулированной Клодом Шенноном. Хаос производит информацию – еще один кажущийся парадокс. Эта дискуссия связана со словами Бернардо Губермана – что он видел, как неожиданно в информационных сетях проявлялось сложное поведение. Мы видели зарю чего-то, и только сейчас мы наконец начинаем понимать, чего именно.

Джеймс Глик

Ки-Уэст

Февраль 2оо8

Примечания

Эта книга написана на основе рассказов, публичных лекций и научных исследований почти двух сотен ученых; большинство интервью, взятых специально для этой книги, сделаны в период с апреля 1984 года по декабрь 1986-го. некоторые из этих ученых являются специалистами в теории хаоса, некоторые – нет. многие оставались со мной на связи на протяжении многих месяцев и уделили мне долгие часы, делясь своими мыслями о прошлом и настоящем науки. Достоверность их слов полностью проверить невозможно. несколько человек предоставили мне свои уже написанные, но еще не опубликованные воспоминания.

Существует некоторое количество вторичных источников, которые содержат информацию о теории хаоса и могут быть полезны читателю, если он захочет узнать об этом больше. Возможно, первым общим введением в тему, ярко передающим суть предмета и одновременно обрисовывающим в общих чертах его фундаментальную математику, является колонка Дугласа хофштадтера, опубликованная в ноябре 1981 года в ScientificAmerican(перепечатана: MatemagicalThemas. New York: Basic Books, 1985). А двумя полезными сборниками самых влиятельных научных статей могут стать: нао B.-L. Chaos. Singapore: World Scientific, 1984; Cvitanovic P. UniversalityinChaos. Bristol: Adam Hilger, При этом выбор статей в них на удивление мало совпадает, и первый, возможно, немного больше исторически ориентирован. Для всех, кто интересуется истоками фрактальной геометрии, незаменимой и дотошной в своей энциклопедичности будет работа Mandelbrot B. TheFractalGeometryofNature. New York: Freeman, книга «красота фракталов» хайнца-отто Пайтгена и Петера Рихтера (Peitgen H.-O., Richter P. H. TheBeautyofFractals. Berlin: SpringerVerlag, 1986) в по-европейски романтической манере углубляется во многие области математики хаоса и содержит бесподобные эссе Бенуа мандельброта, Адриана Дуади и герта Эйленбергера; в ней также можно найти много цветных и черно-белых рисунков, часть которых представлена в этой книге. Прекрасно проиллюстрированный текст этого исследования предназначен для инженеров и других специалистов, которые ищут практического применения математических идей: Stewart H. B., Thompson J. M. NonlinearDynamicsandChaos. Chichester: Wiley, но все эти книги требуют от читателя некоторой технической подготовки. описывая в этой книге события, мотивацию и размышления разных ученых, я по возможности избегал строго научного языка, решив, что технически подкованные читатели сами поймут, что они читают про интегрируемость, экспоненциальную зависимость или комплексный анализ. Те, кому нужны математические подробности и конкретные ссылки, найдут их в примечаниях к главам. Выбирая, какие немногие научные статьи из тысяч подобных процитировать, я отдавал предпочтение или тем, которые в наибольшей степени повлияли на описываемые мною в этой книге события, или тем, которые могут быть максимально полезны читателям в поисках дальнейшей информации о заинтересовавших их идеях.

Описания конкретных мест основаны главным образом на моих визитах туда. Многие университеты, центры и лаборатории предоставили мне возможность поговорить с их сотрудниками, изучить их библиотеки и в некоторых случаях даже посмотреть на их компьютерное оснащение. Это Бостонский университет, Корнеллский университет, Курантовский институт математических наук, Европейский центр среднесрочных прогнозов погоды, Технологический институт Джорджии, Гарвардский университет, Исследовательский центр корпорации IBM имени Томаса Джона Уотсона, Институт перспективных исследований, геофизическая лаборатория Ламонта – Доэрти, Национальная лаборатория Лос-Аламоса, Массачусетский технологический институт, Национальный центр атмосферных исследований, Национальные институты здоровья, Национальный метеорологический центр, Нью-Йоркский университет, обсерватория Ниццы, Принстонский университет, Калифорнийский университет в Беркли, Калифорнийский университет в Санта-Крузе, Чикагский университет, Океанографический институт в Вудс-Хоуле, исследовательский центр компании Xeroxв Пало-Альто.

В примечаниях ниже указаны основные источники конкретных цитат или идей. Я привожу полностью ссылки на книги и статьи; в случае же, когда указано только одно имя, это означает, что я ссылаюсь на одного из следующих ученых, которые особенно помогли мне в моем исследовании:

Рэймонд Айдекер

Гюнтер Алерс

Тито Арекки

Майкл Барнсли

Роберт Бачел

Леннарт Бенгтссон

Уильям Бёрк

Уильям Боннер

Феликс Вилларс

Кеннет Вильсон

Уильям Вишер

Элена Вишневски

Стивен Вольфрам

Ричард Восс

Остин Вудс

Роберт Гилмор

Леон Гласc

Джеймс Глимм

Эри Голдбергер

Джерри Голлаб

Ральф Гомори

Бернардо Губерман

Джон Гукенхеймер

Стивен Джей Гулд

Фримен Дайсон

Эрика Джен

Родрик Дженсен

Минь Дуонг-Ван

Джеймс Йорк

Лео Каданов

Питер Каррутерс

Дональд Керр

Джозеф Клафтер

Ричард Коэн

Джеймс Крачфилд

Томас Кун

Дэвид Кэмпбелл

Джеймс Лангер

Марк Лафф

Джоэл Лебовиц

Герберт Левин

Сесиль Лейт

Альберт Либхабер

Эдвард Лоренц

Оскар Лэнфорд

Биллем Малкус

Дэвид Мамфорд

Сюкуро Манабе

Бенуа Мандельброт

Филип Маркус

Пол Мартин

Юрген Мозер

Фрэнсис Мун

Роберт Мэй

Арнольд Мэнделл

Майкл Науенберг

Хайнц-Отто Пайтген

Норман Паккард

Чарльз Пескин

Джеймс Рамси

Otto Рёсслер

Петер Рихтер

Давид Рюэль

Предраг Свитанович

Яков Синай

Стивен Смейл

Стивен Строгац

Брюс Стюарт

Гарри Суинни

Томас Тоффоли

Роберт Уайт

Гарет Уильямc

Артур Уинфри

Джек Уисдом

Брюс Уэст

Дойн Фармер

Митчелл Фейгенбаум

Рональд Фокс

Джозеф Форд

Ферейдун Фэмили

Джон Хаббард

Бросль Хасслачер

Хендрик Хаутаккер

Фрэнк Хоппенштедт

Дуглас Хофштадтер

Пьер Хоэнберг

Уильям Шаффер

Майкл Шлезингер

Стивен Шнейдер

Кристофер Шольц

Роберт Шоу

Эдвард Шпигель

Жан-Пьер Экманн

Мишель Эно.

Благодарности

Многие ученые великодушно направляли меня в моей работе, делились со мной информацией и учили меня. Вклад некоторых из них будет очевиден для читателя, но многие другие, не названные в тексте или же упомянутые лишь мимоходом, потратили не меньше своего времени и интеллекта. Они рассказали о научных областях, в которых работают, поделились воспоминаниями, поспорили друг с другом и предложили свое видение науки, столь необходимое мне для книги. Несколько человек прочли рукопись. При подготовке к написанию «Хаоса» я нуждался в их терпении и честности.

Я хочу выразить свою признательность моему редактору, Дэниэлу Франку, чьи воображение, чуткость и целостный подход дали этой книге гораздо больше, чем я могу рассказать. Я полностью полагаюсь на своего агента Майкла Карлайла в его чрезвычайном профессионализме и энергичной поддержке. Питер Миллонс и Дон Эриксон из NewYorkTimesоказали мне помощь, которая имела решающее значение. Среди тех, кто способствовал появлению иллюстраций на страницах этой книги, были Хайнц-Отто Пайтген, Петер Рихтер, Джеймс Йорк, Лео Каданов, Филип Маркус, Бенуа Мандельброт, Джерри Голлаб, Гарри Суинни, Артур Уинфри, Брюс Стюарт, Ферейдун Фэмили, Ирвинг Эпштейн, Мартин Гликсман, Скотт Бернc, Джеймс Крачфилд, Джон Милнор, Ричард Восс, Нэнси Стернгольд и Адольф Бротман. Я также благодарен моим родителям, Бет и Донену Гликам, которые не только правильно воспитали меня, но и внесли правки в эту книгу.

Гёте писал: «Мы имеем право ожидать от того, кто предлагает нам историю какой бы то ни было науки, что он с уважением расскажет о том, как формировалось представление о феномене, который находится в центре его внимания, и что на этот счет воображали, предполагали, допускали и думали». Это «опасное дело», продолжает он, «ибо в таком предприятии писатель с самого начала молчаливо объявляет, что он намерен на одни вещи пролить свет, а другие убрать в тень. Тем не менее от выполнения своей задачи автор получает много удовольствия…»

Примечания

1

Фейгенбаум, Каррутерс, Кэмпбелл, Фармер, Вишер, Керр, Хасслачер, Джен.

2

Фейгенбаум, Каррутерс.

3

Бачел, Шлезингер, Вишневски.

4

Йорк.

5

Browand F. К. «The Structure of Turbulent Mixing Layer» // Physica. Vol. 18D. P. 135.

6

К изучению поведения автомобилей в дорожной пробке особенно серьезно подошли японские ученые; см. Musha T., Higuchi H. «The 1/f Fluctuation of a Traffic Current on an Expressway» //Japanese Journal of Applied Physics. P. 1271–1275.

7

Mandelbrot R., Wisdom M., Alvin M. S. «Chaos – A Model for the Outbreak of War» // Nature. Vol. P. 303–305.

8

Шлезингер.

9

Шлезингер.

10

Форд.

11

Ford J. «What Is Chaos, That We Should Be Mindful of It?», preprint. Georgia Institute of Technology. R 12.

12

Именная позиция в Кембридже (одна из самых престижных научных должностей в мире), названная по имени благотворителя Генри Лукаса, завещавшего в 1663 году средства для ее финансирования. Вторым лукасовским профессором был сэр Исаак Ньютон, с тех пор ее часто неформально называют «ньютоновской». – Здесь и далее, если не указано иное, прим. науч. ред.

13

Boslough J. Stephen Hawklng's Universe. Cambridge: Cambridge University Press, 1980; см. также: Shaw R. The Dripping Faucet as a Model Chaotic System. Santa Cruz: Aerial, P. 1.

14

Cray – название компании, производящей суперкомпьютеры. Macintosh – название персональных компьютеров, выпускавшихся компанией Apple.

15

Лоренц, Малкус, Шпигель, Фармер. По сути, Лоренц создал три ключевые работы, центральная из которых: «Deterministic Nonperiodic Flow» // Journal of the Atmospheric Sciences. Vol. P. 130-141. Она дополнена еще двумя: «The Mechanics of Vacillation» //Journal of the Atmospheric Sciences. Vol. 20 P. 448–464; «The Problem of Deducing the Climate from the Governing Equations» // 7e//us. Vol. R 1-Вместе они составляют обманчивое в своей легковесности исследование, которое и двадцать лет спустя продолжало влиять на умы математиков и физиков. Некоторые погодные модели, построенные лично Лоренцем с помощью его первого компьютера, см.: «On the Prevalence of Aperiodicity in Simple Systems» // Global Analysis / Ed. by M. Marsden and J. Marsden. New York: Springer-Verlag, R 53–75.

16

Примерно 24 градуса по Цельсию.

17

Современное описание проблемы использования уравнений в погодном моделировании, изложенное Лоренцем, см.: «Large-Scale Motions of the Atmosphere: Circulation» //Advances In Earth Science / Ed. by R M. Hurley. Cambridge, Mass.: The M. I. T. Press, P. 95-Одно из самых ранних и вдохновляющих исследований этой проблемы: Richardson L F. Weather Prediction by Numerical Process. Cambridge: Cambridge University Press, 1922.

18

Лоренц. Как в его мышлении сочетались математические и метеорологические основания, см.: «Irregularity: A Fundamental Property of the Atmosphere», Crafoord Prize Lecture presented at the Royal Swedish Academy of Sciences, Stockholm, Sept. 28, 1983 // Tellus. Vol. 36A. P. 98–110.

19

Уже восьми: в 2006 году Плутон переведен в статус «карликовых планет».

20

Laplace R S. de. A Philosophical Essay on Probabilities. New York: Dover, 1951.

21

Уинфри.

22

Лоренц.

23

«On the Prevalence». P. 55.

24

Из всех классических физиков и математиков, которые размышляли над динамическими системами, лучше всех возможности хаоса осознавал Жюль Анри Пуанкаре. В работе «Наука и метод» он писал: «Таким образом, совершенно ничтожная причина, ускользающая от нас по своей малости, вызывает значительное действие, которого мы не можем предусмотреть, и тогда мы говорим, что это явление представляет собой результат случая. Если бы мы знали точно законы природы и состояние Вселенной в начальный момент, то мы могли бы точно предсказать состояние Вселенной в любой последующий момент. Но даже и в том случае, если бы законы природы не представляли собой никакой тайны, мы могли бы знать первоначальное состояние только приближенно. Если это нам позволяет предвидеть дальнейшее ее состояние с тем же приближением, то это все, что нам нужно. Мы говорим, что явление было предвидено, что оно управляется законами. Но дело не всегда обстоит так; иногда небольшая разница в первоначальном состоянии вызывает большое различие в окончательном явлении. Небольшая погрешность в первом вызвала бы огромную ошибку в последнем. Предсказание становится невозможным…» (Пуанкаре А. О науке. М.: Наука, – Прим. ред.) С переходом из XIX века в XX его предупреждение было забыто; единственным математиком в США, который продолжал следовать заветам Пуанкаре в 1920-1930-е годы, был Джордж Биркгоф. Так случилось, что он недолгое время был наставником Эдварда Лоренца в Массачусетском технологическом институте.

25

Лоренц; а также см.: «On the Prevalence». P. 56.

26

Лоренц.

27

Вудс, Шнейдер; см. также большой обзор экспертных мнений того времени: «Weather Scientists Optimistic That New Findings Are Near» // The New York Times. 9 September. P. 1.

28

Дайсон.

29

Боннер, Бенгтссон, Вудс, Лейт.

30

Medawar R В. «Expectation and Prediction» // Pluto's Republic. Oxford: Oxford University Press, R 301–304.

31

Изначально Лоренц использовал для описания эффекта образ чайки, а тот образ, который используется сейчас, по-видимому, позаимствован из его работы «Predictability: Does the Flap of a Butterfly's Wings in Brazil Set Off a Tornado in Texas?» и связан с выступлением на ежегодном собрании Американской ассоциации содействия развитию науки в Вашингтоне 29 декабря 1979 года.

32

Йорк.

33

Лоренц, Уайт.

34

«The Mechanics of Vacillation».

35

Перевод С. Я. Маршака.

36

Джордж Херберт; в этом контексте цит. по: Wiener N. «Nonlinear Prediction and Dynamics» // Collected Works with Commentaries / Ed. by R Masani. Cambridge, Mass.: The M. I. T. Press, R 3:Винер не был согласен с Лоренцем как минимум в признании наличия «самостоятельных колебаний незначительных деталей на погодной карте». Он отмечал: «Торнадо – в высшей степени локальный феномен, и его точный путь могут определять мелочи, не влияющие глобально больше ни на что».

37

Тут имеется в виду следующее. Пусть есть линейное уравнение типа ẍ+x= = a (t)+ b (t)+ c(t). Это уравнение описывает динамику колебательного процесса, и здесь a (t), b (t)и c (t) – слагаемые, отвечающие за различные внешние воздействия. например, можно представить себе ребенка, качающегося на качелях в ветреную погоду. тогда a (t)будет обозначать усилия самого ребенка, b (t) – усилия его родителей, помогающих раскачиваться, и c (t) – силу ветра. можно разобрать исходное уравнение на кусочки, а именно – решить три отдельных уравнения, каждое из которых учитывает только один из трех эффектов (то есть х + х = a(t), x + x = b(t)nx+x = c(t)). Если теперь сложить решения этих уравнений, результат будет решением исходного уравнения. Эта аддитивность и является как раз следствием линейности – нелинейные уравнения таким свойством не обладают.

38

Neumann J. von. «Recent Theories of Turbulence» (1949) // Collected Works / Ed. by A. H. Taub. Oxford: Pergamon Press, R 6:437.

39

«The predictability of hydrodynamic flow» // Transactions of the New York Academy of Sciences. Vol. 11:25:R 409–432.

40

Ibid. R 410.

41

Этот набор из семи уравнений для описания конвекции был разработан Барри Сольцменом из Йельского университета, с которым Лоренц был знаком. Обычно уравнения Сольцмена описывают периодическое поведение, но, как заметил Лоренц, имелось одно исключение, при котором жидкость «отказывалась приходить в состояние покоя». Тогда Лоренц понял, что значение четырех из уравнений в ситуации хаоса сводится к нулю, поэтому их можно не учитывать. Saltzman В. «Finite Amplitude Convection as an Initial Value Problem» // Journal of the Atmospheric Sciences. Vol. P. 329.

42

Появление конвективных валов в жидкости из уравнений Навье – Стокса, непрерывности и теплопроводности подробно описано в монографии Ланда П. С. Нелинейные колебания и волны. М: Либроком, 2010.

43

Подобную модель можно найти в статье: Cook A. E., Roberts P. H. «The Rikitake twodisc dynamo system» // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. Vol. P. 547–569.

44

Малкус; хаотичность магнитного поля Земли до сих пор остается горячо обсуждаемой темой, и некоторые ученые продолжают искать объяснения этому явлению, в том числе не исключая возможности внешнего воздействия, например потоков воздуха, идущих от огромных метеоритов. Одно из первых предположений, что изменения обусловлены хаосом, встроенным в саму систему, см.: Robbins К. A. «A moment equation description of magnetic reversals in the earth» // Proceedings of the National Academy of Science. Vol. P. 4297–4301.

45

Малкус.

46

Подобное вращение можно наблюдать на видео: www.youtube.com/watch?v=Gu50alrmzNA.

47

Эта классическая модель, обычно называемая системой Лоренца, выглядит так:

dx/dt = 10 (у−х)

dy/dt = −xz + 28х − у

dz/dt = ху − (8/3) z

С момента ее появления в «Deterministic Nonperiodic Flow» система Лоренца много исследуется; см., например, авторитетную техническую работу: Sparrow C. The Lorenz Equations, Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors. Springer-Verlag, 27 См. русский перевод: Лоренц Э. «Детерминированное непериодическое течение» // Странные аттракторы. М.: Мир, С. 88. (Прим. науч. ред.)

48

Малкус, Лоренц.

49

«Deterministic Nonperiodic Flow» в середине 1960-х в научном сообществе цитировалась с периодичностью раз в год, а двумя десятилетиями позже – больше чем сто раз в год.

50

Предложенное Куном понимание научной революции широко критиковалось и обсуждалось спустя четверть века после того, как он его высказал, примерно в то время, когда Лоренц пытался построить с помощью компьютера первые погодные модели. В рассказе о взглядах Куна я полагался в первую очередь на его работу: The Structure of Scientific Revolutions, 2nd ed. enl. Chicago: University of Chicago Press, 1970; а также: The Essential Tension: Selected Studies in Scientific Tradition and Change. Chicago: University of Chicago, 1977; «What Are Scientific Revolutions?» //Occasional Paper. No. Center for Cognitive Science, Massachusetts Institute of Technology; и интервью с Куном. Еще один полезный и важный источник, который содержит размышления о предмете: Cohen I. В. Revolution in Science. Cambridge, Mass.: Belknap Press, 1985.

51

Structure. P. 62–65, со ссылкой на: Bruner J. S., Postman L «On the Perception of Incongruity: A Paradigm» // Journal of Personality. Vol. XVIII. R 206.

52

Structure. P. 24.

53

Tension. P. 229.

54

Structure. P. 13–15.

55

Tension. P. 234.

56

Свитанович.

57

Форд, интервью, а также: «Chaos: Solving the Unsolvable, Predicting the Unpredictable» // Chaotic Dynamics and Fractals / Ed. by M. F. Barnsley and S. G. Demko. New York: Academic Press, 1985.

58

Но Майкл Берри отмечает, что в Оксфордском словаре есть редко употребляемое слово «хаология», которое означает «историю или описание хаоса». Berry M. «The Unpredictable Bouncing Rotator: A Chaology Tutorial Machine», preprint, H. H. Wills Physics Laboratory, Bristol.

59

Рихтер.

60

На сегодняшний день одной из крупных лабораторий в Северной Америке, занимающейся вопросами нелинейной динамики и вибрационных испытаний, является Dynamics, созданная профессором, исследователем в области машиностроения Альбертом Луо.

61

Crutchfield J., Nauenberg M., Rudnick J. «Scaling for External Noise at the Onset of Chaos» // Physical Review Letters. Vol. R 933.

62

В среде математиков – специалистов в области качественной теории дифференциальных уравнений – такое мнение действительно встречается, поскольку, например, то, что демонстрируют предельные решения системы Лоренца, в общем случае было изучено ранее в теоретических работах Джорджа Биркгофа и др.

63

Wolf A. «Simplicity and Universality in the Transition to Chaos» // Nature. Vol. R 182; Ford J. «What is Chaos, That We Should Be Mindful of It?», preprint, Georgia Institute of Technology, Atlanta.

64

«What Are Scientific Revolutions?» P. 23.

65

Structure. P. 11.

66

Йорк и другие.

67

«What Are Scientific Revolutions?» P. 2–10.

68

Galileo Opere. Vol. VIII. R 277; Vol. VIII. R 129–130.

69

Tritton D. «Chaos in the Swing of a Pendulum» // New Scientist. 24 July. P. Это доступное эссе, не перегруженное техническими подробностями, о философских аспектах маятникового хаоса.

70

Здесь речь идет о математическом маятнике без трения, совершающем малые колебания около нижнего положения равновесия; при больших начальных углах отклонения период будет зависеть от угла и колебания будут совершаться по более сложному закону, чем синусоидальный.

71

Процессы, в которых энергия в конечном счете переходит в тепло.

72

Решения физических нелинейных систем существуют (иначе никакого процесса не было бы), но аналитически (то есть в классе известных функций, свойства которых хорошо изучены математиками) найти их очень часто невозможно, как, например, для системы Лоренца; поэтому сегодня используют методы вычислительной математики для построения приближенных решений.

73

Соединение сверхпроводников, разделенных диэлектриком. Протекание тока через слой диэлектрика в этом случае называется эффектом Джозефсона по имени британского физика Брайана Джозефсона, предсказавшего это явление в 1962 году (Нобелевская премия 1973 года). Эффект Джозефсона используется в построении высокоточных измерительных приборов и в других областях.

74

Например, реакции Белоусова – Жаботинского.

75

На практике тот, кто дает толчок, всегда может произвести более или менее регулярное движение, предположительно, используя неосознаваемый нелинейный механизм ответа.

76

Хорошо подводит итог многих попыток анализа возможных трудностей в понимании механизма работы простого колеблющегося маятника: D'Humieres D., Beasley M. R., Huberman Β. Α., Libchaber A. «Chaotic States and Routes to Chaos in the Forced Pendulum» // Physical Review A Vol. P. 3483–3496.

77

Майкл Берри исследовал физическую природу этой игрушки как в теории, так и экспериментально. В работе «The Unpredictable Bouncing Rotator» он описывает спектр ее возможного поведения на языке нелинейной динамики: «теория KAM», «бифуркация периодических орбит», «гамильтонов хаос», «устойчивые неподвижные точки» и «странные аттракторы».

78

Эно.

79

Уэда.

80

Фокс.

81

Смейл, Йорк, Гукенхеймер, Абрахам, Мэй, Фейгенбаум; краткая и до некоторой степени анекдотическая оценка образа мыслей Смейла в тот период: Smale S. «On How l Got Started in Dynamical Systems»//Smale S. The Mathematics of Time: Essays on Dynamical Systems, Economic Processes, and Related Topics. New York: Springer-Verlag, P. 147–151.

82

Anderson R. H. «Moscow Silences a Critical American» / /The New York Times. 27 August. P. 1; Smale S. «On the Steps of Moscow University» // The Mathematical Intelligencer. Vol. №P. 21–27.

83

Смейл.

84

Коллегой был Н. Левинсон. Несколько направлений в математике, восходящих к Пуанкаре, могут сойтись вместе. Работа Биркгофа стала одним из подтверждений этого. В Англии Мэри Люси Картрайт и Дж. И. Литтлвуд последовали подсказкам, оставленным Балтазаром Ван дер Полем относительно хаотических осцилляторов. Эти математики осторожно восприняли идею о возможности хаоса в простых системах, а Смейл, как большинство хорошо образованных математиков, принимал во внимание только их работы, пока не получил письмо от Левинсона.

85

Смейл доказал одно из обобщений той самой гипотезы Пуанкаре для трехмерного пространства, которую позже доказал Григорий Перельман.

86

Слова «поверхность» и «многообразие» можно считать синонимами. Сфера и тор (поверхность бублика) – примеры многообразий. Размерность многообразия – это количество чисел, которые нужно задать, чтобы выделить на нем конкретную точку. Например, любая точка на обычной сфере однозначно определяется парой чисел – долготой и широтой, – поэтому говорят, что сфера двумерна (хотя и лежит в трехмерном пространстве); поверхность обычного бублика тоже двумерна. Представить себе многообразия с размерностями больше двух довольно трудно, но для понимания дальнейшего и не нужно.

87

В теории динамических систем слово «устойчивость» имеет разные значения, и в этом абзаце они немного перемешаны. Есть понятие устойчивости положения равновесия (так называемая устойчивость по Ляпунову). Пример с шариком в лунке и карандашом на острие – как раз про этот тип устойчивости. Причем, как справедливо отмечает автор, в одной и той же системе могут наблюдаться устойчивые и неустойчивые положения равновесия. Рассмотрим, например, качели, способные по своей конструкции совершить полный оборот. Пусть качели пусты, их никто не толкает и они неподвижны. Тогда они могут находиться в устойчивом положении равновесия (сиденье максимально близко к земле) и – теоретически – в неустойчивом (сиденье максимально далеко от земли). В отличие от устойчивости по Ляпунову, устойчивость «по Смейлу», более известная как структурная устойчивость, – это характеристика не отдельного состояния системы, а всей системы целиком. Возвращаясь к примеру с качелями: если немного изменить их конструкцию – например, сделать сиденье чуть шире или чуть уже либо слегка изогнуть поручни, – они будут вести себя примерно так же, как и раньше. У них по-прежнему будет два возможных положения равновесия, они по-прежнему могут колебаться или проворачиваться – даже если какие-то количественные характеристики их возможного движения изменятся, качественно все останется по-прежнему. В этом смысле система, описывающая качели, структурно устойчива. Понятие структурной устойчивости появилось в работе A. A. Андронова и Л. С. Понтрягина в 1937 году (там оно названо «грубостью»). Гипотеза, выдвинутая Смейлом, состояла в том, что хаос не может наблюдаться в структурно устойчивых системах.

88

Smale S. «On How I Got Started».

89

Ван дер Поль описал свое исследование в публикации: Nature. Vol. P. 363–364.

90

Опять же имеется в виду структурная устойчивость, а не устойчивость конкретного положения равновесия.

91

Ibid.

92

Бескомпромиссно математическое объяснение Смейлом этой работы см.: «Differentiable Dynamical Systems» // Bulletin of the American Mathematical Society. P. 747–817 (а также: The Mathematics of Time. P. 1-82).

93

Рёсслер.

94

Йорк.

95

Важнее обратное: даже точки, которые исходно находились очень близко друг к другу, из-за постоянных растяжений со временем окажутся на заметном расстоянии.

96

Гукенхеймер, Абрахам.

97

Абрахам.

98

Маркус, Инджерсолл, Уильямc; Marcus P. S. «Coherent Vortical Features in a Turbulent Two-Dimensional Flow and the Great Red Spot of Jupiter». Paper presented at the 110th Meeting of the Acoustical Society of America, Nashville, Tennessee, 5 November 1985.

99

Updike J. «The Moons of Jupiter» // Facing Nature. New York: Knopf, P. 74.

100

Инджерсолл; см. также: Ingersoll A. P. «Order from Chaos: The Atmospheres of Jupiter and Saturn» // Planetary Report. Vol. № P. 8–11.

101

Маркус.

102

Маркус.

103

Мэй, Шаффер, Йорк, Гукенхеймер. Знаменитый обзор уроков Мэя по теории хаоса в биологии: «Simple Mathematical Models with Very Complicated Dynamics» //Nature. Vol. R 459–467; а также: «Biological Populations with Nonoverlapping Generations: Stable Points, Stable Cycles, and Chaos» // Science. Vol. R 645–647; May R., Oster G. F. «Bifurcations and Dynamic Complexity in Simple Ecological Models» // The American Naturalist. Vol. R 573-Прекрасный обзор развития математического моделирования популяций еще до возникновения теории хаоса: Kingsland S. E. Modeling Nature: Episodes in the History of Population Ecology. Chicago: University of Chicago Press, 1985.

104

May R., Seger J. «Ideas in Ecology: Yesterday and Tomorrow», preprint. Princeton University. P. 25.

105

May R., Oster G. F. «Bifurcations and Dynamic Complexity in Simple Ecological Models» // The American Naturalist. Vol. R 573.

106

Мэй.

107

Удобства ради в данной весьма абстрактной модели численность особей выражается дробным числом, которое больше нуля, но меньше единицы, причем нуль обозначает вымирание, а единица – максимально возможную численность популяции, скажем, рыб в пруду. Итак, начнем: произвольно выберем значение параметра r, например 2,7, и начальную численность популяции, к примеру 0,Отнимем от единицы 0,02, получив 0,98, и умножим 0,98 на 0,02, получив в итоге 0,Теперь умножим результат на 2,7 и получим 0,Крошечная начальная численность популяции выросла более чем в два раза. Повторим процедуру, используя только что полученную численность особей в качестве исходных данных, и получим 0,С простым, дешевым калькулятором, в который можно ввести определенную программу, для получения такого результата нужно лишь нажимать одну и ту же кнопку снова и снова. Популяция увеличивается до 0,3159, затем до 0,5835, потом до 0,6562 – рост численности замедляется. Далее, по мере того как смертность от нехватки пропитания «догоняет» воспроизводство, численность будет равняться 0,6092, 0,6428, 0,6199, 0,6362, 0,Значения в числовом ряду скачут: то возрастают, то уменьшаются. Впрочем, заканчивается он строго определенным значением: 0,6328, 0,6273, 0,6312, 0,6285, 0,6304, 0,6291, 0,6300, 0,6294, 0,6299, 0,6295, 0,6297, 0,6296, 0,6297, 0,6296, 0,6296, 0,6296, 0,6296, 0,6296, 0,6296, 0,Это явный успех! Когда все расчеты выполнялись вручную и даже во времена механических счетных машинок с ручным приводом, дальше подобных вычислений дело особенно не шло. – Прим. автора.

108

Smith J. M. Mathematical Ideas in Biology. Cambridge: Cambridge University Press, R 18; Gold H. J. Mathematical Modeling of Biological Systems.

109

Мэй.

110

Hethcote H. W., Yorke J. A. Gonorrhea Transmission Dynamics and Control. Berlin: Springer-Verlag, 1984.

111

Благодаря компьютерному моделированию Йорк узнал, что система вынуждает водителей совершать больше поездок на заправочную станцию и постоянно наполнять бак; таким образом система в любой момент могла увеличить количество бензина, расточительно заправляемого в автомобили по всей стране.

112

Позднее записи из аэропорта подтвердили, что Йорк был прав.

113

Йорк.

114

Gell-Mann M. «The Concept of the Institute» // Emerging Syntheses in Science. Proceedings of the founding workshops of the Santa Fe Institute. Santa Fe: The Santa Fe Institute, P. 11.

115

Йорк, Смейл.

116

Имеется в виду следующее. Если взять число от О до 1 наугад (например, выбрать случайную точку на отрезке числовой прямой), оно почти наверняка окажется иррациональным, то есть будет представляться бесконечной непериодической десятичной дробью. Более того, последовательность цифр после запятой будет вести себя как результат случайного подбрасывания игральной кости с 10 гранями. Например, все возможные цифры будут встречаться с одинаковой частотой.

117

Йорк.

118

Доступный рассказ о линейности, нелинейности и ранних попытках использовать компьютер, для того чтобы понять разницу: Campbell D., Crutchfield J. P., Farmer J. D., Jen E. «Experimental Mathematics: The Role of Computation in Nonlinear Science» // Communications of the Association for Computing Machinery. Vol. P. 374–384.

119

Ферми; цит. по: Ulam S. M. Adventures of a Mathematician. New York: Scribners, Улам также описывает происхождение другой важной традиции в понимании нелинейности, проблемы Ферми – Паста – Улама. В поисках задач, которые можно было бы решить на новом компьютере MANIAC в Лос-Аламосе, ученые попробовали заняться динамической системой, которую представляет собой вибрирующая струна – простая модель, «имеющая к тому же корректный с точки зрения физики, небольшой нелинейный период колебаний». В результате они обнаружили паттерны, которые сливались в неожиданную периодичность. Как описал их находку Улам: «Результаты оказались абсолютно не такими, какими их ожидал увидеть в том числе Ферми со всем его глубоким знанием волновых движений… К нашему удивлению, струна начала играть в игру со стульями…» Ферми посчитал находку неважной, и она не приобрела широкую известность, но несколько математиков и физиков продолжили ее изучение, и она стала частью локального знания в Лос-Аламосе. Adventures. Р. 226–228.

120

Цит. по: «Experimental Mathematics». R 374.

121

Йорк.

122

Статья написана совместно с его студентом Тьен-Йеном Ли: «Period Three Implies Chaos» //American Mathematical Monthly. Vol. R 985–992.

123

Мэй.

124

Мэй; казалось бы, неразрешимый вопрос побудил его перейти от аналитических методов к числовым экспериментам и по крайней мере пробудил интуицию.

125

Постдок (англ. postdoc) – человек, недавно получивший степень Ph. D. (аналог кандидата наук) и работающий исследователем на временной позиции. Как правило, после защиты диссертации молодой исследователь последовательно меняет несколько постдок-позиций в разных университетах, работая на каждой один-два года, прежде чем сможет получить постоянную позицию профессора.

126

Йорк.

127

Скажем, при r= 3,5 и начальной численности популяции 0,4 Мэй увидел следующий числовой ряд:

0,4000; 0,8400; 0,4704; 0,8719;

0,3908; 0,8332; 0,4862; 0,8743;

0,3846; 0,8284; 0,4976; 0,8750;

0,3829; 0,8270; 0,4976; 0,8750;

0,3829; 0,8270; 0,5008; 0,8750;

0,3828; 0,8269; 0,5009; 0,8750;

0,3828; 0,8269; 0,5009; 0,8750 и т. д. – Прим. автора

128

Английское слово bifurcation как раз и означает «разветвление». В дальнейшем в теории динамических систем этим словом стал обозначаться более широкий класс явлений, при которых системы меняют свои качественные характеристики.

129

«Coexistence of Cycles of a Continuous Map of a Line into Itself» // Ukrainian Mathematics Journal. Vol. R 61.

130

Александр Николаевич Шарковский (родился в 1936 году в Киеве) – советский и украинский математик, с 1978 года член-корреспондент АН УCCР с 2006-го – академик HAH Украины.

131

Синай, в личной беседе, состоявшейся 8 декабря 1986 года.

132

Это были Фейгенбаум и Свитанович.

133

Мэй.

134

Хоппенштедт.

135

Мэй.

136

Schaffer W. M., Kot M. «Nearly One-dimensional Dynamicsinan Epidemic» //Journal of Theoretical Biology. Vol. R 403–427; Schaffer W. M. «Stretching and Folding in Lynx Fur Returns: Evidence for a Strange Attractor in Nature» // The American Naturalist. Vol. R 798–820.

137

«Simple Mathematical Models». P. 467.

138

Ibid.

139

Мандельброт, Гилмор, Восс, Барнсли, Рихтер, Мамфорд, Хаббард, Шлезингер. Настольная книга Бенуа Мандельброта: The Fractal Geometry of Nature. New York: Freeman, Интервью с Энтони Барселлосом в: Mathematical People/ Ed. by D. J. Albers and G. L. Alexanderson. Boston: Birkhauser, Два эссе Мандельброта, которые не широкоизвестны, но крайне интересны: «On Fractal Geometry and a Few of the Mathematical Questions It Has Raised» // Proceedings of the International Congress of Mathematicians. 16–14 August 1983, Warsaw. P. 1661–1675; «Towards a Second Stage of Indeterminism in Science», preprint. IBM Thomas J. Watson Research Center, Yorktown Heights, New York. Обзорных статей о приложении фракталов слишком много, чтобы приводить их список, но есть два полезных примера: Sandler L, Sandler M. «Fractal Growth Processes» // Nature. Vol. R 789–793; Voss R. «Random Fractal Forgeries: From Mountains to Music» //Science and Uncertainty / Ed. by Sara Nash. London: IBM United Kingdom, 1985.

140

Хаутаккер, Мандельброт.

141

Цит. по: Fractal Geometry. P. 423.

142

Океанографический институт в Вудс-Хоуле, август 1985 года.

143

Мандельброт.

144

Мандельброт, Рихтер. Даже сейчас о Бурбаки написано немного; см. игривое введение в тему: Halmos R R. «Nicholas Bourbaki» // Scientific American. Vol. R 88–89.

145

Смейл.

146

Пайтген.

147

«Second Stage». R 5.

148

Мандельброт; Fractal Geometry. P. 74; Berger J. M., Mandelbrot B. «A New Model for the Clustering of Errors on Telephone Circuits» // IBM Journal of Research and Development. Vol. R 224–236.

149

Fractal Geometry. P. 248.

150

Например: Ibid. P. 1.

151

Ibid. R 27.

152

Ibid. R 17.

153

Ibid. R 18.

154

Мандельброт.

155

Fractal Geometry. P. 131; «On Fractal Geometry». R 1663.

156

Ф. Хаусдорф и А. С. Безикович.

157

Мандельброт.

158

Шольц; Scholz С. Н., Aviles CA. «The Fractal Geometry of Faults and Faulting», preprint. Lamont-Doherty Geophysical Observatory; Scholz С. Н. «Scaling Laws for Large Earthquakes» // Bulletin of the Seismological Society of America. Vol. R 1-14.

159

Перевод С. Я. Маршака.

160

Fractal Geometry. P. 24.

161

Шольц.

162

Шольц.

163

Bloom W., Fawcett D. W. A Textbook of Histology. Philadelphia: W. B. Saunders, 1975.

164

Один из обзоров этих идей см.: Goldberger A. L. «Nonlinear Dynamics, Fractals, Cardiac Physiology, and Sudden Death» // Temporal Disorder in Human Oscillatory Systems / Ed. by L. Rensing, U. An der Heiden, M. Mackey. New York: Springer-Verlag, 1987.

165

Голдбергер, Уэст.

166

Goldberger Α. L., Bhargava V, West B. J., Mandell A. J. «On a Mechanism of Cardiac Electrical Stability: The Fractal Hypothesis» // Biophysics Journal. Vol. P. 525.

167

Feder В. J. «The Army May Have Matched the Goose» // The New York Times. 30 November. №P. 16.

168

Мандельброт.

169

Cohen B. Revolution in Science. Cambridge, Mass.: Belknap, P. 46.

170

Мамфорд.

171

Рихтер.

172

Точно так же как Мандельброт мог впоследствии не признавать приписываемых Митчеллу Фейгенбауму заслуг, не ссылаясь на числа Фейгенбаума и универсальность Фейгенбаума. Вместо этого Мандельброт обычно упоминал математика П. Ю. Мирберга, который изучал итерации квадратичных отображений предположительно в начале 1960-х.

173

В математике существуют разные подходы к определению понятия размерности. Например, помимо размерности Хаусдорфа – Безиковича есть размерность Минковского, топологическая размерность (в отличие от двух других, она бывает только целой) и другие.

174

Рихтер.

175

Мандельброт.

176

Клафтер.

177

Родственный Губерману.

178

«Freedom, Science, and Aesthetics» // Schönheit im Chaos. P. 35.

179

Fowles J. A Maggot Boston: Little, Brown, Ρ 11.

180

Helleman R. H. G. «Self-Generated Behavior in Nonlinear Mechanics» //Fundamental Problems in Statistical Mechanics 5 / Ed. by Ε. G. D. Cohen. Amsterdam: North-Holland, R 165.

181

Лев Каданов, например, задался вопросом: «В чем заключаются физические основания фракталов?» в Physics Today (February R 6) и затем сам ответил на него, описав новый «мультифрактальный» подход в Physics Today (April R 17), чем спровоцировал Мандельброта на типично раздраженную ответную реплику в Physics Today (September P. 11). Мандельброт писал, что теория Каданова лично его «наполняет гордостью отца, который скоро станет дедушкой».

182

Рюэль, Эно, Рёсслер, Синай, Фейгенбаум, Мандельброт, Форд, Крайхнан. Существует много точек зрения на исторический контекст возникновения представления о турбулентности странного аттрактора. Для знакомства с темой см.: Miles J. «Strange Attractors in Fluid Dynamics» // Advances in Applied Mechanics. Vol. R 189-Самая доступная статья Рюэля: «Strange Attractors» // Mathematical Intelligencer. Vol. P. 126–137; его смелое предположение: Ruelle D., Takens F. «On the Nature of Turbulence» // Communications in Mathematical Physics. Vol. R 167–192; a также другие его важные работы: «Turbulent Dynamical Systems» // Proceedings of the International Congress of Mathematicians. 16–24 August 1983, Warsaw. R 271–286; «Five Turbulent Problems» // Physica. Vol. 7D. R 40–44; «The Lorenz Attractor and the Problem of Turbulence» // Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, No. R 146–158.

183

На этот счет существует много версий. Орзаг приводит четыре варианта авторства – Гейзенберга – фон Неймана, Лэмба, Зоммерфельда и фон Кармана – и добавляет: «Если бы Господь действительно дал ответ этим четырем людям, то в каждом случае он был бы разным».

184

Рюэль; см. также: «Turbulent Dynamical Systems». R 281.

185

Landau L. D., Lifshitz E. M. Fluid Mechanics. Oxford: Pergamon, 1959.

186

Малкус.

187

Суинни.

188

Суинни, Голлаб.

189

Дайсон.

190

Суинни.

191

Суинни, Голлаб.

192

Суинни.

193

Gollub J. R, Swinney H. L «Onset of Turbulence in a Rotating Fluid» // Physical Review Letters. Vol. R Эти эксперименты стали лишь первым шагом на пути изучения сложного пространственного поведения, которое можно наблюдать, изменяя некоторые параметры потока между вращающимися цилиндрами. В течение следующих нескольких лет были выявлены некоторые закономерности – от «спиралеобразной волны» до «волнообразного притока и оттока» и «взаимопроникающих спиралей». Итоги этим исканиям подведены в работе: Andereck С. D., Liu S. S., Swinney H. L. «Flow Regimes in a Circular Couette System with Independently Rotating Cylinders» // Journal of Fluid Mechanics. Vol. R 155–183.

194

Рюэль.

195

Рюэль.

196

«On the Nature of Turbulence».

197

Они быстро обнаружили, что некоторые из их идей уже обсуждались в русской научной литературе. «С другой стороны, математическое объяснение турбулентности, которое мы приводим, остается исключительно на нашей совести», – замечали они. «Note Concerning Our Paper „On the Nature of Turbulence“» // Communications in Mathematical Physics. Vol. R 343–344.

198

Рюэль.

199

«Strange Attractors». R 131.

200

Рюэль.

201

Abraham R. H., Shaw С D. Dynamics: The Geometry of Behavior. Santa Cruz: Aerial, 1984.

202

Feynman R. P. The Character of Physical Law. Cambridge, Mass.: The Μ. Ι. Τ Press, R 57.

203

Перевод Э. Наппельбаума и В. Голышева.

204

Рюэль.

205

«Turbulent Dynamical Systems». P. 275.

206

«Deterministic Nonperiodic Flow». P. 137.

207

Ibid. R 140.

208

Рюэль.

209

Уэда рассматривает свои ранние открытия с точки зрения электрических цепей в работе: «Random Phenomena Resulting from Nonlinearity in the System Described by Duffing's Equation» // International Journal of Non-Linear Mechanics. Vol. R 481–491, рассказывает о том, что мотивировало его двигаться дальше, и приводит прохладный ответ своих коллег в постскриптуме. Также: Стюарт, в личном общении.

210

Рёсслер.

211

Эно; он рассказал о своем изобретении в работе: «A Two-Dimensional Mapping with a Strange Attractor» // Communications in Mathematical Physics. Vol. R 69–77; а также в: Henon M., Pomeau Y. «Two Strange Attractors with a Simple Structure» // Turbulence and the Navier-Stokes Equations / Ed. by R. Teman. New York: Springer-Verlag, 1977.

212

Уисдом.

213

Henon M., Heiles С. «The Applicability of the Third Integral of Motion: Some Numerical Experiments» // Astronomical Journal. Vol. R 73.

214

Эно.

215

Эно.

216

«The Applicability». P. 76.

217

Ibid. R 79.

218

Ив Помо.

219

Эно.

220

Рамси.

221

«Strange Attractors». R 137.

222

Фейгенбаум. Важнейшие работы Фейгенбаума об универсальности: «Quantitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations» //Journal of Statistical Physics. Vol. P. 25–52 и «The Universal Metric Properties of Nonlinear Transformations» // Journal of Statistical Physics. Vol. R 669–706; несколько более доступное изложение, хотя по-прежнему требующее некоторого знания математики, можно найти в его обзорной статье: «Universal Behavior in Nonlinear Systems» // Los Alamos Science. Vol. 1 (Summer 1981). R 4-Я также опираюсь на его неопубликованные воспоминания: «The Discovery of Universality in Period Doubling».

223

Фейгенбаум, Каррутерс, Свитанович, Кэмпбелл, Фармер, Вишер, Керр, Хасслачер, Джен.

224

Каррутерс.

225

Фейгенбаум.

226

Каррутерс.

227

Каданов.

228

Густав Малер, письмо Максу Маршальку.

229

«К теории цвета» Гёте сейчас доступно в нескольких изданиях. Я использовал прекрасно иллюстрированную книгу: Goethe's Color Theory / Ed. by Rupprecht Matthaei, trans, by Herb Aach. New York: Van Nostrand Reinhold, 1970; более доступно издание: Theory of Colors. Cambridge, Mass.: The Μ. Ι. Τ Press, 1970, с превосходным предисловием Дина Б. Джадда.

230

В определенный момент Улам и Нейман использовали свойства хаоса для решения проблем генерирования случайных чисел с помощью конечного цифрового компьютера.

231

Эта работа прокладывает путь от идей Станислава Улама и Джона фон Неймана к идеям Джеймса Йорка и Митчелла Фейгенбаума: «On Finite Limit Sets for Transformations on the Unit Interval» // Journal of Combinatorial Theory. Vol.R 25–44.

232

«The Problem of Deducing the Climate from the Governing Equations» // Tellus. Vol.R 1-11.

233

Имеется в виду, что последовательность состоит из бесконечного числа букв П, то есть в ходе итераций точка всегда попадает на правую ветвь параболы.

234

Манабе.

235

Фейгенбаум.

236

Мэй.

237

«On Finite Limit Sets». P. 30-Самый важный момент в этой работе: «Тот факт, что такое поведение… есть общее свойство четырех явно не связанных преобразований… позволяет предположить, что оно является общим свойством широкого класса преобразований. По этой причине мы назвали эту последовательность U-последовательностью, где U (с небольшой натяжкой) означает „универсальный“». Но математики не могли и представить, то универсальность будет распространяться на реальные числа; они составили таблицу с различными значениями параметров, каждый из которых был приведен с точностью до семи знаков после запятой, не принимая во внимания геометрические взаимоотношения, которые могут быть скрыты за ними.

238

Фейгенбаум.

239

Свитанович.

240

Сама точка является нульмерной, одномерно все фазовое пространство системы – ее состояние в фиксированный момент времени характеризуется одним числом.

241

Форд.

242

Стипендия Макартура, а в 1986 году премия Вольфа в области физики.

243

Дайсон.

244

Гилмор.

245

Свитанович.

246

Но даже тогда доказательство было не вполне строгим в том смысле, что оно зависело от огромного количества вычислений, которые не могли быть сделаны или проверены без использования компьютера. Лэнфорд; Lanford О. Е. «A Computer-Assisted Proof of the Feigenbaum Conjectures» // Bulletin of the American Mathematical Society. Vol. R 427; а также: Collet P., J.-P. Eckmann J.-R, Lanford E. «Universal Properties of Maps on an Interval» // Communications in Mathematical Physics. Vol. P. 211.

247

Фейгенбаум; «The Discovery of Universality». P. 17.

248

Форд, Фейгенбаум, Лебовиц.

249

Форд.

250

Фейгенбаум.

251

Либхабер, Каданов.

252

Либхабер.

253

Libchaber A. «Experimental Study of Hydrodynamic Instabilities. Rayleigh-Benard Experiment: Helium in a Small Box» // Nonlinear Phenomena at Phase Transitions and Instabilities / Ed. by T. Riste. New York: Plenum, P. 259.

254

Либхабер, Фейгенбаум.

255

Либхабер.

256

Либхабер.

257

Stevens W. «This Solitude of Cataracts» // The Palm at the End of the Mind/ Ed. by Holly Stevens. New York: Vintage, R 321.

258

Stevens W. «Reality Is an Activity of the Most August Imagination» // Ibid. R 396.

259

Schwenk T. Sensitive Chaos. New York: Schocken, P. 19.

260

Перевод Я. Пробштейна.

261

Ibid.

262

Ibid. R 16.

263

Ibid. R 39.

264

Thompson D. W. On Growth and Form / Ed. by J. T. Bonner. Cambridge: Cambridge University Press, R 8.

265

Ibid. P. viii.

266

Gould S. J. Hen's Teeth and Horse's Toes. New York: Norton, P. 369.

267

On Growth and Form. P. 267.

268

Ibid. P. 114.

269

Кэмпбелл.

270

Либхабер.

271

Либхабер и Море, 1980 и 1981 годы. Ясное краткое изложение дается также в предисловии Свитановича.

272

Хоэнберг.

273

Фейгенбаум, Либхабер.

274

Голлаб.

275

Литература на этот счет равно обширна. См. краткое изложение ранних попыток соединить теорию и опыт в различных системах: Swinney H. L. «Observations of Order and Chaos in Nonlinear Systems» // Physica. Vol. 7D. R 3-Cyинни приводит список источников, разделенный на категории от электронных и химических осцилляторов до менее очевидных экспериментов.

276

Franceschini V., Tebaldi С. «Sequences of Infinite Bifurcations and Turbulence in a Five-Mode Truncation of the Navier-Stokes Equations» //Journal of Statistical Physics. Vol. R 707–726.

277

Collet R, Eckmann J.-R, Koch H. «Period Doubling Bifurcations for Families of Maps on Rn» // Journal of Statistical Physics. Vol. R 1.

278

Либхабер.

279

Барнсли.

280

Барнсли.

281

По-английски действительные числа называются real(numbers), а мнимые – imaginary, что можно также перевести как «настоящие», или «реальные», и «воображаемые» соответственно.

282

На самом деле интегрируются функции комплексной переменной.

283

Хаббард; Douady A. «Julia Setsand the Mandelbrot Set». P. 161-В основном тексте «Красоты фракталов» также приводится краткий математический обзор метода Ньютона, равно как и других встречающихся теорий комплексных динамических систем, обсуждаемых в этой главе.

284

«Julia Sets and the Mandelbrot Set». R 170.

285

Хаббард.

286

Хаббард; The Beauty of Fractals; Richter P. H., Peitgen H.-O. «Morphology of Complex Boundaries» // Bunsen-Gesellschaft für Physikalische Chemie. Vol. R 575–588.

287

Например, Хаббард. Доступное введение в тему с рекомендациями, как самостоятельно написать программу для микрокомпьютера: Dewdney A. К. «Computer Recreations» // Scientific American. August P. 16-Пайтген и Рихтер в «Красоте фракталов» предложили детальный обзор как математических расчетов, так и некоторых наиболее зрелищных доступных изображений.

288

«Julia Sets and the Mandelbrot Set». R 161.

289

Мандельброт, Лафф, Хаббард. Работа Мандельброта, написанная им от первого лица: «Fractals and the Rebirth of Iteration Theory» // The Beauty of Fractals. P. 151–160.

290

Мандельброт; The Beauty of Fractals.

291

Мандельброт.

292

Хаббард.

293

Пайтген.

294

Хаббард.

295

Рихтер.

296

Пайтген.

297

Пайтген.

298

Йорк; хорошее введение в тему для тех, кто разбирается в технических деталях: MacDonald S. W., Grebogi С, Ott E., Yorke J. A. «Fractal Basin Boundaries» // Physica. Vol. 17D. R 125–183.

299

Компьютерная программа, воспроизводящая множество Мандельброта, состоит из нескольких существенных частей. Главный ее механизм заключается в цикле, в котором выбирается начальное комплексное число и к нему применяется арифметическое правило. Для множества Мандельброта правило таково: z → z^2+ с, где начальное значение z равно нулю, а с представляет собой комплексное число, соответствующее тестируемой точке. Итак, возьмем нуль, умножим его сам на себя, прибавим начальное число; взяв результат (он совпадет с начальным числом), умножим его сам на себя и прибавим начальное число; возьмем новый результат, опять умножим его сам на себя и прибавим начальное число. Арифметика комплексных чисел довольно бесхитростная. Комплексное число состоит из двух частей: например, 2 + 3i (местоположение точки: 2 к востоку и 3 к северу на комплексной плоскости). Чтобы сложить два комплексных числа, надо лишь сложить действительные части для получения новой действительной части и мнимые – для получения новой мнимой части:

Чтобы перемножить два комплексных числа, нужно умножить каждую часть одного из них на каждую часть другого и сложить получившиеся четыре результата. Поскольку i, умноженное само на себя, в силу первоначального определения мнимых чисел дает −1, то один член результата переходит в другой:

Чтобы выйти из этого цикла, программа должна отслеживать текущий итог. Если результат стремится к бесконечности, все более и более удаляясь от центра плоскости, выбранная точка не принадлежит множеству. В том случае, когда итог превышает 2 или становится меньше −2 либо в действительной, либо в мнимой части, результат, бесспорно, стремится к бесконечности и работа программы может продолжаться. Если она выполняет одни и те же вычисления много раз, не превышая 2, точка принадлежит множеству. Число итераций зависит от степени увеличения. Для масштаба, доступного персональному компьютеру, ста или двухсот повторений часто бывает достаточно, а тысяча дает полную гарантию. Программа должна повторить данный процесс для каждой из тысяч точек решетки, масштаб которой можно «подкрутить» для большего увеличения. Затем программа должна показать полученный результат. Точки, входящие в множество, могут быть обозначены черным цветом, а не принадлежащие к нему – белым. Для получения более наглядного изображения белый цвет можно заменить оттенками других цветов. В частности, если итерирование прекращается после десяти повторений, программа должна выдать красную точку, после двадцати – оранжевую, после сорока – желтую и так далее. Цвета и момент остановки расчета точек программист может выбрать сам. Цвета надлежащим образом обозначают контуры «ландшафта», оставшегося за пределами множества. – Прим. автора.

300

Это не совсем точное описание. Верно, что точки, стартующие вне множества Мандельброта, обязательно стремятся к бесконечности. Собственно, в этом и состоит определение множества Мандельброта. Однако точки, стартующие внутри него, не обязаны стремиться к нулю или еще к какой-то неподвижной точке – например, они могут стремиться к периодической орбите.

301

При определенных значениях параметров это свойственно и системе Лоренца. Также в этой системе возможен и устойчивый предельный цикл. См., например: Неймарк Ю. И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. М: Либроком, 2009.

302

Йорк.

303

Йорк, заметки на конференции по перспективам биологической динамики и теоретической медицины в Бетесде, штат Мэриленд, 10 апреля 1986 года.

304

Йорк.

305

Сходным образом в тексте, который должен был рассказать о хаосе инженерам, X. Брюс Стюарт и Дж. М. Томпсон предупреждали: «Захваченный ложным чувством безопасности в силу знания уникального ответа линейной системы, загруженный делами аналитик или экспериментатор восклицает: „Эврика, вот решение!“, как только симуляция достигает равновесия в устойчивом цикле, и не дает себе труда исследовать тщательно зависимость результата от различных начальных условий. Чтобы избежать потенциально опасных ошибок и катастроф, промышленные дизайнеры должны быть готовы посвятить большую часть своих усилий изучению всего спектра динамических характеристик своих систем». Nonlinear Dynamics and Chaos. Chichester: Wiley, P. xiii.

306

The Beauty of Fractals. P. 136.

307

Например: «Iterated Function Systems and the Global Construction of Fractals» // Proceedings of the Royal Society of London. Ser. A. Vol. R 243–275.

308

Барнсли.

309

Хаббард.

310

Барнсли.

311

Фармер, Шоу, Крачфилд, Паккард, Бёрк, Науенберг, Абрахам, Гукенхеймер. Основная работа Роберта Шоу о теории информации в применении к хаосу: The Dripping Faucet as a Model Chaotic System. Santa Cruz: Aerial, 1984; а также см.: «Strange Attractors, Chaotic Behavior, and Information Theory» //Zeitschrift für Naturforschung. Vol. 36a. P. Рассказ о попытках некоторых студентов Санта-Круза выяснить закон рулетки с множеством красочных деталей из истории тех дней: Bass Т. The Eudemonic Pie. Boston: Houghton Mifflin, 1985.

312

Шоу.

313

Бёрк, Шпигель.

314

Spiegel Ε. A. «Cosmic Arrhythmias» // Chaos in Astrophysics / Ed. by J. R. Buchler et al. New York: D. Reidel, R 91-135.

315

Фармер, Крачфилд.

316

Шоу, Крачфилд, Бёрк.

317

Шоу.

318

Абрахам.

319

В истории с рулеткой, описанной одним из участников группы, Фармер представлен как главная фигура, а Паккард – второстепенная.

320

Бёрк, Фармер, Крачфилд.

321

Шоу.

322

Форд.

323

Здесь стоит отметить первый и второй методы Ляпунова, придуманные задолго до появления теории хаоса и широко используемые в современной литературе, когда исследуется устойчивость положений равновесия системы, а также локализуется область фазового пространства, содержащая аттрактор.

324

Шоу, Фармер.

325

Классическая работа на этот счет, до сих пор вполне читаемая: Shannon С. Е., Weaver W. The Mathematical Theory of Communication. Urbana: University of Illinois, 1963, с полезным предисловием Уивера.

326

Ibid. R 13.

327

В английском алфавите 26 букв.

328

Паккард.

329

Имеется в виду, что про каждую молекулу мы задаем вопрос, относится ли она к первому веществу, и записываем ответ: получается последовательность слов «да» и «нет».

330

Шоу.

331

Шоу, Фармер.

332

«Strange Attractors, Chaotic Behavior, and Information Flow».

333

Синай, в личной беседе.

334

Паккард.

335

Шоу.

336

Шоу.

337

Фармер; подход с точки зрения динамических систем к изучению иммунной системы и моделированию способности человеческого тела запоминать и творчески распознавать паттерны описан в работе: Farmer J. D., Packard N. H., Perelson A. S. «The Immune System, Adaptation, and Machine Learning», preprint. Los Alamos National Laboratory, 1986.

338

The Dripping Faucet. P. 4.

339

Ibid.

340

Крачфилд.

341

Шоу.

342

Фармер.

343

Эти методы, ставшие основой экспериментальных техник в очень многих областях, были усовершенствованы и расширены исследователями Санта-Круза и другими экспериментаторами и теоретиками. Одна из ключевых заявок, сделанных в Санта-Крузе: Packard Ν. Η., Crutchfield J. P., Farmer J. D., Shaw R. S. [канонический список авторов] «Geometry from a Time Series» // Physical Review Letters. Vol. P. Самая влиятельная работа по предмету: Takens F. «Detecting Strange Attractors in Turbulence» // Lecture Notes in Mathematics. Vol. 898 / Ed. by D. A. Rand and L. S. Young. Berlin: Springer-Verlag, P. Самый ранний, но довольно широкий обзор методов воссоздания фазового пространства аттракторов: Froehling H., Crutchfield J. R, Farmer J. D., Packard N. H., Shaw R. S. «On Determining the Dimension of Chaotic Flows» // Physica. Vol. 3D. P. 605–617.

344

Крачфилд.

345

Например, Науенберг.

346

Шоу.

347

Это не значит, однако, что студенты вообще игнорировали одномерные модели. Вдохновленный работой Мэя, в 1978 году Крачфилд провел так много времени за изображениями бифуркационных диаграмм, что был отстранен от графопостроителя в компьютерном центре и к тому же израсходовал слишком много специальных карандашей в процессе нанесения тысяч точек.

348

Фармер.

349

Фармер.

350

Шоу.

351

Крачфилд, Губерман.

352

Губерман.

353

Huberman В., Crutchfield J. R «Chaotic States of Anharmonic Systems in Periodic Fields» // Physical Review Letters. Vol. P. 1743.

354

Крачфилд.

355

Дебаты об этом продолжаются, например, в журнале Nature.

356

Рамси.

357

Farmer J. D., Ott E., Yorke J. A. «The Dimension of Chaotic Attractors» // Physica. Vol. 7D. R 153–180.

358

Ibid. R 154.

359

Губерман, Мэнделл (интервью и заметки на конференции по перспективам биологической динамики и теоретической медицины в Бетесде, штат Мэриленд, 11 апреля 1986 года). См. также: Huberman В. A. «A Model for Dysfunctions in Smooth Pursuit Eye Movement», preprint. Xerox Palo Alto Research Center, Palo Alto, California.

360

Абрахам. Базовое знакомство с гипотезой Геи – образный динамический взгляд на то, как сложные природные системы поддерживают саморегуляцию, разумно ограничивая свой рост в произвольный момент: Lovelock J. E. Ga/'a: A New Look at Life on Earth. Oxford: Oxford University Press, 1979.

361

Подборка нескольких произвольных ссылок на работы по физиологии (с цитатами из каждой из них): Goldberger A. L, Bhargava V, West B. J. «Nonlinear Dynamics of the Heartbeat» // Physica. Vol. 17D. P. 207–214; Mackay M., Glass L. «Oscillation and Chaos in Physiological Control Systems» // Science. Vol. R 287; Lewis M., Rees D. C. «Fractal Surfaces of Proteins» // Science. Vol. P. 1163–1165; Goldberger A. L et al. «Nonlinear Dynamics in Heart Failure: Implications of Long-Wavelength Cardiopulmonary Oscillations» //American Heart Journal. Vol. R 612–615; Chay T. R., Rinzel J. «Bursting, Beating, and Chaos in an Excitable Membrane Model» // Biophysical Journal. Vol. R 357-Особенно полезная и обширная подборка других подобных работ: Chaos / Ed. by Arun V. Holden. Manchester: Manchester University Press, 1986.

362

Рюэль; «Strange Attractors». R 48.

363

Гласc.

364

Голдбергер.

365

Пескин; McQueen D. M., Peskin C. S. «Computer-Assisted Design of Pivoting Disc Prosthetic Mitral Valves» // Journal of Thoracic and Cardiovascular Surgery. Vol.R 126–135.

366

Коэн.

367

Уинфри.

368

Уинфри изложил свое видение геометрии времени в биологических системах в провокационной, но прекрасной книге: When Time Breaks Down: The Three-Dimensional Dynamics of Electrochemical Waves and Cardiac Arrhythmias. Princeton: Princeton University Press, 1987; обзорная статья о применении к сердечным ритмам: Winfree A. T. «Sudden Cardiac Death: A Problem in Topology» // Scientific American. Vol. 248 (May 1983). R 144.

369

Уинфри.

370

Уинфри.

371

Строгац; Czeisler C. A. et al. «Bright Light Resets the Human Circadian Pacemaker Independent of the Timing of the Sleep-Wake Cycle» // Science. Vol. R 667–670; Strogatz S. «A Comparative Analysis of Models of the Human Sleep-Wake Cycle», preprint. Harvard University, Cambridge, Massachusetts.

372

Уинфри.

373

«Sudden Cardiac Death».

374

Айдекер.

375

Уинфри.

376

Айдекер.

377

Гласc.

378

Guevara M. R., Glass L, Schrier A. «Phase Locking, Period-Doubling Bifurcations, and Irregular Dynamics in Periodically Stimulated Cardiac Cells» // Science. Vol. R 1350.

379

Гласc.

380

Коэн.

381

Гласc.

382

Уинфри.

383

Glass L., Mackay M. С. «Pathological Conditions Resulting from Instabilities in Physiological Control Systems» //Annals of the New York Academy of Sciences. Vol. R 214.

384

Goldberger A. L., Bhargava V, West B. J., Mandell A. J. «Some Observations on the Question: Is Ventricular Fibrillation „Chaos“», preprint.

385

Мэнделл.

386

Мэнделл.

387

Mandell A. J. «From Molecular Biological Simplification to More Realistic Central Nervous System Dynamics: An Opinion» // Psychiatry: Psychobiological Foundations of Clinical Psychiatry. 3:2 / Ed. by J. Cavenar et al. New York: Lippincott, 1985.

388

Ibid.

389

Губерман.

390

Huberman Β. Α., Hogg T. «Phase Transitions in Artificial Intelligence Systems», preprint. Xerox Palo Alto Research Center, Palo Alto, California, 1986; а также: Huberman B. A., HoggT. «Understanding Biological Computation: Reliable Learning and Recognition» // Proceedings of the National Academy of Sciences. Vol. R 6871–6875.

391

Schrödinger Ε. What Is Life? Cambridge: Cambridge University Press, P. 82.

392

Ibid. R 82.

393

Форд.

394

Фокс.

395

(Холмс) SIAM Review. Vol. P. 107; (Хао) Chaos. Singapore: World Scientific, P. i; (Стюарт) «The Geometry of Chaos» //The Unity of Science. Brookhaven

396

Lecture Series. No P. 1; (Дженсен) «Classical Chaos» // American Scientist April 1987; (Крачфилд) личная беседа; (Форд) «Book Reviews» // International Journal of Theoretical Physics. Vol. № 1.

397

Хаббард.

398

Уинфри.

399

Губерман.

400

Gara. P. 125.

401

Atkins R W. The Second Law. New York: W. H. Freeman, R Эта превосходная книга представляет собой одно из немногих описаний второго закона термодинамики применительно к исследованиям творческой силы рассеивания в хаотических системах. Глубоко индивидуальный и философский взгляд на отношения между термодинамикой и динамическими системами: Prigogine I. Order of Chaos: Man's New Dialogue With Nature. New York: Bantam, 1984.

402

Лангер. Литература о динамике образования снежинки огромна. Наиболее полезны: Langer J. S. «Instabilities and Pattern Formation» // Review of Modern Physics. Vol. R 1-28; Nittmann J., Stanley H. E. «Trip Splitting without Interfacial Tension and Dendritic Growth PatternsArising from Molecular Anisotropy» // Nature. Vol. R 663–668; Kessler D. Α., Levine H. «Pattern Selection in Fingered Growth Phenomena», to appear in /Advances in Physics.

403

Поллаб, Лангер.

404

Интересный пример такого подхода к изучению формирования паттернов: Ноhenberg P. C, Cross M. С. «An Introduction to Pattern Formation in Nonequilibrium Systems», preprint. AT amp;T Bell Laboratories, Murray Hill, New Jersey.

405

Уисдом; Wisdom J. «Meteorites May Follow a Chaotic Route to Earth» // Nature. Vol. R 713–733; Wisdom J. «Chaotic Behavior and the Origin of the 3/1 Kirkwood Gap» // Icarus. Vol. R 51–74.

406

Как Фармер и Паккард сформулировали это: «Адаптивное поведение – неотъемлемое свойство, проявляющееся при взаимодействии простых компонентов. Неважно, чем являются эти компоненты – нейронами, аминокислотами, муравьями или битовыми строками, – адаптация наблюдается тогда, когда коллективное поведение целого качественно отличается от суммы его индивидуальных составляющих. Это самое точное определение нелинейности». «Evolution, Games, and Learning: Models for Adaptation in Machines and Nature», introduction to conference proceedings. Center for Nonlinear Studies, Los Alamos National Laboratory, May 1985.

407

«What is Chaos?» P. 14.

408

Форд.

409

Structure. P. 5.

410

Schaffer W. M. «Chaos in Ecological Systems: The Coals That Newcastle Forgot» // Trends in Ecological Systems. Vol. R 63.

411

Schaffer W. M., Kot M. «Do Strange Attractors Govern Ecological Systems?» // Bio-Science. Vol. P. 349.

412

Например: Schaffer W. M., Kot M. «Nearly One Dimensional Dynamics in an Epidemic» // Journal of Theoretical Biology. Vol. R 403–427.

413

Шаффер.

414

Шаффер; а также: Schaffer W. M. «A Personal Hejeira», unpublished.

415

Перевод О. Варшавер. – Прим. ред.